聲波在結(jié)構(gòu)變形時(shí)傳播的諧波級數(shù)研究

徐東喜，趙江英，邵引偉，劉小勝

XU Dong-xi,ZHAO Jiang-ying,SHAO Yin-wei,LIU Xiao-sheng

（格特拉克（江西）傳動系統(tǒng)有限公司，南昌 330013）

0 引言

本論文在目前行業(yè)內(nèi)對普通結(jié)構(gòu)分析聲波傳播的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步通過聲波在薄板彈性結(jié)構(gòu)中的傳播分析其振動規(guī)律，波在時(shí)間上的諧振變化通常在數(shù)學(xué)上用指數(shù)形式表達(dá)。為了更便于作解析的頻率分析，本論文把積極的和消極的頻率都考慮到了，這樣避免了信號在時(shí)間和空間發(fā)生變化時(shí)引起的混淆，從而為設(shè)計(jì)聲音輻射和傳播選擇最優(yōu)的方法。

1 聲波在結(jié)構(gòu)中傳播的力學(xué)關(guān)系分析

1.1 波在空間傳播的主要參數(shù)

波在空間的變化用相變化的量表示為ω/cph，這個(gè)叫做波數(shù)用k表示。一個(gè)波長對應(yīng)于一個(gè)和2π的獨(dú)立相位，即：

k有相互的長度和尺度。

波數(shù)k實(shí)際上是表示傳播方向空間相位的矢量幅值。

式(1)表明了這種頻率依賴于波數(shù)的關(guān)系，這種k和ω之間的關(guān)系叫做發(fā)散關(guān)系，是一種典型的波的特性。發(fā)散關(guān)系表明在k和ω之間的關(guān)系是線性的，任意空間形式的擾動不會改變其傳播特性。

我們看到發(fā)散曲線在波和結(jié)合的媒質(zhì)相互作用時(shí)起著很大的作用，因?yàn)閮煞N不同類型波的發(fā)散曲線有共同的頻率和波數(shù)，即有共同的波長和相速度。一個(gè)發(fā)散曲線也能夠告訴我們能量被波傳播的速度，這個(gè)速度稱為群速度cg，它通過下面的關(guān)系式從發(fā)散曲線中取得：

從式(1)和式(2)可以清楚地知道相位和群速度只有在波不擴(kuò)散的時(shí)候相等，在這里cp獨(dú)立于ω。群速度的知識在考慮波能量的振動分析中非常有用。

1.2 波在結(jié)構(gòu)中傳播時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變分析

在桿、梁和板這些媒質(zhì)中傳播的不同形式的波中，彎曲波在聲波結(jié)構(gòu)或流體的相互作用的過程中有著重要的意義。這是因彎曲波在傳播方向橫向的方向有一個(gè)潛在的位移，會有效地干擾相鄰的結(jié)構(gòu)。傳遞波時(shí)結(jié)構(gòu)的阻抗將使得在相鄰的聲波中有著相同的振幅，從而推動能量在兩種媒質(zhì)之間進(jìn)行交換。

盡管媒質(zhì)元素中橫向位移比平面位移載有彎曲波多，其中的彎曲力主要還是由后者決定的。在桿的純彎曲變形中，截面向桿軸線相反的方向平移，并相對于其平衡位置作旋轉(zhuǎn)，如圖1所示。

圖1 梁彎曲變形的位移

橫向位移η和轉(zhuǎn)動角度β的關(guān)系可以近似地用下式表示：

純彎曲理論主要的假設(shè)是平面截面在元素受到彎曲時(shí)候仍然是平的。圖2顯示了桿中的一個(gè)元素在橫向力的作用下經(jīng)受純彎曲變形：

圖2 梁元素的彎曲變形

這里可以注意到θ的值很小。縱向應(yīng)變εr產(chǎn)生應(yīng)力σr，假設(shè)在r線性地波動。因?yàn)樵跅U軸線方向沒有施加力，我們能寫成：

這里σ(r)是縱向的應(yīng)力，該式表明σ(r)須在正負(fù)值之間波動。在r的某個(gè)值σ(r)的值為0，指定這個(gè)的平面為中性平面，用N-S。在變形縱向平面上的變形為0，在這個(gè)弧線上元素保持其原來的長度δx，于是得到：

假定ε(r)和δx之間的關(guān)系是細(xì)桿內(nèi)的縱波，例如0邊界約束：σ(r)=Eε(r)。R的半徑曲率和θ相關(guān)，從圖1可以看出對于與軸線傾斜的的位移為：

通常桿曲線將隨著x而變動，σ(r)也是一樣。在靜態(tài)狀態(tài)中σ(r)在軸向須平衡其他力從而使元素達(dá)到縱向的平衡；在桿截面相應(yīng)的力系統(tǒng)r=r’。其平衡方程為：

通過寬度w(r)和r能夠完整地估算出桿特殊變化的綜合值。然而對于相同寬度的桿w(r)＝w，r0=h/2。

這種拋物線關(guān)系只存在于同一寬度的桿中。然而在所有的情況下，最大的剪切力發(fā)生在r’=0的中性平面上。

這種剪切力在梁縱波應(yīng)力方向軸線的相對振動是很重要的，因?yàn)楫?dāng)這種象多片板壓制梁粘接失效后，或由于低剪切模量而產(chǎn)生大的剪切變形后，在夾層結(jié)構(gòu)中心板的截面仍然是平面的假設(shè)將會失效。水平剪切力τyx與垂直剪切力τxy其相同的幅度，它也在桿內(nèi)部有如圖2所示相同的分布。作用在任何截面上的整個(gè)彈性剪切力由下式給出：

合成這個(gè)關(guān)系式得到：

這里：

I被定義為中性平面內(nèi)圍繞橫軸方向面積的次力矩。

環(huán)繞中性平面作用在軸向力σ(r)的彎曲力矩由下式給出：

這里正的M產(chǎn)生一個(gè)負(fù)的曲線。

2 波在結(jié)構(gòu)中傳播時(shí)的諧波級數(shù)分析

當(dāng)波在彈性結(jié)構(gòu)中傳播時(shí)，在結(jié)構(gòu)內(nèi)部的剪切應(yīng)力自然會在截面產(chǎn)生剪切變形，這可以從等式(9)看出剪切應(yīng)變必須隨著距離r而波動，在偏離中性平面同時(shí)在更高或更低的平面上的值為0。這種形式的變形和平面部分仍然是平面的假設(shè)不相符合，但是在很多情況下同類桿或梁的剪切變形常常都比較小，所以對桿帶來的橫向位移也小。一種橫向剪切位移貢獻(xiàn)值粗略的估算可以從梁取得。簡單起見我們假定垂直剪切力等于F/A。頂部梁對剪切的垂直變形近似等于FL/GA，這里G是剪切模量。簡單的梁理論造成的彎曲變形為FL3/3EI。于是剪切對彎曲變形的比值將近為3EI/GAL2。對于一根寬W高h(yuǎn)的梁來說，I=wh3/12，A=wh。于是其比值約為(1/2)(1+v)(h/l)2，于是剪切變形在橫向力分開作用在梁相對厚度小的不同距離時(shí)顯得很明顯。

桿元素橫波運(yùn)動的關(guān)系式能夠從下式取得：

這里m是單位長度桿的質(zhì)量。由于x而引起S的改變值由(1.34)和(1.35)能夠?qū)懗桑?/p>

這是桿的波動方程，它在剪切給橫波帶來位移可以忽略的時(shí)候是有效的。該式從根本區(qū)分了所有以前考慮的空間微分是第四維的波的運(yùn)動形式，而不是二維的，理由是彎曲波是介于剪切波和縱波的混合，于是自由彎曲波的相速度不能通過觀察推論出來。用復(fù)雜的指數(shù)表達(dá)式取代單個(gè)諧波級數(shù)波得到：

于是k=±j(ω2m/EI)1/4和±(ω2m/EI)1/4，從而得到完全的解為：

這里kb=(ω2m/EI)1/4。

在式(13)的兩個(gè)等式表示了波以相速度cb=ω/kb=ω1/2(EI/m)1/4在x的正向或負(fù)向波的傳播。第二個(gè)術(shù)語表示不傳播區(qū)域，其數(shù)值以指數(shù)形式在遠(yuǎn)處衰減；其相速度是假設(shè)的且不傳播能量。嚴(yán)格地說它們并稱為波。

相速度看為cb和ω成比例，桿中的彎曲波是發(fā)散的，其群速度(cb)g=?ω/?k=2cb。彎曲波的速度隨著頻率而變化在結(jié)構(gòu)和液體之間聲壓耦合現(xiàn)象中有著較深的影響，并在后來變得更明顯。彎曲波的發(fā)散特性同時(shí)也不和諧地產(chǎn)生一個(gè)不自然的彎曲振動頻率，相對有關(guān)不發(fā)散波諧振進(jìn)程。

我們需要估算橫向位移的剪切變形以考慮(12)的有效范圍，其自由彎曲波長為2π/kb。從而得到最大橫向位移和加速度是分離的的觀點(diǎn)，在2π/kb距離下位移并不總是為0。依據(jù)d’Aembert彎曲波的動力平衡觀點(diǎn)，“慣性力”被認(rèn)為彈性剪切力相反的。最大慣性力作用于最大加速度點(diǎn)，最大剪切力作用于位移為0點(diǎn)。我們于是用2π/kb取代長度l，剪切和彎曲的橫向位移的貢獻(xiàn)量近似由1/2(2kbh/π)2給出，這里h為桿的深度?？珊雎约羟胸暙I(xiàn)的合適狀態(tài)是kbh＜1，或者λb＞6h。對于一根正方形的桿來說這種情況變成f＜4.6X10-2(cl”/h)Hz：I形截面其頻率接近低40%，而對150mm深的方形梁結(jié)構(gòu)是大約900Hz。

3 結(jié)論

在這個(gè)特定的頻率下一個(gè)特殊的剪切特性在運(yùn)動方程中應(yīng)該引起重視。剪切變形產(chǎn)生量的物理應(yīng)用是在很高的頻率下高頻彎曲波變得象純橫向剪切波，其相速度漸近c(diǎn)s，而不會象cb預(yù)示的一樣趨向于無窮大剪切波運(yùn)動在夾層板或蜂窩狀板結(jié)構(gòu)的振動情況中有很大的作用，它有被相對厚的里層分開的薄的覆蓋層，這些里層設(shè)計(jì)為有低的剪切剛度。在低頻的中頻范圍內(nèi)，這里所有部分的彎曲剛度是主要的。而在高頻時(shí)表面板部分的彎曲剛度是主要的。從這種特性中我們能夠?yàn)樵O(shè)計(jì)聲音輻射和傳播選擇最優(yōu)的方法,通過改變材料的形狀來實(shí)現(xiàn)其隔音和放音性能。