導(dǎo)數(shù)創(chuàng)新題追根溯源

■河南省太康縣第一高級(jí)中學(xué)

高中數(shù)學(xué)考試說(shuō)明中指出:培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力是發(fā)展智力、全面培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的主要途徑。

數(shù)學(xué)是思維的體操,解決問(wèn)題是學(xué)生學(xué)習(xí)的目的,因而如何通過(guò)解題活動(dòng)來(lái)培養(yǎng)學(xué)生良好的思維能力,應(yīng)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的中心問(wèn)題。但過(guò)多地、盲目地刷題,不僅不會(huì)促進(jìn)思維能力的發(fā)展,反而容易使學(xué)生疲勞,興趣降低,抑制學(xué)生的思維。只有“聞一知十”地解題,才能激發(fā)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣,促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展,而一題多解無(wú)疑是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、開(kāi)拓思路、培養(yǎng)思維方式和應(yīng)變能力的一種有效方法。

下面通過(guò)2 0 1 8年全國(guó)Ⅰ卷第2 1題的幾種方法的解答來(lái)體會(huì)一下一題多解的奧妙,希望同學(xué)們能從中得到一些啟發(fā)。

題目已知函數(shù)f(x)=aex-lnx-1。

(1)設(shè)x=2是f(x)的極值點(diǎn),求a的值,并求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

分析：(1)推導(dǎo)出，由x=2是f(x)的極值點(diǎn),解得從而,進(jìn)而f'(x)=, 由此能求出f(x)的單調(diào)區(qū)間。

解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)所以

因?yàn)閤=2是f(x)的極值點(diǎn),所以,解得,所以f(x),所以

當(dāng)0＜x＜2時(shí),f'(x)＜0,當(dāng)x＞2時(shí),f'(x)＞0,所以f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增。

所以當(dāng)x≥1時(shí),f'(x)≥f'(1)=ae-1≥1-1=0,因此當(dāng)x≥1時(shí),f(x)單調(diào)遞增,所以f(x)≥f(1)=ae-1≥1-1=0。

跟蹤訓(xùn)練：

1.(2019年新課標(biāo)卷)已知函數(shù)f(x)=為f(x)的導(dǎo)數(shù)。

(1)證明:f'(x)在區(qū)間(0,π)上存在唯一零點(diǎn);

(2)若x∈[0,π]時(shí),f(x)≥a x,求a的取值范圍。

分析：(1)令g(x)=f'(x),對(duì)g(x)再求導(dǎo),研究其在(0,π)上的單調(diào)性,結(jié)合極值點(diǎn)和端點(diǎn)值不難證明;(2)利用(1)的結(jié)論,可設(shè)f'(x)的零點(diǎn)為x0,并結(jié)合f'(x)的正負(fù)分析得到f(x)的情況,作出圖示,得出結(jié)論。

解：(1)因?yàn)閤,所以

又g(0)=0,g(π)=-2,所以g(x)在(0,π)上有唯一零點(diǎn),即f'(x)在(0,π)上有唯一零點(diǎn)。

(2)由(1)知,f'(x)在(0,π)上有唯一零點(diǎn)x0,使得f'(x0)=0,且f'(x)在(0,x0)上為正,在(x0,π)上為負(fù),所以f(x)在(0,x0)上遞增,在(x0,π)上遞減,結(jié)合f(0)=0,f(π)=0,可知f(x)在[0,π]上非負(fù),令h(x)=a x,作出圖像,如圖1所示,因?yàn)閒(x)≥h(x),所以a≤0,所以a的取值范圍是(-∞,0]。

圖1

點(diǎn)評(píng)：此題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)等問(wèn)題,以及數(shù)形結(jié)合的思想方法。

解題方法點(diǎn)撥：在理解極值概念時(shí)要注意以下幾點(diǎn):

(1)按定義,極值點(diǎn)x0是區(qū)間[a,b]內(nèi)部的點(diǎn),不會(huì)是端點(diǎn)a,b(因?yàn)樵诙它c(diǎn)不可導(dǎo))。

(2)極值是一個(gè)局部性概念,只要在一個(gè)小領(lǐng)域內(nèi)成立即可。要注意極值必須在區(qū)間內(nèi)的連續(xù)點(diǎn)取得。一個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)可以有許多個(gè)極小值和極大值,在某一點(diǎn)的極小值也可能大于另一個(gè)點(diǎn)的極大值,也就是說(shuō)極大值與極小值沒(méi)有必然的大小關(guān)系,即極大值不一定比極小值大,極小值不一定比極大值小。

(3)若f(x)在(a,b)內(nèi)有極值,那么f(x)在(a,b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù),即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒(méi)有極值。

(4)若函數(shù)f(x)在[a,b]上有極值且連續(xù),則它的極值點(diǎn)的分布是有規(guī)律的,相鄰兩個(gè)極大值點(diǎn)之間必有一個(gè)極小值點(diǎn),同樣相鄰兩個(gè)極小值點(diǎn)之間必有一個(gè)極大值點(diǎn),一般地,當(dāng)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)且有有限個(gè)極值點(diǎn)時(shí),函數(shù)f(x)在[a,b]內(nèi)的極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)是交替出現(xiàn)的。

(5)可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必須是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn),但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn),不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn),也可能不是極值點(diǎn)。