數(shù)學(xué)模型思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

北京市豐臺區(qū)東高地第三小學(xué) 管彩霞

小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是指小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科中蘊(yùn)含的能夠促進(jìn)學(xué)生終生發(fā)展和社會進(jìn)步的必備品格和關(guān)鍵能力。目前，核心素養(yǎng)的培養(yǎng)已經(jīng)成為小學(xué)數(shù)學(xué)教研的熱點(diǎn)，也成為一線教師關(guān)注的核心。小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包含的內(nèi)容非常廣泛，其中模型思想屬于高層次的數(shù)學(xué)思維方式，對學(xué)生未來在學(xué)科（數(shù)學(xué)、物理等）方面的發(fā)展有非常重要的作用。但是，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)在模型思想的培養(yǎng)上有所欠缺，不能夠支撐起學(xué)生的持續(xù)發(fā)展。

一、數(shù)學(xué)模型思想及其意義

(一)數(shù)學(xué)模型思想

數(shù)學(xué)模型思想是指將實(shí)際生活中的各種現(xiàn)象抽象成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的一種思想方法，屬于數(shù)學(xué)中的關(guān)鍵能力。例如，學(xué)生從書本、窗、門等實(shí)物中形成長方形概念的過程，就是模型思想的具體表現(xiàn)。模型思想是學(xué)生體會數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解數(shù)學(xué)模型的基本過程為：模型準(zhǔn)備—模型假設(shè)—模型構(gòu)成—模型求解—模型檢驗(yàn)。模型準(zhǔn)備是充分收集并整理相關(guān)信息的過程，這些信息具有共同的數(shù)學(xué)特征；模型假設(shè)是將收集到的信息進(jìn)行簡化的過程，抓住其中的主要矛盾，忽略掉無關(guān)因素；模型構(gòu)成是利用數(shù)學(xué)工具描述信息以及信息中各種對象之間關(guān)系的過程；模型求解是根據(jù)模型解決問題的過程；模型檢驗(yàn)是反思模型正確性的過程。五個(gè)步驟相輔相成、缺一不可。

（二）數(shù)學(xué)模型思想的意義

數(shù)學(xué)模型思想的意義主要表現(xiàn)在：一是提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。二是發(fā)展學(xué)生基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)。三是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)終身發(fā)展。

二、數(shù)學(xué)模型思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

（一）從情境中感知數(shù)學(xué)模型

許多教師采用創(chuàng)設(shè)情境的方式來引入新課，這實(shí)際上初步地涉及了數(shù)學(xué)模型思想。筆者在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，對于每一個(gè)數(shù)學(xué)問題都運(yùn)用大量的情境，讓學(xué)生自己體會其中所隱含的數(shù)學(xué)模型，從而建立數(shù)學(xué)模型。筆者所展示的實(shí)際情境既有類似的，又有不同的，從不同角度啟迪學(xué)生的思維。在學(xué)生感受情境的過程中，教師不斷地采用問題引導(dǎo)方法，幫助學(xué)生建立正確的數(shù)學(xué)模型。

例如，在《小數(shù)的意義》教學(xué)中，為了讓學(xué)生理解小數(shù)的實(shí)際意義，筆者展示了大量的生活情境。在教學(xué)之初，筆者先提出一個(gè)問題：“在超市里面，商品的價(jià)格一般以元為單位，如一支鉛筆的售價(jià)是1 元5 角，在價(jià)格牌上會寫成1.50 元；一個(gè)書包的價(jià)格是15 元5 角，在價(jià)格牌上會寫成15.50元，你們在日常生活中還碰到過哪些類似的表示方法呢？”有學(xué)生說：“我喜愛看科普書，書上說蜂鳥的身體長度為0.05米，蜂鳥的蛋重為0.46克；信天翁的翅膀長是3.6 米，蛋重是0.365 千克。”有學(xué)生說：“上次爸爸給我量了身高，稱了體重，我的身高是1.41 米，體重是39.4 千克。”還有學(xué)生說：“我上次感冒發(fā)燒，醫(yī)生給我量體溫，我的體溫是38.2攝氏度，有些偏高?！蓖ㄟ^讓學(xué)生舉例的方式，展示了生活中大量有關(guān)小數(shù)的實(shí)例。筆者接著選取其中的一些實(shí)例和學(xué)生進(jìn)行分析：“蜂鳥的身體長度為0.05 米，實(shí)際上是5 厘米；一米等于一百厘米，0.05米表示從一百厘米中取5份；信天翁的蛋重是0.365 千克，實(shí)際上是365 克。一千克等于1000克，0.365 千克是從一千克中取出365 份?！惫P者再采用圖形的方法來幫助學(xué)生進(jìn)一步理解。筆者畫出一個(gè)正方形，在旁邊標(biāo)出數(shù)字“1”，表示總量為1。然后，將正方形用豎線分成10 份，用紅色的筆涂出一份，在旁邊標(biāo)出“0.1”；用紅色的筆涂出兩份，在旁邊標(biāo)出“0.2”。類似地，將正方形分成100分，講解0.05的意義。很快，學(xué)生就理解了小數(shù)的實(shí)際意義。

為了讓學(xué)生抽象出小數(shù)模型，以教師和學(xué)生一起舉例的方式展示了大量生活中有關(guān)小數(shù)的實(shí)例。教師通過對生活實(shí)例的分析，和學(xué)生一起對生活實(shí)例進(jìn)行體驗(yàn)，在學(xué)生腦海中深刻地建立了小數(shù)的模型。在接下去的教學(xué)中，學(xué)生能夠自如地解決各種簡單的小數(shù)問題了。說明模型思想的建立對學(xué)生的理解和應(yīng)用是非常有益的。

（二）借探究來建立數(shù)學(xué)模型

探究是一種科學(xué)活動，用以研究客規(guī)世界的各種現(xiàn)象和規(guī)律。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的探究是科學(xué)探究的簡化版。雖然是簡化版，但是其主要過程和科學(xué)探究是一致的。探究可以讓學(xué)生親身經(jīng)歷知識的形成過程，從而對知識更加崇尚，理解也更加深入。在探究過程中，學(xué)生的各種思維能力也得到較多的鍛煉。各種數(shù)學(xué)模型是人類在生產(chǎn)實(shí)踐中探究而來的。如果能夠讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的探究過程，無疑可以讓學(xué)生了解模型的建立過程，從而形成模型思想。筆者在教學(xué)實(shí)踐中，一般是通過建立學(xué)習(xí)小組的方式來組織探究，這樣可以增加學(xué)生之間的交互機(jī)會，也可以減輕學(xué)生的探究壓力。

例如，在《用方程解決問題》的教學(xué)中，筆者采用了小組合作探究的方式教學(xué)。先按照座位的排布將學(xué)生分成幾個(gè)探究小組，每一個(gè)探究小組由6個(gè)學(xué)生組成。接著展示“雞兔同籠”問題：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”用現(xiàn)代話說是：“有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有35 個(gè)頭，從下面數(shù)，有94 只腳。問籠中各有多少只雞和兔？”這是《孫子算經(jīng)》中的一道數(shù)學(xué)問題，非常有趣味性，一提出就激發(fā)了各個(gè)探究小組的興趣，他們紛紛討論起來，一邊討論一邊用紙筆運(yùn)算。很快，探究小組都想出了解決方法。筆者讓他們依次展示他們的做法。有的組說：“可以將兔子的兩條前腿和兩條后腿捆起來，這樣從上面看有35 個(gè)頭，從下面看就有70 只腳。如果解開一只兔子的前腿和后腿，就會多出兩只腳。說明有12只兔子，23只雞?！庇械慕M則采用了列舉的方法，寫滿了整張紙。接著，筆者說：“能不能認(rèn)為雞有x 只，兔子有（35-x）只呢？”一句話提醒了學(xué)生。各個(gè)探究小組很快建立了方程。

教師讓學(xué)生分成小組探究“雞兔同籠”問題，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了許多解決方法，但是這些方法都比較煩瑣。在教師的提示下，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了可以采用建立方程的方法。通過前后對比，學(xué)生發(fā)現(xiàn)使用方程解決實(shí)際問題的方便之處。這為學(xué)生埋下了建立方程思想的種子，這也是一種建立數(shù)學(xué)模型的思想。

（三）到實(shí)際中應(yīng)用數(shù)學(xué)模型

小學(xué)數(shù)學(xué)和日常生活的關(guān)系是非常緊密的，可以將其中許多知識應(yīng)用到實(shí)際生活中。應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的過程，本質(zhì)上就是數(shù)學(xué)模型建立和解決的過程。應(yīng)用訓(xùn)練可以極大地提升學(xué)生的模型思想。筆者在教學(xué)中，常常拋給學(xué)生一個(gè)實(shí)際問題，讓學(xué)生使用剛剛學(xué)過的知識來解決，從而強(qiáng)化模型思想。

比如，在《百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用》教學(xué)后，給學(xué)生布置了一個(gè)任務(wù)，讓他們回家調(diào)查近幾年的家庭收入。根據(jù)調(diào)查的結(jié)果，計(jì)算家庭收入的增長百分比。有學(xué)生通過調(diào)查列出了這樣一張表格。這張表格雖然非常簡單，但卻是學(xué)生通過調(diào)查之后，對數(shù)據(jù)計(jì)算處理后所得到的，整個(gè)過程對學(xué)生理解百分比非常有價(jià)值。實(shí)踐證明，通過本次調(diào)查，基本所有學(xué)生都對百分比這個(gè)數(shù)學(xué)模型有了深刻的認(rèn)識。

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教師拋給學(xué)生一個(gè)實(shí)際問題，讓學(xué)生回家調(diào)查分析，不僅讓學(xué)生體驗(yàn)了科學(xué)調(diào)查的過程，還讓學(xué)生在處理數(shù)據(jù)、列表格的過程中體會了百分比的意義、價(jià)值。這樣，學(xué)生以后便會在生活中常常使用百分比來表示一些數(shù)學(xué)現(xiàn)象。這說明學(xué)生的數(shù)學(xué)模型思想得到了顯著的發(fā)展。

小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)對于滲透數(shù)學(xué)模型的思想作用非常大，只要長期進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，肯定會有效地滲入數(shù)學(xué)模型思想。小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)重在動手實(shí)踐和趣味性。讓學(xué)生動手實(shí)踐可以使學(xué)生手、眼、腦并用，可以快速地讓學(xué)生體會到抽象的模型。而趣味性又可以增加學(xué)生的參與程度，提升模型思想滲透的有效性。

綜上所述，小學(xué)數(shù)學(xué)中許多知識都是建立在數(shù)學(xué)模型之上的，都是從實(shí)際生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象中抽象出來的。要讓學(xué)生形成一定的數(shù)學(xué)模型思想，基本方法就是讓學(xué)生多體驗(yàn)、多實(shí)踐，學(xué)生在體驗(yàn)和實(shí)踐中會慢慢地理解數(shù)學(xué)模型建立的過程、建立的方法、建立的價(jià)值，以及求解模型的方法，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。