雙導體球在勻強外電場中的空間電場分布

董延更 趙佳羿 王 飛

(鄭州大學物理工程學院，河南 鄭州 450001)

導體球或球殼在勻強外電場中的場強分布是電動力學中的經(jīng)典題目，也是大家所熟悉的題目，但均勻電場中出現(xiàn)兩個導體球或球殼(二聚體)時的場強卻少有討論。兩導體球電極化所引起的導體球間電磁場的局域增強是表面等離激元增強和針尖等離激元增強最基本的特性之一，也是表面增強光譜的最主要原因。本文通過對單個導體球在均勻外電場中的場強分布和性質的求解分析，考慮在均勻外電場中沿電場線方向引入兩個導體球，并對其電勢場強進行計算分析，再用Matlab軟件畫出直觀的電勢場強圖像，進一步討論了在勻強電場中兩導體球之間間距和電場局域增強的關系。通過對這一電動力學經(jīng)典習題的分析和擴展，增進對表面增強光譜的初步認識和了解，同時鍛煉對計算物理和Matlab計算軟件的運用能力。

1 問題引出

首先，簡要討論均勻電場中導體球的外電場分布。

設有一半徑為R0的接地導體球置于均勻外電場E0中。導體球使空間分為兩均勻區(qū)域——球外區(qū)域和球內(nèi)區(qū)域。球外區(qū)域沒有自由電荷，因此電勢φ滿足拉普拉斯方程。由球坐標系中拉普拉斯方程的通解，代入后可得球外電勢為

(1)

其中an,bn為待定常數(shù)，由邊界條件確定。最后可得到球外電勢為

(2)

再對電勢求負梯度，得到球外的電場強度為

(3)

這是電動力學教材中的典型例題[1]。由式(3)可以看出，導體球外靠近導體球表面的電場由于導體球在外電場的作用而重新分布。球外電場線在球表面處比原有均勻場密集，即電場線向導體端面會聚。分析發(fā)現(xiàn)沿外場方向的導體球端點處的電場強度是均勻電場強度的3倍，而垂直外場方向的導體球端點處的電場強度接近零。

考慮到導體球端點處的電場強度是外加均勻電場強度的3倍，電場強度極大地增強了?？梢砸胍粋€有趣的問題：如果在均勻外電場中，沿電場線方向放置兩個相近的導體球，那么球外電勢和電場強度的分布會如何，電場強度能增大到多少倍？這一問題可以看作表面等離激元增強和針尖等離激元增強等科研前沿的簡化模型，即電子顯微鏡針尖和納米顆粒之間的相互作用。課堂上通過從科研前沿和實驗技術引入這一問題，可以增加學生學習電動力學的興趣和鍛煉學生對計算物理和Matlab計算軟件的運用能力[2]。

2 問題求解

如果采用求解拉普拉斯方程的辦法求解雙球問題，無論在雙球坐標系還是切球坐標系中進行，通常會因繁瑣的分離變量過程而束手無策。而鏡像法是電動力學中一種常用的數(shù)學方法，可以避免對拉普拉斯方程復雜繁瑣的求解。下面使用鏡像法來求解均勻電場中雙導體球的空間電勢。

圖1 (a) 導體球和一個點電荷的鏡像法示意圖；(b) 勻強電場中單個導體球的鏡像法示意圖

(4)

由幾何關系可以得到，只要選取Q1的位置使△OQ1P∽△OPQ，那么滿足

(5)

由三角形相似關系式(4)和式(5)可以得出，

式(6)、式(7)分別確定了由Q1像電荷在導體球內(nèi)部的位置和電荷大小。如果導體球不接地，要同時滿足上述邊界條件和導體球總電荷為零條件，那么在球心O添加一電荷量為-Q1的點電荷即可。

外加勻強電場可以看成是兩個相距無限遠的等量異號點電荷在其連線中點處產(chǎn)生的電場[3]，單個導體球的靜電感應現(xiàn)象，如圖1(b)所示，由對稱性條件與式(6)和式(7)可以得出，由±Q產(chǎn)生的兩組像電荷在球心處的疊加為零，球內(nèi)像電荷大小和距球心距離為

(8)

a趨向于無限大，則b趨向于零，因此在勻強電場中的像電荷可以看作一對電偶極子，其偶極矩p的大小為

(9)

由±Q在導體球表面產(chǎn)生的電場大小為

(10)

式(10)和式(9)聯(lián)立消去Q/a2得，

(11)

其中p的方向和E0方向相同。這與教材和其他文獻中單介質球的結果一致，其中的導體球可以看作介電常數(shù)為無限大的介質球[1-4]。

下面看電偶極子在導體球中產(chǎn)生的像電荷，其模型如圖2所示。

圖2 (a) 電偶極子在空間一個導體球時產(chǎn)生的像電荷；(b) 兩個相同導體球時產(chǎn)生的像電荷

取+q和-q的間距為Δl，由式(3)、式 (4)可以得出電荷-q的像電荷q1和-q1，電荷+q的像電荷q2和-q2的大小和位置(其中-q1和q2在球心處):

(12)

對于電偶極子p0，Δl應為一無窮小量，滿足：

因此電偶極子在球心處的像電荷為零，另外兩個像電荷組成一對電偶極子，其偶極矩為

(15)

如圖2所示，當空間電場方向有兩個相同導體球時，由于空間中電場作用，會在兩球心位置各產(chǎn)生一對像電偶極子p1，其偶極矩大小可由式(11)給出。像電偶極子p1會分別在另一個導體球中產(chǎn)生次級的電偶極子p2，接著產(chǎn)生p3…pn就像兩面鏡子一樣無窮反射下去[5]。

由式(11)、式(14)、式(15)得出下表：

電偶極矩距球心距離距另一球心距離p1=4πε0E0R30b1=0r1=rp2=R30r31p1b2=R20r1r2=r-b2p3=R30r32p2b3=R20r2r3=r-b3???pn=R30r3n-1pn-1bn=R20rn-1rn=r-bn

由上可以得到兩相同導體球在均勻電場中的鏡像電荷分布情況，空間電勢情況只需要將所有像偶極子的電勢和勻強電場的電勢疊加即可。

(16)

導體球表面上電勢處處相等，其電勢可由邊界電勢得出。由靜電場唯一性定理及此處級數(shù)表達式可得出此電勢是收斂的。

當y=0時，得到x軸上的電勢分布為

(17)

對電勢求負梯度，便得到x軸上的場強分布：

(18)

3 結果討論

3.1 空間中電勢和電場強度分布

上面通過計算得到了均勻電場中沿電場線兩導體球外的電勢和電場強度的分布。下面通過Matlab作圖來直觀地分析空間中球外的電勢和電場。

令兩球心距離r=10m,E0=5N/C,金屬球半徑R0=2.5m，并取多項式(16)的前100項作空間電勢方程的近似解。得到xOy平面空間等勢線圖像，如圖3所示。圖中A點、B點為兩金屬球沿x軸線方向在表面上的點，C點為沿x軸線兩球心的中點。

圖3 均勻外電場中兩導體球球外空間的電勢示意圖

圖3中兩個圓為金屬球邊界，可以看出邊界處于一條等勢線上，因此滿足上述邊界條件。由靜電場的唯一性定理可知，上述函數(shù)φx,y滿足金屬外部空間電勢分布，是正確的解。

使用Matlab對函數(shù)φx,y進行梯度運算，可以得到電場的分布及其大小。將球內(nèi)電場強度置零，可以得到空間中各位置電場強度的大小，如圖4所示。圖4中可以看出，在無窮遠處電場強度恒定為E0，在沿電場線方向的金屬球邊緣處的電場強度會明顯增大。這正是由于空間電場的電極化作用和兩球之間的庫侖力相互作用使球體產(chǎn)生感應電荷，其作用可用無限對電偶極子代替。

圖4 均勻外電場中不同距離兩導體球外的電場強度大小分布(圖4(a)球心距離為10m；圖4(b)球心距離為6m)。色帶從0.0到1.0表示強度從零到最大

在圖4中，兩球心連線上電場強度的分布關于中心點C對稱(其中A、B、C點位置同圖3)。在圖4(a)中，趨于兩導體球外端表面A點處的電場強度明顯增強?？拷鼘w球表面的B點處的電場強度強同樣明顯增強，而在兩導體球中心處C點的電場強度稍弱。電場在導體球靠近中心處B點的場強稍稍大于該導體球另一端的A點處的場強(如圖5)。這說明在均勻電場中導體球的旁邊再放一個導體球時，會使原來那個導體球端點處的電場強度進一步增強。并且隨著兩球心距離的縮小，B點和C點的電場強度將會進一步增強。

圖5 均勻電場中不同距離兩導體球x軸上的場強分布(圖5(a)球心距離為10m；圖5(b)球心距離為6m)

3.2 x軸上A、B和C點處電場強度

當移動兩個導體球，改變兩導體球的相對位置時，會發(fā)現(xiàn)x軸上導體球附近的場強發(fā)生明顯變化(如圖4，圖5)。固定A、B和C3點為球心連線上金屬球表面上兩點和球心連線中點，分別求出這3個點的電場強度隨兩導體球的相對位置R0/r的值，如圖6，得到如下結果：

圖6 (a) x軸上A、B和C 3點處電場強度隨R/r的變化；(b) 電場強度以10為底的對數(shù)

(1)x軸上第一個導體球的左端A點處的電場強度：當兩導體球相距無窮遠時，A處的電場強度為均勻場強的3倍，這與單個導體球在均勻電場處的情形相同；而當兩個導體球相互靠近時，A點處的電場強度有所增加，但變化不明顯。

(2)x軸上第一個導體球的右端B點處的電場強度：當兩導體球相距無窮遠時，B處的電場強度為均勻場強的3倍，這與單個導體球在均勻電場處的情形相同；當兩個導體球相互接近時，一開始B點處場強的增強不明顯(如圖4(a))；但當兩導體球心間距離小于2.22倍球半徑后，B點處的電場強度隨相對位置R0/r的增加發(fā)生指數(shù)形式的增長。特別是當兩導體球無限接近時，B點處的電場強度達到極值。其中，當兩導體球球心間距離為2.0002倍導體球半徑時，B點處的電場強度為均勻電場強度的100倍。

(3)x軸上兩導體球中心C點處的電場強度：當兩導體球相距無窮遠時，C點處的電場強度為均勻場強，這說明此時該點處的電場強度基本不受兩個導體球的影響。當兩個導體球相互接近時，一開始C點處場強的增強不明顯,但當兩導體球心間距離約為2.6倍導體球球半徑時，中心C點處的電場強度開始大于x軸上第一個導體球的左端A點處的電場強度。在這以后，C點處的電場強度增加越來越快，最后也呈現(xiàn)指數(shù)增長。

(4) 用Matlab作出x軸上A、B和C3點處電場強度以10為底隨R0/r的指數(shù)變化(如圖6(b)所示)?？梢钥闯觯篈點處的場強變化不大，B點場強在當兩導體球心間距離小于2.22個球半徑后的增長速率大于指數(shù)增長，C點一開始增長速率與指數(shù)增長相似但后來的增長速率也超過指數(shù)增長。

4 結論

本文從電動力學的經(jīng)典題目——均勻電場中一個導體球在端點處的電場強度是外加均勻電場強度的3倍出發(fā)，提出均勻電場中存在兩個導體球時的問題，通過模型求解和數(shù)值計算對問題進行詳細的分析討論。發(fā)現(xiàn)當兩導體球球心間距離為2.0002倍導體球半徑時，兩導體球間端點處的電場強度將增加為均勻電場強度的100倍，并用數(shù)值計算給出了兩球心連線上不同高對稱點的場強隨不同球心距離時的變化。通過對這一電動力學的經(jīng)典題目的延伸拓展，使同學增加學習興趣，并鍛煉對計算物理和Matlab計算軟件的運用能力。