電動力學觀點下的高中物理電磁學典型問題研究

張 雪 王文濤 龍玉梅 鄭泰玉

(1東北師范大學物理學院，吉林 長春 130024； 2東北師范大學附屬中學，吉林 長春 130021)

知識結(jié)構(gòu)是影響物理教師教學能力的關(guān)鍵因素之一，而物理教師知識結(jié)構(gòu)的核心內(nèi)容之一就是教師的學科本體知識。物理學科本體知識對教師的影響包括3個方面：一是，物理學科本體知識的水平?jīng)Q定著教師對物理學的理解，從而也決定著教師對物理教科書的把握和運用；二是，物理學科本體知識的理念影響著教師的物理觀念，從而影響著教師物理教學行為的選擇和調(diào)控；三是，物理學科本體知識的思想在哲學層面上規(guī)約著教師的世界觀和教育觀，從而規(guī)約著教師物理教學活動的價值取向和活動方式。

當今學生接受知識的渠道越來越多，知識面越來越廣，學生的求知欲對教師的知識結(jié)構(gòu)提出了更高的要求。要想送給學生一碗水，教師必須有一桶水。教師的知識結(jié)構(gòu)越全面，才能居高臨下地指導(dǎo)學生，讓他們抓住問題的實質(zhì)。因此，物理教師要盡可能地站在高觀點下(即大學電動力學角度)審視中學物理的內(nèi)容，加強挖掘中學物理問題背后隱藏的知識，從而提高自己的物理素養(yǎng)，形成全面、扎實、靈活的學科知識結(jié)構(gòu)。

下面結(jié)合教學中遇到的具體問題，談一談如何在電動力學觀點下對中學物理電磁學典型問題進行深入研究。

問題一 帶同種電荷的物體一定相互排斥嗎

我們知道“同種電荷相互排斥，異種電荷相互吸引”指的是點電荷。但在實際教學中，一些教師和學生往往會認為“帶同種電荷的物體相互排斥，帶異種電荷的物體相互吸引”。真的是這樣嗎？在不考慮萬有引力和磁力，僅考慮物體所帶電荷之間的相互作用力的情況下，我們來看這樣一個問題。

見圖1，一個半徑為R的金屬球帶正電，其電荷量為Q，將電荷量為q的一個正點電荷放在離球心a處，試求球上電荷作用在q上的力。

圖1

解析解答該問題需利用鏡像法，下面通過一個模型介紹鏡像法。

半徑為R的接地金屬球外有一電荷量為q的點電荷，點電荷與球心O相距a，如圖2所示。金屬球靠近點電荷一側(cè)將出現(xiàn)負感應(yīng)電荷，感應(yīng)電荷是面電荷。我們能否用假想點電荷q1來等效替代金屬球上的感應(yīng)電荷呢？根據(jù)對稱性，q1應(yīng)在Oq連線上，如圖3所示。在q和q1的共同作用下，球面上任一點P的電勢都為零，則

圖2

圖3

式中，r為q到P的距離；r′為q′到P的距離。因此對球面上任一點，有

(1)

選擇q1在合適的位置使△Oq1P與△Opq相似，則

(2)

設(shè)q1距球心為b，兩三角形相似的條件為

則

(3)

聯(lián)立(1)、(2)兩式，得

(4)

由式(3)、(4)可確定假想點電荷q1的位置和大小。

圖4

則

整理，得

(5)

第一種情況，從數(shù)學上看，對于給定的q、R、a來說，只要Q足夠小，式(5)總可以滿足。從物理上看，當Q足夠小時，Q對q的排斥力小于感應(yīng)電荷對q的吸引力，則q受到金屬球上電荷的總的作用力仍為吸引力。

第二種情況，從數(shù)學上看，a-R很小，即式(5)右端分母很小，因而式(5)可以得到滿足。從物理上看，只要q距球面足夠近，即球上感應(yīng)出來的負電荷離它很近，雖然整個球的總電荷是正的，但q還是有可能受到金屬球的吸引力。

“同種電荷相互排斥，異種電荷相互吸引”是電荷之間相互作用的一般規(guī)律，而非帶電體之間相互作用的一般規(guī)律。當兩個帶電體間距很小，不能再視為點電荷，而應(yīng)考慮其電荷分布及各部分電荷的受力情況時，帶同種電荷的物體之間就可能產(chǎn)生引力了。

速度選擇器是中學物理中涉及的一種重要儀器，與其直接相關(guān)的物理學原理便是帶電粒子在復(fù)合場中的運動。然而在實際教學中，大多數(shù)教師在對其選擇原理的理解與講授時不夠清晰明了。

圖5

列出粒子的運動學方程，求解其運動軌跡。建立如圖6所示的空間直角坐標系，設(shè)t=0時，粒子所處位置為原點O。

圖6

粒子所受的力為

其中i、j、k分別是x、y、z軸正方向上的單位矢量。則粒子的運動微分方程為

對式(7)微分，得

(8)

將式(8)代入式(6)，整理得

(9)

解得

(10)

將式(10)微分后代入式(7)，得

(11)

因為t=0時刻，vx=v，代入式(11)，得

(12)

所以

對式(13)和式(14)分別積分，得

圖7

圖8

圖9

圖10

問題三 帶電小球是否受洛倫茲力

在高中階段，運動電荷在磁場中受到的力稱為洛倫茲力。電荷量為q的粒子以速度v運動時，如果速度方向與磁感應(yīng)強度B方向垂直，那么粒子受到的洛倫茲力的大小為F=qvB。關(guān)于“洛倫茲力”的教學，常常遇到一些容易混淆的概念問題，例如，洛倫茲力中電荷的運動速度v是相對于什么參考系的速度？一般書上只是說，v是電荷q在磁場中的運動速度。而在實際中，存在下面兩種觀點。

觀點一：洛倫茲力F=qvB中的v是電荷相對于磁場B的速度；

觀點二：洛倫茲力F=qvB中的v是電荷相對于觀察者的速度。

那么，這兩種觀點哪一個是正確的呢？我們來看下面的模型。

圖11

如圖11所示，有界勻強磁場的磁感應(yīng)強度為B0，方向垂直紙面向內(nèi)(俯視圖)。當磁場以速度v0(?c)勻速向右平移，通過一水平光滑絕緣的細桿時，桿上套有一個電荷量為q(設(shè)q>0)的小球，則帶電小球是否受洛倫茲力？

持觀點一的人認為：當磁場以速度v0勻速向右平移時，可以看作帶電小球相對磁場以速度v0向左運動。因此，小球受到洛倫茲力的作用。

持觀點二的人認為：因為在物理學中，場這類非實物物質(zhì)不能夠充當參考系，“相對于磁場的速度”是沒有意義的，應(yīng)理解為“相對于觀察者的速度”。該模型中，盡管磁場向右運動，但小球相對于觀察者靜止，故不受洛倫茲力。

那么帶電小球是否受洛倫茲力呢？要弄清這個問題的本質(zhì)，必須用電動力學的相關(guān)規(guī)律進行分析。由電動力學的基本方程式可知，帶電粒子在電磁場中運動時，所受的作用力為

F=qE+q×B

這個公式被稱為洛倫茲力公式。它包括兩部分：一部分是電場力qE，另一部分是磁場力q×B(即中學階段所認為的洛倫茲力)。理論和實驗都已證明，洛倫茲力公式中的速度是相對于觀察者的，而不是相對磁場的，E和B也是相對于觀察者而言的。在應(yīng)用這個公式時，首先要明確在哪個慣性參考系中。在不同的慣性參考系中，、E和B是不同，必須先變換，再代入公式。那么在有界勻強磁場以速度v0勻速向右平移的過程中，小球的受力情況如何呢？下面作進一步分析。

如圖12所示，有兩個慣性系Σ、Σ′，Σ系靜止，Σ′系相對于Σ系以速度v0勻速向右運動。

圖12

選Σ′系固定在磁場上，磁場方向為y′軸負方向。位于Σ′系的觀察者認為，這個磁場是靜止的，在其周圍空間只存在靜磁場，其電場強度和磁感應(yīng)強度分別為

在Σ′系上觀察，小球以大小為v0的速度向x′軸負方向運動，其受到的磁場力大小為qv0B0，方向沿z′軸正方向。

由于不同參考系中所觀測到的電磁場情況并不完全一致，一個參考系中僅存在磁場，在另一個參考系中看來，還可能會存在電場。位于Σ系的觀察者認為，磁場勻速向右運動，在其周圍空間既存在電場，又存在磁場。由不同參考系之間的非相對論電磁場的變換公式

可得Σ系中的電場強度和磁感應(yīng)強度分別為

即Σ系中的觀察者認為，空間同時存在沿z軸正方向的電場Ez=v0B0和沿y軸負方向的磁場By=-B0。在Σ系上觀察，小球靜止，即速度v=0，則小球不受磁場力而受電場力，大小為qv0B0，方向沿z軸正方向。

由此可見，在Σ系和Σ′系中，帶電小球受到電磁場的作用力大小和方向是相同的。在Σ′系中，帶電小球受到的是洛倫茲力的磁場力部分；而在Σ系中，帶電小球受到的是洛倫茲力的電場力

部分。

除此以外，還有許多類似的問題需要探討。本文旨在引導(dǎo)中學的一線教師，要終身學習，不斷重溫大學的物理課程，尤其引導(dǎo)物理專業(yè)的師范生要認真學好課程，提高自身的物理素養(yǎng)，能站在高觀點下(即大學電動力學角度)審視中學物理的內(nèi)容，解決教學中難題。