基于經(jīng)驗(yàn)，超越經(jīng)驗(yàn)：數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)的基本脈絡(luò)

蔡春妹

在學(xué)習(xí)心理學(xué)的相關(guān)研究中，經(jīng)驗(yàn)有著重要的地位。比如說奧蘇伯爾曾經(jīng)說過，“假如讓我把全部教育心理學(xué)僅僅歸納為一條原理的話，那么我將一言以蔽之：影響學(xué)習(xí)的唯一最重要的因素就是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，要探明這一點(diǎn)，并依此進(jìn)行教學(xué)?！边@兒所說的學(xué)生已經(jīng)知道了什么，就是指學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，而在學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)當(dāng)中，經(jīng)驗(yàn)占著重要的一些地位。無獨(dú)有偶的是，現(xiàn)今比較流行的建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論，也將學(xué)生的先前經(jīng)驗(yàn)作為學(xué)習(xí)發(fā)生的必要因素之一。而從小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐來看，學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)確實(shí)占著重要地位。很多時(shí)候，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生的知識(shí)無法有效的構(gòu)建，就是因?yàn)閷W(xué)生缺少經(jīng)驗(yàn)的緣故。有人說，“教育是一種生長(zhǎng)，生長(zhǎng)的具體過程和內(nèi)在機(jī)制可以概括地表述為‘經(jīng)驗(yàn)的改組或改造?！被谶@樣的價(jià)值考量，他們提出了數(shù)學(xué)化教學(xué)的思路，并且認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)從學(xué)生的現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)世界出發(fā)，與教材內(nèi)容發(fā)生交互作用，讓學(xué)生在經(jīng)歷知識(shí)再創(chuàng)造的過程中建構(gòu)自己的數(shù)學(xué)體系，以實(shí)現(xiàn)其經(jīng)驗(yàn)增長(zhǎng)、意義建構(gòu)和精神發(fā)展。

毫無疑問，兒童學(xué)習(xí)是依靠經(jīng)驗(yàn)思維的，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中要把學(xué)生的生活及其個(gè)人直接經(jīng)驗(yàn)作為教學(xué)的起點(diǎn)，要關(guān)注兒童視角，尊重兒童認(rèn)知?；诖?，筆者認(rèn)為，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中要基于經(jīng)驗(yàn)，然后超越經(jīng)驗(yàn)。這應(yīng)當(dāng)成為小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)的基本脈絡(luò)。

一、基于經(jīng)驗(yàn)，小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)的基礎(chǔ)

當(dāng)我們將經(jīng)驗(yàn)視作數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)時(shí)，意味著我們的面前會(huì)出現(xiàn)兩種情形：一種情形是，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中有困難卻難以矯正的現(xiàn)象，這實(shí)際上是學(xué)生在建構(gòu)知識(shí)的時(shí)候缺少有效的經(jīng)驗(yàn)所導(dǎo)致的。另一種情形是，由于有豐富的經(jīng)驗(yàn)作為支撐，數(shù)學(xué)概念或者規(guī)律的構(gòu)建非常順利。

比如，在教“百分?jǐn)?shù)”的時(shí)候，筆者從生活當(dāng)中提取了一個(gè)素材，作為情境創(chuàng)設(shè)的材料，于是就提了這樣一個(gè)問題：小明跟著媽媽去商場(chǎng)買羊絨衫，他媽媽問了營(yíng)業(yè)員一個(gè)問題：“這件羊絨衫是全羊絨的嗎？”營(yíng)業(yè)員回答說：“百分之一百的羊絨?！蓖瑢W(xué)們知道這里說的“百分之一百”是什么意思嗎？

問題提出之后，學(xué)生的觀點(diǎn)分為兩種：一種觀點(diǎn)認(rèn)為營(yíng)業(yè)員就是說這件羊絨衫是全羊絨的意思;而另一種觀點(diǎn)則認(rèn)為營(yíng)業(yè)員并沒有表達(dá)全羊絨的意思。筆者在教學(xué)當(dāng)中做了一個(gè)有心人，就是讓這兩種不同觀點(diǎn)的學(xué)生分別講出自己的理由。持前者觀點(diǎn)的學(xué)生說：“我聽我爸說過，百分之一百就是‘全部的意思，如果不是‘全部，就不能說是百分之一百?！背趾笳哂^點(diǎn)的學(xué)生則說：“我在生活當(dāng)中經(jīng)常聽到有人說百分之一百，但是很少有‘全部的意思，有的時(shí)候倒好像是吹牛似的……”應(yīng)當(dāng)說，兩個(gè)學(xué)生都是基于自己的生活經(jīng)驗(yàn)所做出的判斷。但是由于生活經(jīng)驗(yàn)的準(zhǔn)確與否，也就影響了判斷的結(jié)果正確或不正確。

從這里我們也可以看出，經(jīng)驗(yàn)對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)確實(shí)有著重要的影響。其實(shí)在上面的例子當(dāng)中，無論學(xué)生原來有著什么樣的經(jīng)驗(yàn)，都可以引向百分?jǐn)?shù)的教學(xué)。甚至我們還可以認(rèn)為，兩種不同的觀點(diǎn)，可以讓學(xué)生對(duì)百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)更加準(zhǔn)確。在實(shí)際教學(xué)中，筆者是這樣做的：我們?cè)谫I羊絨衫的時(shí)候，需要知道羊絨的含量，也就是一件衣服當(dāng)中羊絨占多少，占比越多，羊絨衫的保暖效果也就越好。而為了表示這種占比，數(shù)學(xué)上就引入了百分?jǐn)?shù)這個(gè)概念。所謂百分?jǐn)?shù)，就是一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾。比如說在羊絨衫的例子當(dāng)中，如果一件羊絨衫全部是羊絨，那就是將羊絨衫分成一百份，而每一份都是羊絨，于是我們就說它的百分比是100%。等學(xué)生理解100%這個(gè)意義之后，再去解釋上面例子當(dāng)中另一個(gè)觀點(diǎn)，其實(shí)就可以發(fā)現(xiàn)，在生活當(dāng)中有時(shí)候用100%來描述某個(gè)事情，實(shí)際上是想強(qiáng)調(diào)這件事情的“完全”“全部”的特征，偶爾也會(huì)遇到夸張的情況，這實(shí)際上恰恰體現(xiàn)了百分?jǐn)?shù)的作用。

實(shí)踐表明，通過類似于上面的表述，學(xué)生可以在自己的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上，更準(zhǔn)確的理解百分?jǐn)?shù)。這就是基于學(xué)生經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)的意義。

二、超越經(jīng)驗(yàn)，小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)的保障

基于經(jīng)驗(yàn)，也不是說完全被經(jīng)驗(yàn)所約束。基于經(jīng)驗(yàn)的目的是為了超越經(jīng)驗(yàn)，只有超越了經(jīng)驗(yàn)，超越了生活語言，用數(shù)學(xué)語言去描述生活經(jīng)驗(yàn)，使生活經(jīng)驗(yàn)上升為數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。這種數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)過程，就能彰顯出數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)意義。

在經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上超越經(jīng)驗(yàn)，并不是一件輕而易舉的事情。其涉及學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)符號(hào)的理解。比如在上面所舉的百分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)例子當(dāng)中，百分?jǐn)?shù)作為一個(gè)數(shù)學(xué)概念，學(xué)生是如何理解的呢？筆者通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，不同的學(xué)生實(shí)際上理解的角度是不一樣的：有的學(xué)生將“百分”作為一個(gè)關(guān)鍵詞，認(rèn)為百分?jǐn)?shù)就是一個(gè)分成一百份的數(shù);有的學(xué)生則將“分?jǐn)?shù)”作為一個(gè)關(guān)鍵詞，認(rèn)為百分?jǐn)?shù)是一個(gè)與一百相關(guān)的分?jǐn)?shù)。這種理解如果我們不進(jìn)行細(xì)致的調(diào)查是無法發(fā)現(xiàn)的，而無法發(fā)現(xiàn)學(xué)生的這一認(rèn)知，意味著后面的教學(xué)有可能是在建造空中樓閣。其實(shí)我們仔細(xì)分析學(xué)生的這一認(rèn)知，可以發(fā)現(xiàn)，他們就是在自己原來的認(rèn)知基礎(chǔ)上，對(duì)百分?jǐn)?shù)做出了不同的理解。這樣的理解也可以視作是一個(gè)超越經(jīng)驗(yàn)的跳板，筆者在教學(xué)中是這樣處理的——先向?qū)W生提出問題：百分?jǐn)?shù)的關(guān)鍵詞是百分還是分?jǐn)?shù)？我們大家不妨來想一想，在我們的生活當(dāng)中，有哪些地方遇到過百分?jǐn)?shù)？

這個(gè)問題的提出，其實(shí)還是為了激活學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)。有學(xué)生說在他知道我國(guó)的耕地面積是世界耕地面積的7%;也有學(xué)生說在許多的飲料瓶上會(huì)發(fā)現(xiàn)營(yíng)養(yǎng)的百分?jǐn)?shù);還有學(xué)生說在電腦上用迅雷下載電影的時(shí)候，會(huì)顯示百分比……當(dāng)學(xué)生所舉的例子多了以后，意味著分析與綜合的思想方法可以得到充分運(yùn)用。筆者提出了一個(gè)問題，驅(qū)動(dòng)學(xué)生由生活經(jīng)驗(yàn)向數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)變：有了分?jǐn)?shù)，人們?yōu)槭裁催€要建立百分?jǐn)?shù)這么個(gè)概念？

帶著這個(gè)問題，學(xué)生開始思考。思考的結(jié)果是：在生活的不同地方，不同場(chǎng)合，常常有比較的需要，而比較的對(duì)象又常常存在著占比關(guān)系。如果采用分?jǐn)?shù)的話，由于分子不同，分母也不同，這樣比較起來就比較麻煩。而如果將分母統(tǒng)一為一百，那么通過百分?jǐn)?shù)就能一目了然地發(fā)現(xiàn)占比的高低，所以百分?jǐn)?shù)在生活當(dāng)中有著非常廣泛的運(yùn)用，同時(shí)它在數(shù)學(xué)當(dāng)中又是一種特殊的分?jǐn)?shù)……思考至此，不論是百分?jǐn)?shù)還是分?jǐn)?shù)，已不重要了，重要的是學(xué)生對(duì)百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)已經(jīng)完整了。在筆者的課堂上，這樣的認(rèn)識(shí)都是學(xué)生自己建立起來的，這說明他們對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)已經(jīng)觸摸到了本質(zhì)，從而也就完成了從生活漸漸向數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的轉(zhuǎn)變，他們已經(jīng)能夠在潛意識(shí)當(dāng)中用數(shù)學(xué)語言去理解百分?jǐn)?shù)，同時(shí)又能夠自覺地用百分?jǐn)?shù)描述其他的例子。在筆者看來，這是一種可貴的學(xué)習(xí)意識(shí)，一種理解的數(shù)學(xué)知識(shí)又將數(shù)學(xué)知識(shí)反哺于生活勵(lì)志的意識(shí)。

實(shí)際上，所謂的超越經(jīng)驗(yàn)，其實(shí)就是生活向數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)變。對(duì)生活實(shí)例進(jìn)行思維加工，將其中非數(shù)學(xué)的因素去除，留下與數(shù)學(xué)相關(guān)的因素，然后用數(shù)學(xué)語言來描述這種因素，這就完成了經(jīng)驗(yàn)的超越。

三、數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要目的

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，一定不能將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的對(duì)象理解為用語言、文字和符號(hào)表示的數(shù)學(xué)知識(shí)。如果這樣理解，那么小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)行為一定是一個(gè)枯燥的過程。反之，將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程理解為數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)不斷積累的過程，這是符合小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律的。因?yàn)樾W(xué)生本來就不擅長(zhǎng)符號(hào)的學(xué)習(xí)，而擅長(zhǎng)經(jīng)驗(yàn)的積累。所以在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們要充分利用學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生將數(shù)學(xué)直接經(jīng)驗(yàn)與已有的知識(shí)進(jìn)行科學(xué)的融合，這樣就可以形成具有典型數(shù)學(xué)價(jià)值的“數(shù)學(xué)化經(jīng)驗(yàn)”，這些“數(shù)學(xué)化經(jīng)驗(yàn)”則不斷“分裂”和“生長(zhǎng)”成為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能。

這樣的描述，對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程而言，是理想狀態(tài)的一種描述。因?yàn)樵谶@樣的狀態(tài)當(dāng)中，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程一定不是一個(gè)枯燥的加工符號(hào)的過程，正如上面百分?jǐn)?shù)的例子當(dāng)中，學(xué)生思維加工的對(duì)象一直是生活當(dāng)中的百分?jǐn)?shù)實(shí)例，通過分析與綜合，通過數(shù)學(xué)抽象，百分?jǐn)?shù)的概念逐漸清晰，從而也就完成了這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)。

由此可見，數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的積累是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要目的之一。立足于這樣的目的，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程會(huì)更加輕松，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育也就更容易得到實(shí)現(xiàn)。