元素·關(guān)聯(lián)·循環(huán)

張茂年

所謂“結(jié)構(gòu)”，就是事物各個組成部分的搭配和序列。瑞士心理學家皮亞杰在《結(jié)構(gòu)主義》一書中強調(diào)：結(jié)構(gòu)是一個整體、一個系統(tǒng)、一個集合，是一個心理系統(tǒng)或整體。小學數(shù)學知識元素，在教材中是以“點”的形態(tài)呈現(xiàn)的，如何“連點成線”“連線成面”“勾面成體”，是結(jié)構(gòu)化教學要研究的實踐課題。傳統(tǒng)數(shù)學教學，往往是教師一節(jié)一章地教、學生一節(jié)一章地學，這在一定程度上，阻滯了學生發(fā)展。教學中，教師應(yīng)當從整體上把握數(shù)學，通過每一節(jié)課的滲透、孕伏，做到前有鋪墊、后有延伸。只有當教師在數(shù)學教學中找到知識元素的“突觸”，才能將數(shù)學知識結(jié)構(gòu)化，從而引導(dǎo)學生抓住本質(zhì)，提升學生的數(shù)學學習力，發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)。

一、探尋元素：結(jié)構(gòu)化教學的前提

所謂“元素”，是指“事物最根本的構(gòu)成要素”。構(gòu)成知識點有基本元素，比如小數(shù)的元素有整數(shù)部分、小數(shù)點、小數(shù)部分;分數(shù)的元素有分子、分母、分數(shù)線等;三角形的元素有三角形的邊、頂點、角等;圓的元素有圓心、半徑、直徑、周長等。對于一個知識點而言，只有當學生深入理解知識點元素時，學生才能真正理解知識點。對于知識點來說，知識點的構(gòu)件是元素，而在知識結(jié)構(gòu)中，一個個知識點又是基本元素。

尋找元素，并將元素與元素用線條、箭頭、圖式、核心詞等勾連起來，就是結(jié)構(gòu)化教學的前提。比如知識點元素的聯(lián)結(jié)，尋找它們之間的關(guān)聯(lián)、體系。比如數(shù)學知識元素的鏈接，像二年級的“角的認識”，“認識角”其實要反映的是認識“體中有面”“面上有角”“角有一個頂點和兩條邊”，這樣自上而下，能夠?qū)ふ抑R元素之間的關(guān)聯(lián)、結(jié)構(gòu)，能刷新學生的數(shù)學視界。再比如，教學《平均數(shù)》，如果教師只是著眼于平均數(shù)，那么就只能在平均數(shù)中兜圈子。作為統(tǒng)計領(lǐng)域中的一個平均數(shù)，它到底怎樣反映“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域的一些核心知識，我們可以“用數(shù)據(jù)說話”來將所有的統(tǒng)計知識關(guān)聯(lián)起來，因為事實上，幾乎所有的統(tǒng)計知識都是圍繞數(shù)據(jù)收集、整理、表達和應(yīng)用來展開的。在數(shù)學教學中，我們不僅可以圍繞數(shù)學知識元素進行關(guān)聯(lián)，也可以圍繞數(shù)學方法元素進行關(guān)聯(lián)。比如學生在一年級學習《9加幾》時運用到“湊十法”，而到了二年級就需要學習“湊百”，三年級就需要學習“湊千”，四年級就需要學習“湊小數(shù)”，五年級就需要學習“湊分數(shù)”，盡管這些知識的形態(tài)不一樣，而回到方法層面卻是一致的，這就是“湊整法”。這種“湊整”的思想將會貫穿學生一生的數(shù)學學習之中。數(shù)學教學中，教師要主動尋求鏈接、關(guān)聯(lián)，對數(shù)學知識進行整體性表征。

探尋知識元素，有助于學生理解數(shù)學知識的本質(zhì)內(nèi)涵、內(nèi)在關(guān)系、變化規(guī)律等，有助于實現(xiàn)數(shù)學知識之間的形態(tài)轉(zhuǎn)化，有助于助推學生結(jié)構(gòu)性思維品質(zhì)的提升。如此，引導(dǎo)學生連點成線、連線成面、連面成體，實現(xiàn)學生認知圖式的自我意義建構(gòu)，促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的自主發(fā)展。

二、探尋關(guān)聯(lián)：結(jié)構(gòu)化教學的實施

所謂“關(guān)聯(lián)”，是指知識之間的牽連、聯(lián)系。過去，有教師只有到了復(fù)習階段，才將數(shù)學知識有意地關(guān)聯(lián)起來，這樣的“聯(lián)”是一種顯性的聯(lián)。關(guān)聯(lián)知識元素，不僅包括顯性之聯(lián)，也包括隱性之聯(lián)。格式塔心理學研究表明，人都有一種“完形”的心理需求，都有一種使一種完形改變成另一種完形的心理傾向。探尋關(guān)聯(lián)，就是讓數(shù)學知識進行顯性或隱性的重組、整合，從而認清事物的內(nèi)在關(guān)聯(lián)、結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。

數(shù)學知識之間的關(guān)聯(lián)，不僅僅包括內(nèi)容關(guān)聯(lián)，也包括方法關(guān)聯(lián)、思想關(guān)聯(lián)。比如，教學《異分母分數(shù)加減法》（蘇教版小學數(shù)學教材五下），教師就要有意識地將知識點進行融通、關(guān)聯(lián)。在進行“異分母分數(shù)加減法”的探究過程中，學生會用畫圖的策略、轉(zhuǎn)化的策略、通分的策略。比如，學生在畫圖的過程中，需要深刻理解分數(shù)的意義，理解分數(shù)單位;學生在轉(zhuǎn)化的過程中，需要聯(lián)通分數(shù)與小數(shù)之間的關(guān)系;學生在通分的過程中，需要運用分數(shù)的基本性質(zhì)等。這里，不僅體現(xiàn)了新舊知識間的關(guān)聯(lián)，而且體現(xiàn)了不同素材（如折紙、涂色等）之間的關(guān)聯(lián)。不僅如此，當學生認識到所有的方法背后的思想方法就是：只有分數(shù)單位相同才能直接相加或相減。聯(lián)系“整數(shù)加減法”“小數(shù)加減法”，學生就能認識到，盡管這些知識的表述形態(tài)不一樣（末位對齊、小數(shù)點對齊、分數(shù)單位相同），但它們的內(nèi)在本質(zhì)、內(nèi)涵卻是一致的，都是“只有計數(shù)單位相同才能直接相加減”。有了這樣的上位認識，就會有助于學生數(shù)學學習的遷移、應(yīng)用。這樣的認識，不僅僅局限于計算，而且對于名數(shù)的加減也有著積極的促進作用，乃至于對后續(xù)學習（比如解方程、初中階段的合并同類項等知識）都有積極的啟發(fā)、啟示作用。

在探尋關(guān)聯(lián)的過程中，學生就能自覺地關(guān)注數(shù)學核心知識，從而能形成核心素養(yǎng)。也就是學生在數(shù)學學習過程中，在不經(jīng)別人提醒、啟發(fā)、誘導(dǎo)的情況下，而能自主地會冒出一些“念頭”，產(chǎn)生一種“想法”。這種“念頭”“想法”等，其實就是一種思維素養(yǎng)，是一種更加上位、更加具有統(tǒng)整性的思考品性、品格或者習慣。

三、探尋循環(huán)：結(jié)構(gòu)化教學的標識

結(jié)構(gòu)化教學認為，學生的數(shù)學學習是一個螺旋遞進、螺旋上升的過程。這種螺旋遞進、螺旋上升的過程就是一個“循環(huán)”的過程。顯然，循環(huán)不是簡單地、機械地重復(fù)，而是一種數(shù)學思想方法的延展。這種“循環(huán)”包括知識本身循環(huán)、學生認識的循環(huán)、價值的循環(huán)等。探尋循環(huán)，是結(jié)構(gòu)化教學的標識。通過循環(huán)，學生對知識主動進行歸納、概括，主動進行解釋、運用，主動進行提煉、內(nèi)化。借助循環(huán)，學生能不斷建立、完善新的知識結(jié)構(gòu)，形成包攝力更大、統(tǒng)攝性更強的知識結(jié)構(gòu)，為學生的數(shù)學學習孕伏、滲透，奠定堅實的基礎(chǔ)。

一般地，這種循環(huán)更多地體現(xiàn)在練習、總結(jié)和問題的拓展延伸上。在練習中，學生需要將數(shù)學知識融會貫通，并且是一種恰如其分的融會貫通。在總結(jié)中，學生需要對學習過程、學習內(nèi)容等進行結(jié)構(gòu)性回顧、概括，提煉數(shù)學知識精髓。在延伸中，會滲透一些結(jié)構(gòu)性的思想，讓學生進行結(jié)構(gòu)性思考，讓學生在數(shù)學問題解決策略方面形成一種結(jié)構(gòu)性意向。通過總結(jié)、練習，數(shù)學外在知識結(jié)構(gòu)被轉(zhuǎn)化為學生內(nèi)在思維結(jié)構(gòu)、認知結(jié)構(gòu)。這里，要突出數(shù)學知識自內(nèi)而外、自下而上的結(jié)構(gòu)性生長。比如，教學《解決問題的策略——轉(zhuǎn)化》（蘇教版小學數(shù)學五年級下冊），就有必要對小學階段數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化進行梳理、提煉。如在“數(shù)的轉(zhuǎn)化”領(lǐng)域，有“小數(shù)除法轉(zhuǎn)化成小數(shù)乘法”“除數(shù)是小數(shù)的除法轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的乘法”“分數(shù)除法轉(zhuǎn)化分數(shù)乘法”，等等;如在“形的轉(zhuǎn)化”領(lǐng)域，主要有“平行四邊形的面積轉(zhuǎn)化成長方形的面積”“三角形、梯形的面積轉(zhuǎn)化成平行四邊形的面積”“圓的面積轉(zhuǎn)化成長方形的面積”“圓柱的體積轉(zhuǎn)化成長方體的體積”“圓錐的體積轉(zhuǎn)化成等底等高的圓柱的體積”，等等。通過對知識結(jié)構(gòu)的揭示，學生就會認識到，貫通這些數(shù)學知識的數(shù)學思想方法就是“轉(zhuǎn)化”，也就是要“化陌生為熟悉”“化復(fù)雜為簡單”“化未知為已知”，等等。學生就會認識到，從某種意義上說，數(shù)學學習就是一種循環(huán)，是一種思想方法的循環(huán)，是一種觀念的循環(huán)。

結(jié)構(gòu)化教學提倡根據(jù)知識的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，讓知識條理化、結(jié)構(gòu)化。有時候，數(shù)學知識之間的結(jié)構(gòu)是不那么明顯的，教師要努力探尋知識之間的關(guān)聯(lián)。在小結(jié)、練習和拓展中形成結(jié)構(gòu)、滲透結(jié)構(gòu)，讓學生在結(jié)構(gòu)中形成大觀念、高觀點和具有統(tǒng)攝性的數(shù)學思想方法等。這些高觀點、大觀念和具有統(tǒng)攝性的數(shù)學思想方法是學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要組成，也是學生數(shù)學學習力的重要組成，能助推學生的數(shù)學學習。

知識化、碎片化的數(shù)學教學狀態(tài)呼喚著結(jié)構(gòu)化教學。結(jié)構(gòu)化教學是一種回歸數(shù)學知識本質(zhì)的教學，是一種促進學生數(shù)學素養(yǎng)發(fā)展的數(shù)學教學。它契合數(shù)學知識的特質(zhì)和學生的認知規(guī)律，能讓學生數(shù)學知識結(jié)構(gòu)與學生認知結(jié)構(gòu)生長對接起來。教學中，教師要充分地依據(jù)結(jié)構(gòu)、主動地探究結(jié)構(gòu)、生成結(jié)構(gòu)、拓展結(jié)構(gòu)，從而發(fā)展自我的結(jié)構(gòu)性思維。在結(jié)構(gòu)化教學導(dǎo)引下，師生、生生能主動地探究新知，獲得方法，能讓學生的數(shù)學學習真正地、深度地發(fā)生。