基于“關(guān)鍵能力”的小學(xué)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容教學(xué)

孔凡哲、史寧中兩位教授聯(lián)合發(fā)文指出：“中國學(xué)生發(fā)展的核心素養(yǎng)必須涵蓋三種成分，其一是學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)展所必需的關(guān)鍵能力……” [1]而數(shù)學(xué)核心內(nèi)容，能聚焦數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，是學(xué)科最基礎(chǔ)和最關(guān)鍵的內(nèi)容，反映了相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容所蘊(yùn)含的一般思想和思維方式。那么析取數(shù)學(xué)核心內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)，無疑就能使得數(shù)學(xué)學(xué)科的關(guān)鍵能力可調(diào)控、可干預(yù)、可觀測、可評價，從而切實提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。為此，我們開展了“基于學(xué)科關(guān)鍵能力發(fā)展的數(shù)學(xué)核心內(nèi)容教學(xué)設(shè)計研究”的探討，并成功申報為江蘇省十三五重點(diǎn)規(guī)劃自籌課題。

一、對學(xué)科關(guān)鍵能力的認(rèn)識

1. 關(guān)鍵能力

在德國、澳大利亞、新加坡和我國臺灣地區(qū)，人們把職業(yè)生涯中除崗位專業(yè)能力之外的基本能力，稱為“關(guān)鍵能力”;換句話說，即能適應(yīng)時代賦予不同的崗位變換，并伴隨人終身的可持續(xù)發(fā)展能力。我國香港地區(qū)則將“關(guān)鍵能力”稱之為“基礎(chǔ)技能”“共同能力”。全美測評協(xié)會稱“關(guān)鍵能力”為“軟技能”;等等。2017年9月，中共中央、國務(wù)院印發(fā)了《關(guān)于深化教育體制機(jī)制改革的意見》，于其中提出四種關(guān)鍵能力：“認(rèn)知能力、合作能力、創(chuàng)新能力、職業(yè)能力?！?/p>

可見，各方所言的“關(guān)鍵能力”伴隨著人的終身成長，僅靠學(xué)校教育無法完成，更不可能僅由具體的學(xué)科教育完成。但是《關(guān)于深化教育體制機(jī)制改革的意見》提出了：“要注重培養(yǎng)支撐終身發(fā)展、適應(yīng)時代要求的關(guān)鍵能力。在培養(yǎng)學(xué)生基礎(chǔ)知識和基本技能的過程中，強(qiáng)化學(xué)生關(guān)鍵能力培養(yǎng)。”那么課堂教學(xué)中，老師就要關(guān)注學(xué)生的邏輯推理、好奇心、想象力、自我管理、勇于探索、積極動手實踐、創(chuàng)新思維等等。而數(shù)學(xué)是“思維的體操”，是“科學(xué)的皇后”，具有抽象性、邏輯的嚴(yán)密性、應(yīng)用的廣泛性，其很多屬性契合關(guān)鍵能力的培養(yǎng)要求，所以數(shù)學(xué)學(xué)科可以探索出相應(yīng)的學(xué)科關(guān)鍵能力。

2. 數(shù)學(xué)能力

其實，在提倡學(xué)科關(guān)鍵能力之前，數(shù)學(xué)能力的研究（見表1），已為小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)提供了理論支撐。而且由于“數(shù)學(xué)能力是一種特殊的能力，與數(shù)學(xué)活動相適應(yīng)，是保證數(shù)學(xué)活動順利完成所必須具備的人的心理特征?！?[2]所以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，一直是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目的之一。不過，究竟哪些數(shù)學(xué)能力就是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)鍵能力，業(yè)界尚未達(dá)成共識。

3. 小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)鍵能力

江蘇省基礎(chǔ)教育質(zhì)量監(jiān)測中心發(fā)布的《江蘇省義務(wù)教育學(xué)科核心素養(yǎng)與關(guān)鍵能力框架（小學(xué)數(shù)學(xué)）》這樣說明：“基于學(xué)業(yè)質(zhì)量評價的需要，我們對小學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)所體現(xiàn)出的關(guān)鍵能力進(jìn)行了分解?！保ㄒ姳?）

盡管上述框架尚是試行階段，然而提出了小學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力是核心素養(yǎng)的評價立足點(diǎn)，并由此明晰了學(xué)生通過數(shù)學(xué)課堂，將學(xué)習(xí)什么、可以怎么學(xué)習(xí);老師也有了教什么、為什么這樣教的依據(jù)。但是，還需將小學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力進(jìn)行界定，并進(jìn)一步指出小學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力到底是哪些能力。

其實，莊惠芬老師早在2015年就撰文提出：小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科有六大關(guān)鍵能力，包括：數(shù)學(xué)理解與數(shù)學(xué)表征能力、數(shù)學(xué)建模能力、數(shù)學(xué)邏輯思維能力、數(shù)學(xué)問題解決能力、數(shù)學(xué)推理與論證能力、數(shù)學(xué)交流與表達(dá)能力 [7]。

也有專家提出：數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力包括數(shù)學(xué)抽象能力，數(shù)學(xué)推理能力，數(shù)學(xué)建模能力，直觀想象能力，運(yùn)算能力，數(shù)據(jù)分析能力 [8]。

既然是數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，就應(yīng)該是數(shù)學(xué)之外的學(xué)科教育培養(yǎng)不出來的能力;或者說數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力應(yīng)具有小學(xué)數(shù)學(xué)意義上的獨(dú)特價值，那么交流、推理、理解、問題解決、表達(dá)、抽象等等能力之前，還可冠以語文、物理、體育等等學(xué)科，如語文表達(dá)、美術(shù)抽象、音樂交流……

再以“關(guān)鍵”審視，要培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析這六個既相對獨(dú)立、又相互交融的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，非具有數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、數(shù)形結(jié)合能力、空間想象能力、定量分析能力不可。再以“數(shù)學(xué)”察之，非邏輯思維能力不可。

二、對核心內(nèi)容的認(rèn)識

檢索1950年到2011年的教學(xué)大綱或標(biāo)準(zhǔn)，盡管由于時代局限，沒有提出“核心內(nèi)容”這一概念，但是為了突出小學(xué)數(shù)學(xué)在提高全民族素質(zhì)中的作用，都在甄選重要的內(nèi)容貫徹教育思想、提出教學(xué)任務(wù)。

2017年11月教育部頒布了《中小學(xué)幼兒園教師培訓(xùn)課程指導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)（義務(wù)教育數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)）》，于其中指出：“數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)目標(biāo)的確定以數(shù)學(xué)學(xué)科核心內(nèi)容為依據(jù)。而數(shù)學(xué)核心內(nèi)容，在小學(xué)劃分為9個一級指標(biāo)和22個二級指標(biāo)?！盵9]由此，“數(shù)學(xué)學(xué)科核心內(nèi)容”已經(jīng)成為“核心素養(yǎng)”視域下的教學(xué)應(yīng)然之路。

綜合表3、表4的觀點(diǎn)，我們課題組就“什么知識可成為小學(xué)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容”網(wǎng)絡(luò)問卷蘇州轄區(qū)的數(shù)學(xué)老師，有效答卷人數(shù)為3306人，參與問卷的老師們來源于10個區(qū)市（如圖1），榮譽(yù)稱號涵蓋江蘇省特級、蘇州市學(xué)科帶頭人、各區(qū)市學(xué)科帶頭人等（如圖2），職稱分布從高級教師到未定級教師都有（如圖3）。答卷人數(shù)眾多，保證了樣本的信度;答卷群體的廣泛性，保證了樣本的效度。

統(tǒng)計分析問卷，可知“數(shù)的概念”“數(shù)學(xué)符號”“數(shù)的運(yùn)算”“代數(shù)初步”“圖形的認(rèn)識”“圖形的測量”“數(shù)據(jù)分析”“解決問題”等8項，是老師們心目中的“核心內(nèi)容”，其具體占比情況如下：“數(shù)的概念”2358人，占71.3%;“數(shù)學(xué)符號”2404人，占72.7%;“數(shù)的運(yùn)算”2464人，占74.5%;“代數(shù)初步”2372，占71.7%;“圖形的認(rèn)識”2334人，占70.6%;“圖形的測量”2287人，占69.2%;“數(shù)據(jù)分析”2336人，占70.7%;“解決問題”2346人，占71.0%。

我們問卷結(jié)果和朱立明、馬云鵬教授研究一致，均認(rèn)為：數(shù)學(xué)核心內(nèi)容即是數(shù)學(xué)學(xué)科體系中主要內(nèi)容和關(guān)鍵內(nèi)容 [10]。再溝聯(lián)表2和表3，我們主張小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科核心內(nèi)容從兩個角度加以界定：

其一，縱觀數(shù)學(xué)知識形成的脈絡(luò)和數(shù)學(xué)邏輯發(fā)展的結(jié)構(gòu)，相較于其他內(nèi)容，核心內(nèi)容的教學(xué)能關(guān)聯(lián)一個或數(shù)個領(lǐng)域的數(shù)學(xué)教學(xué)，具有引子價值或橋梁作用，因此更具有奠基性和“種子”性。

其二，以高觀點(diǎn)的視角來看，核心內(nèi)容總是能概括一類數(shù)學(xué)知識，尋找出這一類知識不同階段的共性，所反映的也總是一般思想方法或思維方式。

三、以核心內(nèi)容的教學(xué)承載關(guān)鍵能力

比照上述界定標(biāo)準(zhǔn)，“數(shù)的概念”“數(shù)學(xué)符號”“數(shù)的運(yùn)算”“圖形的認(rèn)識”“圖形的測量”“數(shù)據(jù)分析”等核心內(nèi)容在思維方式上有同一性，但其數(shù)學(xué)本質(zhì)都相對獨(dú)立，而且這些內(nèi)容也能厘定出相對應(yīng)的關(guān)鍵能力。例如“數(shù)的概念”“圖形的認(rèn)識”重點(diǎn)在于數(shù)形結(jié)合，“數(shù)的運(yùn)算”重點(diǎn)在于數(shù)學(xué)運(yùn)算，“圖形的測量”重點(diǎn)在于邏輯思維。所以這些數(shù)學(xué)知識就成了小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科核心內(nèi)容的元素，當(dāng)然，內(nèi)容和能力之間會出現(xiàn)交叉現(xiàn)象。

正是因為核心內(nèi)容對應(yīng)了關(guān)鍵能力，這樣課堂教學(xué)就能實現(xiàn)核心素養(yǎng)的可教可評，下面以“數(shù)學(xué)符號”之“=”和“圖形的測量”之“認(rèn)識厘米”的教學(xué)片段為例展開。

數(shù)學(xué)符號是約定俗成的標(biāo)記，某種程度上就是日常教學(xué)中所言的“規(guī)定”。但是這個“規(guī)定”卻不是憑空而來的，每一個符號都是數(shù)學(xué)的發(fā)展的必然，都是數(shù)學(xué)擴(kuò)張的需要。那么數(shù)學(xué)符號的學(xué)習(xí)，可以說就是讓學(xué)生歷經(jīng)數(shù)學(xué)知識的發(fā)展，從而經(jīng)歷思維的擴(kuò)疆。所以數(shù)學(xué)符號的學(xué)習(xí)不是“說明文”——介紹產(chǎn)品，而是“議論文”——擺事實講道理。講道理，自然孕育了推理、抽象等關(guān)鍵能力。

回看案例1的教學(xué)，老師通過問題倒逼的方式，讓學(xué)生感悟到了“=”是為了“算”，更是為了“思”，即：要為下一步得出結(jié)果，就要說理“是什么相等”“憑什么相等”“怎么這樣就相等了”。這樣的教，學(xué)生自會減少一些研究者所觀察到的認(rèn)知缺陷：“12+2=14-6=8?！薄暗忍柕挠疫吺菙?shù)才算得到了結(jié)果?！薄八闶骄褪撬闶?，不能看成一個結(jié)果。”

更為重要的是，“=”是數(shù)學(xué)的根基，直觀感受里等號表示著量的相等，藏其后的是，數(shù)學(xué)通常就是用相等這樣的關(guān)系，解釋肉眼看不見的運(yùn)動、變化、規(guī)律……這樣，“=”的教學(xué)就成了引子，啟發(fā)著學(xué)生在推理中構(gòu)建各種求真、求序的理性關(guān)系：約等于、大于、小于、大于或等于、遠(yuǎn)大于、遠(yuǎn)小于、屬于、包含、全等……如是，在提升推理能力的同時，又不斷發(fā)展著抽象能力、建模能力。

【案例2：“認(rèn)識厘米”】老師讓學(xué)生估一估紙條中的線段大約長幾厘米，再讓學(xué)生用尺子實際測量線段的長度。老師巡視，手機(jī)抓拍沒有對齊尺子的0刻度的（圖5）、尺子擺放傾斜的情況（圖6），及時投影，評議出合理的測量方法（圖7）。最后出示沒有0刻度的尺子（圖8），提問學(xué)生可否度量。

一開始學(xué)生感知了1厘米的長度，但僅有1厘米的經(jīng)驗還不夠，度量結(jié)果更多的是多個1厘米，學(xué)生需要對多個1厘米究竟有多長，做適度表征。老師及時讓學(xué)生估一估，發(fā)展了學(xué)生直觀想象能力，積累了單位長度的量感。之后的實際度量，不但讓學(xué)生檢驗了其感覺的正確與否，而且讓學(xué)生再說明為什么要對齊0刻度，尺子為什么不能傾斜擺放，如何合理擺放尺子才是正確的，學(xué)生將感官聚焦到理性思辨，發(fā)展了其推理能力。在學(xué)生自認(rèn)為學(xué)習(xí)完畢的時候，提出沒有0刻度可否度量，學(xué)生的推理更進(jìn)一步。原來測量除了正確與否，還有好壞之分，更有趣的是在“疑無路”的時候，數(shù)學(xué)的理性可以幫助學(xué)生找到“又一村”。

盡管楊志宇認(rèn)為小學(xué)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容的教學(xué)存在兩大問題：一是教師對數(shù)學(xué)核心內(nèi)容的認(rèn)識還不到位，不能從數(shù)學(xué)課程觀的角度來看待數(shù)學(xué)，只是孤立地對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行講授;二是教師對核心知識的教學(xué)缺乏科學(xué)設(shè)計，不能抓住數(shù)學(xué)核心內(nèi)容的本質(zhì)來設(shè)計教學(xué)的各個環(huán)節(jié) [12]。而從上文兩個教學(xué)案例可以窺見，我們課題組的努力正好在縫補(bǔ)這個缺陷。比如“=”的教學(xué)，引發(fā)的是“數(shù)學(xué)是一種關(guān)系”，那就要尋找除了相等之外的關(guān)系，但之后一系列的關(guān)系又是以“=”作為基礎(chǔ)的;“認(rèn)識厘米”的設(shè)計，考量的是線段長度是一切度量的出發(fā)點(diǎn)，而且認(rèn)識厘米的思維方式，是今后認(rèn)識其他度量單位的基石;所以教學(xué)中老師讓學(xué)生估計線段的長短，這不但是訓(xùn)練對長度的感覺，更是培養(yǎng)學(xué)生以1厘米為參照，合理推測幾厘米究竟有多長，這樣就為面積單位、體積單位的學(xué)習(xí)累積了推理的經(jīng)驗，于是有限可加的線段長度，是為了未來可列可加的測度。

至此，通過對“關(guān)鍵能力”和“小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科核心內(nèi)容”的剖析，帶來了一種新思路，以核心內(nèi)容統(tǒng)領(lǐng)小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)，學(xué)生在思考新知識的生長時就會有“左右逢源”的意識，關(guān)鍵能力的培養(yǎng)就有了切實的抓手;而且由于核心內(nèi)容的教學(xué)是引子，學(xué)生的學(xué)習(xí)既是為當(dāng)下獲得關(guān)鍵能力，更是以今天獲得的關(guān)鍵能力，讓未來的不熟知的學(xué)習(xí)找到了方向，因為數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)鍵能力已經(jīng)成了學(xué)生解釋世界的手段，數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)鍵能力已經(jīng)悄然地化成了學(xué)生的一種思維方式。

當(dāng)然，回顧、整理問卷，問卷提及的“代數(shù)初步”“解決問題”，由于沒有突出內(nèi)容及其認(rèn)知方式的本質(zhì)特征，因此較難將其與培養(yǎng)哪一關(guān)鍵能力建立聯(lián)系。所以找準(zhǔn)小學(xué)數(shù)學(xué)知識體系中的核心內(nèi)容，將是課題組在現(xiàn)有成果探索之上，未來理論研究的一個重要著力點(diǎn)。同時，精心設(shè)計小學(xué)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容的教學(xué)，提供更多的精彩課堂范例，將是課題組未來實踐取向的著力點(diǎn)。

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