“對(duì)稱(chēng)與群”教學(xué)案例

【關(guān)鍵詞】校本選修課;課程開(kāi)發(fā);課程體系;對(duì)稱(chēng)與群

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號(hào)】1005-6009（2019）59-0022-02

【作者簡(jiǎn)介】劉永瑞，江蘇省泰州中學(xué)（江蘇泰州，225300）教師，一級(jí)教師。

一、課程開(kāi)發(fā)方案

1.開(kāi)設(shè)緣由。

首先，課程“對(duì)稱(chēng)與群”是近代代數(shù)學(xué)分支，概念豐富抽象，數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言較多，開(kāi)設(shè)這門(mén)課程可鍛煉學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)語(yǔ)言、理解數(shù)學(xué)抽象概念的能力。

其次，群論是19世紀(jì)才逐步發(fā)展起來(lái)的近代數(shù)學(xué)理論，相對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)而言要“先進(jìn)”很多，選修這門(mén)課程的學(xué)生能通過(guò)這扇窗戶(hù)了解到一些近代數(shù)學(xué)的概念和公理化體系，有利于擴(kuò)展學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，有利于提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值的認(rèn)識(shí)。

基于以上考慮分析，以人教版選修3-4教材“對(duì)稱(chēng)與群”為參考，結(jié)合校本的實(shí)際情況，用講座的方式開(kāi)設(shè)這門(mén)課程。

2.課時(shí)設(shè)計(jì)。

本課程共安排6講12課時(shí)。課程實(shí)施過(guò)程中，可以根據(jù)實(shí)際情況調(diào)節(jié)具體進(jìn)度、增減章節(jié)。這6講課程的具體內(nèi)容見(jiàn)下表。

二、課程實(shí)施案例展示

下面以“平面剛體運(yùn)動(dòng)的定義”這一內(nèi)容為例，展示教學(xué)過(guò)程。

1.情景引入。

觀察我們身邊的事物，可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)稱(chēng)是現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中大量存在的現(xiàn)象，蝴蝶的翅膀、昆蟲(chóng)的觸角、飛機(jī)的機(jī)身都有軸對(duì)稱(chēng)性。

“對(duì)稱(chēng)”是一種非常普遍的自然現(xiàn)象，它在物理學(xué)、化學(xué)和生命科學(xué)中得到廣泛的研究和應(yīng)有;同樣地，在數(shù)量關(guān)系、空間形式中“對(duì)稱(chēng)”現(xiàn)象也大量存在，因而它也是數(shù)學(xué)研究的重要對(duì)象，對(duì)其的研究成果形成了系統(tǒng)的數(shù)學(xué)理論。

2.構(gòu)建概念。

定義1：如果一個(gè)平面圖形沿著平面上一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線稱(chēng)為它的對(duì)稱(chēng)軸。

定義2：把一個(gè)平面圖形繞平面上某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形，這個(gè)點(diǎn)稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)中心。

對(duì)“對(duì)稱(chēng)性”的研究常?？梢允刮覀兗由顚?duì)物體性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，在我們的課程中，將借助新的數(shù)學(xué)概念來(lái)研究各種各樣的“對(duì)稱(chēng)性”，介紹關(guān)于“對(duì)稱(chēng)”的數(shù)學(xué)理論。

（1）反射變換的定義?，F(xiàn)在我們換個(gè)角度來(lái)考察剛才的定義1和定義2。我們知道一個(gè)平面可以看成是點(diǎn)的集合，就像我們把直線看成點(diǎn)的集合一樣，設(shè)α是一個(gè)由平面內(nèi)的所有點(diǎn)組成的集合，l是這個(gè)平面內(nèi)的一條直線，定義點(diǎn)集α到其自身的一個(gè)映射r：P→P′，其中r把平面α內(nèi)的任意一點(diǎn)P映到關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′，我們把這個(gè)映射稱(chēng)為平面α關(guān)于直線l的反射（reflection）。

（2）變換觀念下看軸對(duì)稱(chēng)圖形?？梢灾?，在反射變換r的作用下，平面α內(nèi)的點(diǎn)被映到點(diǎn)，平面α內(nèi)的圖形被映到與它全等的圖形，這時(shí)，如果一個(gè)圖形在映射r的作用下仍與原來(lái)的圖形重合，我們就稱(chēng)這個(gè)平面圖形是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形。

那么，如何用變換的觀念看中心對(duì)稱(chēng)圖形呢？

（3）變換觀念下看中心對(duì)稱(chēng)圖形。180°旋轉(zhuǎn)變換：設(shè)α是一個(gè)由平面內(nèi)的所有點(diǎn)組成的集合，O是平面α內(nèi)的一個(gè)固定點(diǎn)，定義點(diǎn)集α到其自身的一個(gè)映射ρ：P→P′，ρ把平面α內(nèi)的任意一點(diǎn)P繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后映到點(diǎn)P′，這個(gè)映射稱(chēng)為以點(diǎn)O為中心的180°旋轉(zhuǎn)（rotation）。

一般地，如果一個(gè)平面圖形在映射ρ的作用下仍與原來(lái)的圖形重合，我們就稱(chēng)這個(gè)圖形是一個(gè)中心對(duì)稱(chēng)圖形。

思考題：按著這個(gè)定義，平行四邊形、正六邊形、圓都是中心對(duì)稱(chēng)圖形嗎？這個(gè)定義與前面的定義2等價(jià)嗎？

（4）旋轉(zhuǎn)變換與恒等變換。我們可以對(duì)以O(shè)為中心旋轉(zhuǎn)180°的旋轉(zhuǎn)進(jìn)行推廣：表示平面內(nèi)以一個(gè)固定點(diǎn)P為中心轉(zhuǎn)任意給定角度的旋轉(zhuǎn)，這樣定義的映射在數(shù)學(xué)上稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)變換。旋轉(zhuǎn)角度為0°的旋轉(zhuǎn)變換把平面上的所有點(diǎn)映到它自身，這個(gè)映射使整個(gè)平面上的每個(gè)點(diǎn)都保持不動(dòng)，所以稱(chēng)為恒等變換（identity transformation）。

提煉：可以發(fā)現(xiàn)反射變換和旋轉(zhuǎn)變換有一個(gè)共同點(diǎn)——保距性，即對(duì)于平面內(nèi)的任意兩點(diǎn)P和Q，在變換的作用下得到點(diǎn)P′和Q′，滿(mǎn)足

|PQ| = |P′Q′|，借用物理學(xué)中的名詞，我們把這類(lèi)“保持距離不變”的映射稱(chēng)為平面剛體運(yùn)動(dòng)。

（5）平面剛體運(yùn)動(dòng)的概念。定義：設(shè)α是一個(gè)平面，映射m：平面α→平面α是一個(gè)一一映射，若m保持平面α內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離不變，則稱(chēng)m是一個(gè)平面剛體運(yùn)動(dòng)（the rigidmotion of the plane）。

3.課后思考問(wèn)題。

尋找身邊有趣的平面剛體運(yùn)動(dòng)的例子，并用代數(shù)語(yǔ)言解釋描述。