“多變”的一線三等角
——一節(jié)變式教學(xué)課的教學(xué)策略研究

☉廣東省深圳市觀瀾第二中學(xué) 王振鑫

☉廣東省深圳市龍華區(qū)教育科學(xué)研究院附屬學(xué)校 張 璇

一線三等角是初中幾何教學(xué)中一種常見(jiàn)的數(shù)學(xué)模型，其本質(zhì)是在一條直線上有三個(gè)相等的角.初一階段，學(xué)生初識(shí)全等三角形的判定時(shí)，常見(jiàn)的是有三個(gè)直角的頂點(diǎn)在同一條直線上，而隨著難度的不斷增加，這個(gè)角可以是直角，也可以是銳角和鈍角.有的題目中，需要對(duì)不完整的模型通過(guò)添加輔助線的方法構(gòu)建一線三等角，這便需要學(xué)生在掌握基礎(chǔ)模型后，能夠熟練辨析這其中的“變”與“不變”.筆者將結(jié)合一節(jié)廣東省初中數(shù)學(xué)交流研討課的執(zhí)教內(nèi)容，談?wù)勍ㄟ^(guò)類比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，讓學(xué)生感受專題學(xué)習(xí)的方式和方法.

一、模型呈現(xiàn)，知性明理

1.固化模型，引發(fā)思考

例1如圖1，在△ABE中，∠ABE=90°，AB=BE，AC⊥CD，DE⊥CD，你會(huì)得到什么結(jié)論？如果改變條件：AB≠BE，你又會(huì)得到什么結(jié)論？

解析：從題目中發(fā)現(xiàn)，在圖中有三個(gè)直角，且這三個(gè)直角的頂點(diǎn)C、B、D在同一條直線上，這是典型的一線三等角模型.由于AB=BE，易得△ACB和△BED全等.若AB≠BE，此時(shí)△ACB和△BED相似.而題目中的難點(diǎn)便是如何找到除了直角相等以外的角相等.

2.旋轉(zhuǎn)變式，激發(fā)興趣

變：如圖2，如果將圖1的模型通過(guò)旋轉(zhuǎn)變化，此時(shí)能夠得到哪些結(jié)論？

解析：通過(guò)旋轉(zhuǎn)變化，轉(zhuǎn)到圖2的位置，使得三個(gè)角沿著某條直線錯(cuò)開(kāi)（即在直線的異側(cè)），引發(fā)學(xué)生的思考，此時(shí)如果AB≠BE，能有相似的三角形存在嗎？如果繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到特殊的位置，如圖3，此時(shí)變成了相似中的常見(jiàn)模型——“子母”型，但其本質(zhì)還是一線三等角模型.通過(guò)不斷旋轉(zhuǎn)，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)模型的意識(shí)，為接下來(lái)繼續(xù)變式奠定基礎(chǔ).

3.角度變化，加深模型

變：如果將上述的直角進(jìn)行變化，變成銳角、鈍角、任意角，（如圖4和圖5）結(jié)論是否仍成立？

分析：在這個(gè)過(guò)程中，盡管角度不斷發(fā)生改變，但是其中永遠(yuǎn)不變的是這三個(gè)相等角的頂點(diǎn)都在一條直線上，這便是這個(gè)題目的核心.在圖4和圖5中，與圖1模型相同，其找角相等的方法也一樣，以 圖4 為 例：∠C=180° -∠2 -∠CEA，∠DEB=180°-∠1-∠CEA，由于∠1=∠2，則∠C=∠DEB，此時(shí)會(huì)得到兩個(gè)三角形相似.圖6是圖3的角變換模型，具體找角相等的方法和圖3一樣，同樣可以得到三角形相似.

設(shè)計(jì)理念：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：幾何直觀主要指利用圖形描述和分析問(wèn)題，可以把復(fù)雜的問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探究解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果.教師通過(guò)模型化例題讓學(xué)生感知模型的特點(diǎn)和本質(zhì)，通過(guò)簡(jiǎn)單變式加深學(xué)生對(duì)模型的理解，這對(duì)接下來(lái)通過(guò)添加輔助線深入探究一線三等角模型奠定了基礎(chǔ).

二、模型應(yīng)用，聯(lián)想構(gòu)造

1.由45°聯(lián)想的一線三等角模型

例2如圖7，已知反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，4），P為該函數(shù)圖像上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若∠POA=45°，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______.

解析：構(gòu)造一線三等角，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥AO交OP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線DA，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AD于點(diǎn)C，此時(shí)構(gòu)建一線三等角模型，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可以得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線OP的解析式，將直線OP的解析式與反比例函數(shù)解析式聯(lián)立，解方程組便可求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

反思：此題中，出現(xiàn)45°角，引發(fā)學(xué)生思考，我們常見(jiàn)的什么樣的圖形中出現(xiàn)45°的角？等腰直角三角形.如果本題能夠像圖1那樣構(gòu)造等腰直角三角形就會(huì)解決問(wèn)題，那么此類問(wèn)題就可以總結(jié)為：45°→構(gòu)造等腰直角三角形→構(gòu)造“一線三等角”——全等，如圖9所示：

此種45°角的核心問(wèn)題就是準(zhǔn)確作出垂線，作垂線的方法有很多，但只要保證45°角在直角三角形中，那此時(shí)就會(huì)構(gòu)建等腰直角三角形，為構(gòu)建一線三等角模型奠定基礎(chǔ).不同的構(gòu)造方式如圖10所示：

在作垂直時(shí)，可以從不同的頂點(diǎn)作垂直，但核心是包含45°角，而從45°角出發(fā)的一條直線（即三點(diǎn)共線的“線”）可以是水平的，也可以是斜的，最終轉(zhuǎn)化為從45°角的端點(diǎn)作“線”的垂線，構(gòu)建基本模型.

三、模型鞏固，識(shí)別應(yīng)用

一線三等角模型在中考中經(jīng)常應(yīng)用，如何能夠準(zhǔn)確識(shí)別該模型并能夠構(gòu)造模型則考查學(xué)生學(xué)以致用的能力，因此教師在上課時(shí)應(yīng)該對(duì)比各類習(xí)題，加強(qiáng)和鞏固學(xué)生對(duì)相關(guān)模型的識(shí)別和鞏固.筆者以近7年來(lái)深圳中考題目中該模型的應(yīng)用為例.

題1：（2017深圳12）如圖11，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是3，BP=CQ，連接AQ、DP交于點(diǎn)O，并分別與邊CD、BC交于點(diǎn)F、E，連接AE，有下列結(jié)論：①AQ⊥DP；②OA2=OE·OP；③S△AOD=S四邊形OECF；④當(dāng)BP=1時(shí)，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）.

A.1 B.2 C.3 D.4

構(gòu)造模型，如圖12.

題2：（2016深圳12）如圖13，CB=CA，∠ACB=90°，點(diǎn)D在邊BC上（與點(diǎn)B、C不重合），四邊形ADEF為正方形，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥CA，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接FB，交DE于點(diǎn)Q.給出以下結(jié)論：①AC=FG；②S△FAB∶S四邊形CBFG=1∶2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ·AC.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）.

A.1 B.2 C.3 D.4

構(gòu)造模型，如圖14.

其他年份深圳中考題構(gòu)建模型前后對(duì)比：（題目略）

從上述例題構(gòu)造模型前后的對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)試題中所出現(xiàn)的復(fù)雜幾何圖形往往是我們所熟悉的基本圖形的整合，由若干個(gè)基本模型融合而成.這需要教師在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生分析題目本質(zhì)，關(guān)注和提煉基本模型，對(duì)分析問(wèn)題和化繁為簡(jiǎn)的能力培養(yǎng)有很好的促進(jìn)作用.縱觀深圳中考題，每年都會(huì)涉及一線三等角模型，此題目通常出現(xiàn)在深圳的壓軸題位置，通過(guò)綜合性試題的設(shè)置來(lái)測(cè)量學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握度和綜合分析能力，這是命題者所關(guān)注的，而教師要善于培養(yǎng)學(xué)生的“火眼金睛”，去挖掘、去發(fā)現(xiàn)這樣的一些基本圖形，往往通過(guò)對(duì)這些基本圖形的探討，對(duì)綜合題目進(jìn)行有效分解，可消除學(xué)生對(duì)綜合題的畏懼心理，提高問(wèn)題解決能力.