解題教學(xué)要重視“破題”與反思回顧
——以兩則解題教學(xué)的片段為例

☉江蘇省海安市城南實驗中學(xué) 鄧厚波

解題教學(xué)、習(xí)題講評幾乎在每節(jié)數(shù)學(xué)課中都有體現(xiàn)，但是不同的數(shù)學(xué)教師對解題教學(xué)的認識和理解有很大的不同，特別是一些未經(jīng)充分準備的解題教學(xué)，往往就題講題，沒有觸及問題本質(zhì)，也就是史寧中教授所指出的：只知道在講題，但沒有“破題”.本文結(jié)合最近聽兩節(jié)隨堂課中記錄的講題片段，跟進評析并提出教學(xué)建議，供研討.

一、兩則解題教學(xué)的片段及教學(xué)建議

教學(xué)案例（一）“含參”二次函數(shù)綜合題講評

說明：這是一份中考?？季淼牡?6題第（2）問，據(jù)講評老師說閱卷時發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生沒做出來，班上只有3名學(xué)生用了不同的思路解題，上課前布置了這3名學(xué)生先講解此題.

習(xí)題1：已知二次函數(shù)y=-x2+bx-c的圖像與x軸的交點坐標(biāo)為（m-2，0）和（2m+1，0）.

（2）若y=1時，自變量x有唯一的值，求二次函數(shù)的解析式.

生1：題目中提到二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標(biāo)為（m-2，0）和（2m+1，0），所以可以先求出對稱軸：x=，結(jié)合y=1，代入二次函數(shù)表達式中，解關(guān)于m的方程可得解.

生3：由圖像與x軸的交點坐標(biāo)為（m-2，0）和（2m+1，0），可以設(shè)二次函數(shù)的“交點式”為：y=-（x-m+2）（x-2m-1），再把頂點坐標(biāo)代入計算.

師：這三名同學(xué)的解題思路各不相同，他們在解題時都注意到了什么？

師：題目中什么條件可以幫助你得到頂點的坐標(biāo)？

生1：由（m-2，0）和（2m+1，0）可以得到頂點的橫坐標(biāo)為

生2：y=1時，自變量x有唯一的值，說明y=1是頂點的縱坐標(biāo).

師：生5（成績中上），你在解題時看出頂點的坐標(biāo)了嗎？

生5：看出來了.

師：后面為什么沒有做出來呢？

生5：后面不知道怎么做.

師：這道題的最終目標(biāo)是什么？

生5：求這個二次函數(shù)的解析式.

師：這就是你應(yīng)該接著思考的方向，題目中已有解析式y(tǒng)=-x2+bx-c，可以將b、c用m來表示，比如他們3人的做法，可以將解析式重新設(shè)為頂點式或交點式，當(dāng)我們在解題中失去方向時，不妨看看我們的目標(biāo)，它也許能為我們引路，當(dāng)我們沿著方向找不到路時，不妨看看條件，它也許就是解題走向成功的基石.

簡評：雖然上述教學(xué)對話讓不少學(xué)生似乎理解了這道題的解答，但是我們覺得這類問題的教學(xué)關(guān)鍵沒有講到位.那么什么是這道習(xí)題的關(guān)鍵步驟？ 除了在上述對話中教師反復(fù)提及的頂點坐標(biāo)我們認為處理這類“含參”二次函數(shù)的另一個關(guān)鍵就是“消參”，就像二元一次方程組的求解一樣，需要引導(dǎo)學(xué)生重視消去多個參數(shù)，如不看后續(xù)設(shè)問，就應(yīng)該能夠把二次函數(shù)解析式中的b、c用含m的式子表示出來，從而再借助對最值或頂點的分析就能實現(xiàn)問題解決.教學(xué)中可以適時出示一些提示性、鋪墊式問題：

問題1：用含m的式子分別表示b、c；

問題2：畫該二次函數(shù)的圖像（拋物線，草圖），并用含m的式子表示頂點的坐標(biāo).

教學(xué)組織：教學(xué)過程中讓學(xué)生圍繞這兩個問題充分討論、交流、展示，可以實現(xiàn)鋪墊問題的教學(xué)價值，促進學(xué)生想清、想透問題求解的關(guān)鍵.

教學(xué)案例（二）旋轉(zhuǎn)后探究定點與動點的最小距離

習(xí)題2：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點O（0，0）、A（2，0）、.將△OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°）得到△OA′B′，（其中點A旋轉(zhuǎn)到點A′的位置）設(shè)直線AA′與直線BB′相交于點P，則線段CP長的最小值為（）.

師：由題目我們可以知道，C是定點（-2，0），而P是動點，所以要求線段CP長的最小值，我們需要知道什么呢？

生1：點P的運動軌跡.

師：非常好，那點P的運動軌跡是什么呢？請同學(xué)們根據(jù)題目中的已知條件先自行畫出圖形來思考.

（學(xué)生自己畫圖，教師巡視，發(fā)現(xiàn)了幾種不同的畫法，挑選其中的圖1摘記如下，有幾個學(xué)生因為畫圖不精準，比如旋轉(zhuǎn)后△OA′B′的形狀與大小發(fā)生變化，影響了思路探究的方向，教師提醒了學(xué)生作圖要準確）

師：這種圖形對應(yīng)的是α在什么范圍內(nèi)的情形？

生2：0°＜α＜90°.

師：還有同學(xué)畫的是旋轉(zhuǎn)角度在90°＜α＜180°、180°＜α＜270°或者270°＜α＜360°的吧，你們把圖形檢查一下：是否精準構(gòu)圖？通過這些有代表性的圖形，你能發(fā)現(xiàn)點P的運動軌跡嗎？如何說明呢？

（學(xué)生眉頭緊鎖，感覺還是無從下手）

師：換個問題，你能求出∠APB的度數(shù)嗎？請同學(xué)們對照各自所畫的圖形求解.

（學(xué)生思考，在練習(xí)本上書寫過程，教師在巡視過程中發(fā)現(xiàn)一些成功的解法，安排相應(yīng)學(xué)生上臺講解）

生3：由旋轉(zhuǎn)過程我們可以知道，OA=OA′，OB=OB′，∠AOA′=∠BOB′=α，所以可以得到△AOA′～△BOB′，所以∠OAA′=∠OBB′.又∠OAA′+∠OAP=180°（平角的定義），所以∠OBB′+∠OAP=180°，所以在四邊形OAPB中，由四邊形內(nèi)角和為360°，可以得到∠AOB+∠APB=180°，所以∠APB=90°.

師：嗯，好，說得非常詳細.得到∠APB=90°.那么其他不同旋轉(zhuǎn)角度情況下是不是也能得到∠APB=90°呢？哪個同學(xué)來說明一下？

生4：同樣可以得到，因為證明相似或推導(dǎo)等角的一些要素都沒有變化，只是圖形位置發(fā)生了變化.

師：你們分組再互相講解一下證明直角的過程.

師：現(xiàn)在知道了始終有∠APB=90°，那你說點P的運動軌跡是什么呢？

生5：以AB為直徑的圓.

生6：會！

師：那么，誰來給大家說一下？好的，你上臺講解一下.

生6：首先，我們可以知道點P運動的圓的圓心，記為點Q，其坐標(biāo)為，半徑為2.CP最小就是CQ-r，即

師：同學(xué)們聽懂了沒有？

生：（齊）懂了.

師：好的，如果我要求CP長的最大值呢？

生：（齊）CQ+r.

師：相信同學(xué)們下次再遇到這類題型應(yīng)該能夠解決了.

簡評：這道考題突破的關(guān)鍵是三角形繞原點旋轉(zhuǎn)后其中一組對應(yīng)邊所在直線的夾角問題，從上面的教學(xué)對話來看，教師在這個方面引導(dǎo)學(xué)生進行了較為深入的討論，并且在不同旋轉(zhuǎn)后的圖形位置進行了畫圖探究，教學(xué)用時較多.我們認為，從解題教學(xué)效率來看，不宜讓學(xué)生畫出這么多旋轉(zhuǎn)之后對應(yīng)的圖形，這些圖形的精準構(gòu)圖耗時費力，是一種較為盲目的試探性質(zhì)的“實驗畫圖”，通過大量“實驗畫圖”發(fā)現(xiàn)規(guī)律對于考場上解決這類問題消耗的時間來說成本太高，并不是有效的應(yīng)試解題指導(dǎo).考慮到選擇題解題的特殊性，我們可以任選一個旋轉(zhuǎn)角度，以特殊角度30°、45°或90°為例，可以構(gòu)造一些特殊位置，獲得求解方向之后，引導(dǎo)學(xué)生“走向一般”進行思考、歸納并大膽猜想，如果有條件，教師課前應(yīng)該制成幾何畫板的演示課件，以提高課堂效率.

二、進一步的思考

（一）開展較難習(xí)題講評之前教師精心備題

從上面兩則解題教學(xué)片段來看，教師在上課之前都對相關(guān)學(xué)生答題進行了批閱，教師本人也理解了學(xué)生的一些不同解法，所以安排了不同學(xué)生上臺講解，并跟進追問，看似準備得比較充分，其實精心備題還有很多可以提升之處，比如，教師要想清問題求解的關(guān)鍵步驟，并從學(xué)情研判出發(fā)，思考多數(shù)學(xué)生不能順利求解的原因是什么，需要在哪些方面加強引導(dǎo)、教學(xué)干預(yù)，就如我們在上面提供的一些操作性建議一樣，這樣的“鋪墊式問題”在課前充分預(yù)設(shè)了，就可以讓課堂討論、交流有一個主線，以免學(xué)生的講題“踩著西瓜皮，滑到哪里是哪里”，造成解題教學(xué)效率的低下.

（二）解題教學(xué)后要安排解后回顧、明辨難點

從上面兩個解題教學(xué)的片段來看，教師在解題教學(xué)之后，都沒有引導(dǎo)學(xué)生反思回顧，想清辨明這些較難題的關(guān)鍵步驟、易錯之處，這是一種教學(xué)遺憾.美國著名數(shù)學(xué)教育家波利亞在名著《怎樣解題》中一再強調(diào)解后回顧的重要性，是值得我們傾聽的，并將這種解后回顧與反思傳遞給學(xué)生，讓他們也懂得解后回看問題結(jié)構(gòu)、關(guān)鍵步驟、難點障礙點等，這樣的教學(xué)環(huán)節(jié)就像從“黑暗中摸索”走向“開燈看清”一樣，不可或缺.