重視定義：數(shù)學(xué)新授課教學(xué)的用力點(diǎn)
——以“圓的起始課”教學(xué)為例

☉湖北省武漢市第四十五中學(xué) 葉 蓓

“圓的起始課”在不少版本的教材上都是通過生活中圓的圖片引入新課，進(jìn)而給出圓的描述性定義，再給出“集合定義”，整節(jié)課中與圓相關(guān)的概念瑣碎，教學(xué)難有新意，往往還給出很多訓(xùn)練知識(shí)記憶類的習(xí)題進(jìn)行練習(xí)，這些“圓的起始課”教學(xué)的品質(zhì)不高.最近筆者有機(jī)會(huì)執(zhí)教“圓的起始課”，對(duì)比不同版本教材后“教材再建構(gòu)”，基于深刻理解數(shù)學(xué)的角度重視圓的定義教學(xué)，并成為圓的新授課教學(xué)的一個(gè)用力點(diǎn).本文梳理該課教學(xué)流程，并給出筆者的教后反思，供分享和研討.

一、“圓的起始課”教學(xué)流程

教學(xué)環(huán)節(jié)（一）畫圓活動(dòng)，形成概念

教學(xué)組織：開課時(shí)讓學(xué)生用圓規(guī)畫出一個(gè)圓，并安排一個(gè)學(xué)生到黑板上畫圓，大家觀察在畫圓的過程中，圓是怎樣形成的，讓學(xué)生來說圓，從而生成圓的描述性定義.

設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)歸納，更注重?cái)?shù)學(xué)中文字語言的精煉、簡潔，從而掌握好圓的描述性定義.

預(yù)設(shè)追問1：圓的位置和大小由什么決定呢？

教學(xué)組織：學(xué)生通過畫圓，得出圓的兩個(gè)要素——圓心和半徑.

設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生的實(shí)踐，再次明確幾何圖形的位置和數(shù)量等決定性因素.

預(yù)設(shè)追問2：同一個(gè)圓中半徑的數(shù)量關(guān)系是什么？（學(xué)生回答“相等”，引出“一中同長”）

教學(xué)組織：通過圓中半徑的不變性，引出數(shù)學(xué)史“一中同長”.

設(shè)計(jì)意圖：加深學(xué)生對(duì)圓的描述性定義的理解.

預(yù)設(shè)追問3：到定點(diǎn)O等于OA長度的點(diǎn)有什么特點(diǎn)？

教學(xué)組織：引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)角平分線的判定和線段垂直平分線的判定，并學(xué)會(huì)用點(diǎn)的集合來定義，從而得出圓的集合定義.

設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)角平分線和線段垂直平分線的判定，我們可以明確探究“圓的集合定義”，讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)概念的一個(gè)重要方法——類比法.

預(yù)設(shè)講授：圓中還有很多相關(guān)概念，在小學(xué)也或多或少接觸過，現(xiàn)在我們?cè)賻椭瑢W(xué)們做一些梳理和明確，教師在圓上依次介紹弦、直徑、弧、等弧的概念及它們之間的相互聯(lián)系（直徑是特殊的弦，一條弦對(duì)著兩條弧，等弧必須在同圓或等圓中等）.

跟進(jìn)練習(xí)：如圖1，你能說出圖中哪些與圓有關(guān)的概念？

圖1

圖2

教學(xué)環(huán)節(jié)（二）典例分析，鞏固定義

例題：如圖2，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O.求證：A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)在以點(diǎn)O為圓心的同一個(gè)圓上.

教學(xué)組織：學(xué)生獨(dú)立完成后全班交流展示，教師點(diǎn)評(píng)并規(guī)范解題格式.

設(shè)計(jì)意圖：重在分析題目，題中已知矩形，要得到四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，就是要得到這四個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)O的距離相等，從而合理利用矩形的對(duì)角線相等且互相平分，做到所答即所問.

變式練習(xí)：如圖3，AC⊥BC，AD⊥BD，求證：A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上.

教學(xué)組織：師生一起分析題中已知和求證，學(xué)生自己探討解題思路——點(diǎn)共圓的證法，反復(fù)強(qiáng)化學(xué)生“回到圓的定義去證題”的思想，進(jìn)一步歸納出證明n個(gè)點(diǎn)到某點(diǎn)的距離相等是證明這n個(gè)點(diǎn)共圓的基本方法.

圖3

教學(xué)環(huán)節(jié)（三）圖形變式，生成新知

例題變式：如圖4，在AB邊上有點(diǎn)E，DB的延長線上有點(diǎn)F，請(qǐng)指出點(diǎn)E、點(diǎn)F與圓的位置關(guān)系.

圖4

教學(xué)組織：在解決這個(gè)變式問題之后歸納出“在平面內(nèi)，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有：點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓外”，滲透數(shù)形結(jié)合的思想，并介紹等價(jià)符號(hào)“?”.

跟進(jìn)練習(xí)：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm.

（1）以C為圓心、3cm為半徑作圓，分析點(diǎn)A、B與圓的位置關(guān)系；

（2）以C為圓心、4cm為半徑作圓，分析點(diǎn)A、B與圓的位置關(guān)系；

（3）以C為圓心、2.4cm為半徑作圓，分析點(diǎn)A、B與圓的位置關(guān)系.

教學(xué)組織：教學(xué)時(shí)讓學(xué)生動(dòng)手畫圓，分析三角形的頂點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，第（3）問的數(shù)據(jù)2.4cm恰是斜邊上高的長度，為以后研究斜邊AB與該圓的位置關(guān)系預(yù)留了一個(gè)“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”.

教學(xué)環(huán)節(jié)（四）師生小結(jié)，學(xué)習(xí)展望

小結(jié)問題1：本節(jié)課我們是如何學(xué)習(xí)圓的？你對(duì)圓的哪些概念印象深刻？

小結(jié)問題2：根據(jù)以往我們對(duì)一個(gè)新圖形的研究經(jīng)驗(yàn)，你覺得后續(xù)還會(huì)研究與圓相關(guān)的哪些內(nèi)容？

教學(xué)預(yù)設(shè)：通過小結(jié)問題讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到圓的學(xué)習(xí)是從圓的定義（兩種不同定義）出發(fā)，梳理了圓的符號(hào)表示、圓的相關(guān)概念（如弦、弧等），并且利用圓的定義證明了矩形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.展望后續(xù)研究和學(xué)習(xí)，與圓有關(guān)的位置關(guān)系，基于圓的對(duì)稱性質(zhì)的研究，與圓相關(guān)的運(yùn)算等，都是學(xué)習(xí)的重點(diǎn).

二、教后反思

教研組老師聽課之后對(duì)該課的教學(xué)表示了肯定，認(rèn)為我們能夠“學(xué)材再建構(gòu)”，從“教教材”走向了“用教材教”，并且在學(xué)程推進(jìn)過程中，對(duì)能放手讓學(xué)生展示講解表示贊賞，認(rèn)為這體現(xiàn)了以學(xué)生為主體的教學(xué)理念.當(dāng)然，也有評(píng)課老師從理解數(shù)學(xué)的高度，對(duì)教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法提出一些建議，比如，要更加重視“從定義出發(fā)”的教學(xué)引導(dǎo)，重視“圓的定義”的教學(xué).以下就圍繞如何重視“從定義出發(fā)”“回到定義”闡釋幾點(diǎn)教后反思.

（一）在“圓的定義”教學(xué)時(shí)要“慢”一點(diǎn)

當(dāng)前由于所謂導(dǎo)學(xué)案的推動(dòng)，不少新授課以“一個(gè)定義、三項(xiàng)注意、大量練習(xí)”的方式推進(jìn)學(xué)程，這樣的教學(xué)方式敗壞了數(shù)學(xué)的名聲，把數(shù)學(xué)概念教學(xué)異化為習(xí)題教學(xué)、刷題教學(xué)，學(xué)生很難達(dá)到深刻理解數(shù)學(xué)概念的追求.就圓的定義教學(xué)而言，不少教師從生活中的圖片引入圓的概念，這類圖片中雖然有圓的形象，但是對(duì)引出圓的定義沒有多大幫助，而用圓規(guī)畫圓這個(gè)熟悉的操作，卻體現(xiàn)了圓的本質(zhì)，所以在“圓的定義”教學(xué)時(shí)，慢下來，讓學(xué)生慢一點(diǎn)畫圓并感受圓是如何生成的，從而加深對(duì)圓的定義的概念性理解，為給出描述性定義做好鋪墊.

（二）在“圓的習(xí)題”教學(xué)時(shí)要“回到定義”

在數(shù)學(xué)新授課教學(xué)中，在概念生成之后，常常需要選用恰當(dāng)?shù)睦⒘?xí)題進(jìn)行訓(xùn)練，在組織學(xué)生練習(xí)之后，教師要講評(píng)，講評(píng)時(shí)可以適當(dāng)追問學(xué)生對(duì)解題偏差、解題思路的理解，特別是要引導(dǎo)學(xué)生“回到定義”去解題.具體地說，當(dāng)學(xué)生獲得思路貫通之后，教師可通過組織展示學(xué)生的步驟，基于“步步有據(jù)”解題追求，請(qǐng)學(xué)生回答依據(jù)，把圓的定義通過具體的題例讓學(xué)生反復(fù)表述，這也是回到定義去解題的具體操作要義.我們?cè)谏厦娴恼n堂教學(xué)中做得還不夠到位，值得今后改進(jìn)和強(qiáng)化.

（三）在“小結(jié)展望”時(shí)要重視“從定義出發(fā)”

課堂小結(jié)時(shí)仍然可倡導(dǎo)本課研究的出發(fā)點(diǎn)是“圓的定義”，從圓的定義出發(fā)，就可把圓的要素（圓心、半徑）、相關(guān)概念（弦、弧等）進(jìn)行梳理、結(jié)構(gòu)化，完善結(jié)構(gòu)化板書，并從與圓相關(guān)的性質(zhì)進(jìn)行學(xué)習(xí)展望，為后續(xù)學(xué)習(xí)提供方向和路徑.這里還可提及“結(jié)構(gòu)化板書”在小結(jié)階段的操作要義，這就是把課堂教學(xué)進(jìn)程中形成的一些板書（可能比較零亂、缺少條理）通過一些線段、框架線連接，形成“結(jié)構(gòu)化板書”.