基于裂紋擴展脆性巖石動力壓縮力學(xué)特性研究*

李曉照，戚承志

（1. 北京建筑大學(xué)土木與交通工程學(xué)院，北京 100044；2. 北京未來城市設(shè)計高精尖創(chuàng)新中心，北京 100044）

動力壓縮荷載作用脆性巖石力學(xué)特性的研究，對于深部地下工程圍巖受到地震、沖擊及爆炸荷載作用下的穩(wěn)定性分析有著重要的意義。關(guān)于應(yīng)變率對巖石力學(xué)特性影響的研究，對于巖石動態(tài)力學(xué)性能分析有著重要價值。眾多學(xué)者，通過開展霍布金森桿動力試驗，研究了不同應(yīng)變率下巖石的應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)曲線、巖石動態(tài)強度、動態(tài)破壞形態(tài)等特性[1-4]。也有學(xué)者研究了在恒定軸壓與圍壓作用下，巖石承受循環(huán)重復(fù)沖擊荷載作用下的力學(xué)性能[5-7]。

在這些試驗研究的基礎(chǔ)上，許多理論模型被提出。曹文貴等[8]通過將非線性動態(tài)強度準(zhǔn)則與統(tǒng)計損傷理論相結(jié)合，建立巖石動態(tài)統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型，并根據(jù)試驗結(jié)果確定模型參數(shù)，計算分析了高應(yīng)變對巖石動態(tài)本構(gòu)關(guān)系的影響。李夕兵等[9-10]將統(tǒng)計損傷模型和黏彈性模型相結(jié)合，提出了中應(yīng)變率作用下巖石動載本構(gòu)模型，并分析了重復(fù)沖擊荷載作用下巖石的動力特性。謝理想等[11]基于巖石動態(tài)強度理論模型、連續(xù)損傷理論及Bingham 模型，蔡燦等[12]基于Maxwell 模型、Bingham 模型及孔隙度損傷模型分別建立了不同組合模型，研究了巖石應(yīng)變率相關(guān)的應(yīng)力應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系。戚承志等[13-14]基于熱活化機制與宏觀黏性機制，研究了應(yīng)變率與巖石強度之間關(guān)系，并分析了動態(tài)荷載作用下巖石破壞塊度分布物理機理。趙堅等[15]、馬林建等[16]基于動態(tài)試驗結(jié)果并結(jié)合摩爾庫倫及霍克布朗強度準(zhǔn)則，提出了應(yīng)變率相關(guān)的動態(tài)強度準(zhǔn)則。宮鳳強等[17]基于巖石從低到高應(yīng)變率范圍內(nèi)的率效應(yīng)試驗結(jié)果，建立了一種基于率效應(yīng)動態(tài)增強因子統(tǒng)一模型，探討了應(yīng)變率對壓縮強度、切線模量和峰值應(yīng)變的影響。以上均是通過宏觀現(xiàn)象研究了巖石動態(tài)變化特性，無法解釋動態(tài)荷載作用下，巖石內(nèi)部細(xì)觀裂紋機理變化特性。

岑奪豐等[18]通過細(xì)觀顆粒平行黏結(jié)模型的模擬，研究了高應(yīng)變率壓縮作用，單裂隙巖樣的損傷演化及細(xì)觀位移場，結(jié)果表明不同高應(yīng)變率對巖樣最終破裂形態(tài)影響不大，但隨應(yīng)變率的增大，細(xì)觀裂紋越多且局部化程度越強。潘紅宇等[19]通過用數(shù)字圖像處理技術(shù)，分析了不同應(yīng)變率下單軸壓縮下巖石表面裂隙擴展下的應(yīng)變場變化特征，然而該研究只是分析準(zhǔn)靜態(tài)壓縮荷載作用下的裂紋特性，沒有研究動態(tài)荷載下巖石裂紋擴展特性。劉紅巖等[20]將基于巖石動態(tài)損傷TCK 模型與基于斷裂損傷理論推出的節(jié)理巖體損傷本構(gòu)模型相結(jié)合，提出了一個考慮裂紋節(jié)理幾何特性的巖體動態(tài)損傷本構(gòu)模型。

然而對能夠建立脆性巖石內(nèi)部細(xì)觀動態(tài)裂紋擴展與宏觀動態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系的理論模型研究較少。本文中，將準(zhǔn)靜態(tài)壓縮荷載作用下裂紋擴展誘發(fā)的應(yīng)力應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系模型、基于裂紋與應(yīng)變關(guān)系得到的裂紋速率與應(yīng)變率關(guān)系及裂紋速率與斷裂韌度關(guān)系相結(jié)合，提出了一個基于細(xì)觀裂紋擴展作用下的動態(tài)應(yīng)力應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系模型，并討論巖石應(yīng)變率、初始損傷、圍壓及模型參數(shù)對應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線的影響。

1 理論模型

1.1 準(zhǔn)靜態(tài)裂紋擴展應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

本文中提出了一個動態(tài)壓縮荷載作用下，基于巖石內(nèi)部裂紋擴展誘發(fā)的應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系模型（見圖1），模型中各項參數(shù)詳見下面關(guān)于模型理論公式的敘述。該模型是由準(zhǔn)靜態(tài)作用下裂紋擴展模型，與動態(tài)裂紋擴展與準(zhǔn)靜態(tài)裂紋擴展關(guān)系，及新建立的裂紋擴展速率與應(yīng)變率關(guān)系相結(jié)合而提出的。在該模型中，當(dāng)不考慮動態(tài)裂紋擴展作用時，模型內(nèi)部準(zhǔn)靜態(tài)裂紋擴展與承受應(yīng)力狀態(tài)（軸向應(yīng)力σ1、圍壓σ3）之間的關(guān)系可以表示為[21]：

圖 1 動態(tài)壓縮荷載作用下的裂紋擴展模型Fig. 1 Crack growth model under dynamic compressive loadings

此外，低圍壓脆性巖石宏觀軸向應(yīng)變ε1與細(xì)觀裂紋擴展長度l 間的關(guān)系可表示為[22]：

式中：m、ε0分別為材料常數(shù)。

將式(7)代入式(1)，裂紋擴展下（即l＞0），巖石準(zhǔn)靜態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系可表示為[22]：

式中：

此外，當(dāng)裂紋長度l=0 時，基于式（1）和（7），巖石軸向起裂應(yīng)力σ1c和裂紋起裂應(yīng)變ε1c可以分別表示為：

假設(shè)巖石內(nèi)部裂紋擴展前（即0＜ ε1＜ε1c），巖石服從線彈性變形，則應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可表示為：

因此，綜上所述，準(zhǔn)靜態(tài)荷載作用下，巖石完整的應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系可以表示為：

將裂紋極限長度llim代入式（7），巖石極限軸向應(yīng)變ε1f可以表示為：

該極限應(yīng)變對巖石失效應(yīng)變提供一定參考。

1.2 準(zhǔn)靜態(tài)裂紋擴展與動態(tài)裂紋擴展的關(guān)系

式中：vl為裂紋速度（即dl/dt），vm為裂紋分叉速度，vm=RcR，該速度隨著材料柔度增加而減小，瑞利波速cR= [E/(2ρ(1+ν))]1/2(0.87+1.12ν)/(1+ν)，cp為P 波速度，cp=[(1-ν)E/((1+ν)(1-2ν)ρ)]1/2，式中ν 為泊松比，ρ 為材料密度，E 為彈性模量，R 是材料常數(shù)（0＜R＜1）。

基于式（7）可以解出裂紋擴展長度表達式為：

對式（19）裂紋長度求時間導(dǎo)數(shù)，則可以推出巖石內(nèi)部細(xì)觀裂紋速率vl為：

將式（20）代入式（18），則可以建立動態(tài)斷裂韌度與宏觀軸向應(yīng)變率之間關(guān)系：

式中：

1.3 動態(tài)裂紋擴展下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

式（24）中E(d)為動彈性模量，下面將對模型參數(shù)對動彈性模量影響進行詳細(xì)討論。此外，值得注意的是在動彈性模量E(d)的方程計算中，參數(shù)Q 中的軸向應(yīng)變ε1應(yīng)取值為ε1c。

2 結(jié)果與討論

2.1 動態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系理論結(jié)果合理性驗證

圖 2 大理巖與與花崗巖動態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變曲線的理論與試驗結(jié)果[3, 23]對比Fig. 2 Comparisons between theoretical and experimental [3, 23] dynamic stress-strain curves in marble and granite

圖2 中分別給出基于大理巖與花崗巖材料屬性，得到的動態(tài)應(yīng)力應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系的理論與試驗結(jié)果[3,23]曲線對比結(jié)果?？梢钥吹?，理論結(jié)果與試驗結(jié)果在變化趨勢上具有較好的相似性，在數(shù)值上具有一定的可比性，但是仍然存在一定的差異性。其中導(dǎo)致這些差異的原因可以分析為以下幾點：（1）本文中提出的理論模型是一個基于各向同性的均勻彈性體得到的；（2）巖石內(nèi)部隨機分布裂紋無法真實呈現(xiàn)，而是通過假設(shè)裂紋尺寸、角度相同的均布化思路進行計算分析的。

2.2 應(yīng)變率對應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系、動態(tài)壓縮強度和動態(tài)彈性模量的影響

圖 3 應(yīng)變率影響下的應(yīng)力應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系Fig. 3 Effect of strain rate on stress-strain curve

以上通過試驗結(jié)果驗證了本文基于細(xì)觀力學(xué)的動態(tài)本構(gòu)模型合理性。下面將詳細(xì)討論應(yīng)變率對巖石力學(xué)特性（動態(tài)壓縮強度和動態(tài)彈性模量）的影響。其中模型參數(shù)選取參考花崗巖參數(shù)。圖3中給出了不同應(yīng)變率下，應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系的變化趨勢?？梢钥吹?，隨著應(yīng)變率的增加，應(yīng)力應(yīng)變曲線峰值應(yīng)力，即壓縮強度，也在不斷增大，而且是加速增加，該現(xiàn)象也可以通過圖4 給出的軸向動態(tài)壓縮強度與軸向應(yīng)變率關(guān)系清楚地看到，該結(jié)果已經(jīng)被眾多研究動態(tài)強度理論的學(xué)者驗證[1,3, 13, 15,23]。還可看到，隨著應(yīng)變率的增大，巖石動態(tài)強度對應(yīng)峰值軸向應(yīng)變不斷減小。圖4 中，研究了不同巖石內(nèi)部初始損傷、模型參數(shù)m、ε0、R 下，巖石軸向動態(tài)壓縮強度與軸向應(yīng)變率的聯(lián)系。隨著初始損傷D0或參數(shù)ε0、R 的減小、參數(shù)m 的增大，在一定軸向應(yīng)變率下軸向動壓縮強度增大。

圖 4 不同模型參數(shù)的應(yīng)變率與巖石動態(tài)壓縮強度關(guān)系Fig. 4 Relations between strain rate and dynamic compressive strength under different model parameters

此外，還可以看到，巖石裂紋初始應(yīng)變值ε1c隨著應(yīng)變率增加為一個恒定值，而裂紋初始應(yīng)變對應(yīng)的裂紋初始軸向應(yīng)力則是隨著應(yīng)變率的增加也在增大。本文中假設(shè)裂紋初始應(yīng)變前的變形為線彈性變形。隨著應(yīng)變率增加，巖石彈性變形階段曲線的切線模量，即動態(tài)彈性模量，在不斷加速增大，該現(xiàn)象也可以在圖5 中動態(tài)彈性模量與應(yīng)變率之間關(guān)系看到，并且與眾多學(xué)者的試驗結(jié)果[1-3,23]相一致。圖5 研究了不同圍壓、巖石內(nèi)部初始損傷及模型參數(shù)m、ε0、R 下，巖石動態(tài)彈性模量與軸向應(yīng)變率之間的聯(lián)系。隨著初始損傷D0或參數(shù)m、ε0、R 減小、圍壓增大，在一定軸向應(yīng)變率下動態(tài)彈性模量不斷增大。

圖 5 不同模型參數(shù)的應(yīng)變率與動態(tài)彈性模量關(guān)系Fig. 5 Relations between strain rate and dynamic elastic module under different model parameters

2.3 模型參數(shù)敏感性分析

巖石內(nèi)部初始損傷對巖石力學(xué)性能有著重要的影響。圖6 中給出了不同初始損傷對于高應(yīng)變率300 s?1下動態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系曲線的影響?？梢钥吹?，隨著損傷的增大，巖石的動態(tài)壓縮強度不斷減小，而且隨著損傷的減小，峰值強度對應(yīng)的峰值應(yīng)變在不斷減小。圖7 給出了不同圍壓狀態(tài)下，巖石動態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線結(jié)果?？梢钥吹?，隨著圍壓增大，動態(tài)壓縮強度也在不斷增大。此外，圖8、9 分別給出了模型中參數(shù)m 和ε0對動態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線的影響，可以看到，隨著參數(shù)m 和ε0減小，峰值強度對應(yīng)的峰值應(yīng)變值在不斷減小。圖10 中給出了參數(shù)R 對應(yīng)力-應(yīng)變曲線的影響，隨著R 的減小，峰值應(yīng)力對應(yīng)的峰值應(yīng)變值都在不斷減小。

圖 6 初始損傷D0 對動態(tài)應(yīng)力應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系影響Fig. 6 Effect of initial damage on dynamic stress-strain constitutive relation

圖 7 圍壓對動態(tài)應(yīng)力應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系影響Fig. 7 Effect of confining pressure on dynamic stress-strain constitutive relation

圖 9 參數(shù)ε0 對動態(tài)應(yīng)力應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系影響Fig. 9 Effect of parameter ε0 on dynamic stress-strain constitutive relation

圖 10 參數(shù)R 對動態(tài)應(yīng)力應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系影響Fig. 10 Effect of parameter R on dynamic stress-strain constitutive relation

圖11 中，給出了不同應(yīng)變率下，動態(tài)彈性模量與圍壓、初始損傷和參數(shù)m、ε0、R 的關(guān)系。可以看到，隨著圍壓的增大，動態(tài)彈性模量線性增大；隨著初始損傷和模型參數(shù)m、ε0、R 的增大，動態(tài)彈性模量在減速降低。以上關(guān)于模型參數(shù)影響研究，更加清楚詳細(xì)地分析了本文提出的宏細(xì)觀力學(xué)模型中參數(shù)敏感性。進而為更加精確地建立真實巖石與模型關(guān)系之間聯(lián)系提供了一定的參考。

圖 11 應(yīng)變率對不同模型參數(shù)與動態(tài)彈性模量關(guān)系影響Fig. 11 Effects of strain rate on the relationships between model parameters and dynamic elastic modules

3 結(jié) 論

基于脆性巖石準(zhǔn)靜態(tài)裂紋擴展作用下的應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系、裂紋速率與應(yīng)變率的變化關(guān)系及裂紋速率與斷裂韌度的關(guān)系，建立了基于細(xì)觀力學(xué)的動態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系模型。通過試驗結(jié)果驗證了模型的合理性，并討論了模型參數(shù)對巖石動態(tài)壓縮力學(xué)特性的影響。具體結(jié)果如下：

（1）隨著應(yīng)變率的增大，巖石動態(tài)壓縮強度不斷增大，巖石裂紋初始應(yīng)力不斷加速增大，峰值軸向應(yīng)力對應(yīng)的峰值軸向應(yīng)變值不斷減小，巖石動態(tài)彈性模量不斷加速增大。

（2）隨著圍壓，初始損傷D0，參數(shù)m、R 和ε0的減小，應(yīng)力-應(yīng)變曲線中峰值強度對應(yīng)的峰值應(yīng)變不斷減小。

（3）隨著初始損傷D0或參數(shù)ε0、R 的減小，圍壓或參數(shù)m 的增大，在一定的軸向應(yīng)變率下，軸向動態(tài)壓縮強度在增大。

（4）隨著初始損傷D0或參數(shù)m、ε0、R 的減小，圍壓的增大，在一定軸向應(yīng)變率下，動彈性模量不斷增大。