試論數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)解題技巧中運(yùn)用的價(jià)值

廖瓊

摘 要 數(shù)與形是數(shù)學(xué)知識(shí)的兩個(gè)基本范疇，在中學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)與形是最基本的兩個(gè)對(duì)象，它們構(gòu)成了中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的兩個(gè)基礎(chǔ)板塊。把數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，可以把數(shù)與形這兩大數(shù)學(xué)知識(shí)板塊聯(lián)接在一起，形成更為有效的知識(shí)體系，并使數(shù)與形在更高層次上達(dá)到統(tǒng)一，進(jìn)而顯示數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在的關(guān)聯(lián)。本文筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，就數(shù)形結(jié)合在解決函數(shù)中的技巧提出了幾點(diǎn)具體的探究策略。

關(guān)鍵詞 數(shù)形結(jié)合;初中數(shù)學(xué);函數(shù)問(wèn)題;解題技巧;有效策略

中圖分類號(hào)：A，O175.9 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?????? 文章編號(hào)：1002-7661（2019）10-0192-01

“數(shù)形結(jié)合”是初中數(shù)學(xué)中的一種重要的思想方法，“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最基本的概念。數(shù)是數(shù)量關(guān)系的體現(xiàn)，形是空間形式的體現(xiàn)，兩者是對(duì)立統(tǒng)一的，我們?cè)谔接憯?shù)量關(guān)系時(shí)常常借助于圖形直觀地去研究;而在研究圖形時(shí)，又常借助于圖形間隱含的數(shù)量關(guān)系去求解。即將數(shù)與形靈活地轉(zhuǎn)換，運(yùn)用彼此間的相互聯(lián)系和作用，去有效地探求問(wèn)題的解答，使得整個(gè)教學(xué)過(guò)程更加直觀、更有效。

一、數(shù)形結(jié)合思想與函數(shù)結(jié)合運(yùn)用的必要性

初中數(shù)學(xué)函數(shù)的教學(xué)不僅體現(xiàn)的是教師對(duì)于知識(shí)點(diǎn)的數(shù)形轉(zhuǎn)化能力，同時(shí)也是為學(xué)生提供接受這些知識(shí)儲(chǔ)備。授課教師將數(shù)形結(jié)合作為教學(xué)中的一條主線，將這種思想在數(shù)學(xué)實(shí)踐中應(yīng)用得更加廣泛，以將抽象的函數(shù)數(shù)學(xué)概念與復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系描述得更加形象化和具體化，將函數(shù)中的定量分析轉(zhuǎn)化為數(shù)形。并且將數(shù)與形的結(jié)合在函數(shù)間進(jìn)行靈活的轉(zhuǎn)換，在擴(kuò)展學(xué)生數(shù)學(xué)解題思路的同時(shí)，也使得教師能夠不斷地更新自己的教學(xué)思維。有時(shí)候這樣的變化關(guān)系，能夠使得我們找到一些解決函數(shù)計(jì)算問(wèn)題的新技巧，及時(shí)發(fā)現(xiàn)計(jì)算過(guò)程中所遺漏的條件。而學(xué)生，則可以巧妙運(yùn)用這種數(shù)形結(jié)合分析的能力，進(jìn)行熟練運(yùn)用。例如，在一次函數(shù)學(xué)習(xí)中，要讓學(xué)生的思想中時(shí)刻想著坐標(biāo)聯(lián)系與構(gòu)造聯(lián)系。而這種坐標(biāo)的聯(lián)系是通過(guò)建立相應(yīng)的比較適合方程的坐標(biāo)系達(dá)到函數(shù)方程式與圖形的轉(zhuǎn)化。比如，當(dāng)涉及y=3x+5或y=x，這樣的形式就是y=kx+b的演變，當(dāng)b=0時(shí)就形成了第二個(gè)方程式，也就是過(guò)原點(diǎn)的直線。通過(guò)這樣的直接聯(lián)想，使用恰當(dāng)?shù)膱D像直線聯(lián)想與繪圖，從而達(dá)到數(shù)形的互相轉(zhuǎn)化。

二、數(shù)形結(jié)合在函數(shù)解題技巧中運(yùn)用的具體路徑

1.通過(guò)數(shù)形轉(zhuǎn)化，提升解題技巧。解題過(guò)程就是不斷地將未知轉(zhuǎn)化為已知的過(guò)程，在思維中構(gòu)造出一種相關(guān)的數(shù)學(xué)對(duì)象，一種新的數(shù)學(xué)形式?！昂瘮?shù)及其圖象”是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，同時(shí)也是一個(gè)難點(diǎn)內(nèi)容，有關(guān)函數(shù)的問(wèn)題讓許多學(xué)生感到畏懼。其實(shí)函數(shù)與方程、不等式之間有著非常密切的聯(lián)系，在解題時(shí)要善于將它們“牽手”，將它們的“形”與對(duì)應(yīng)的“數(shù)”結(jié)合起來(lái)，往往會(huì)使很多棘手問(wèn)題迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷、獨(dú)特。

例1：已知方程x2–2px+10=0有一個(gè)根大于1，另一個(gè)根小于1，求p的取值范圍。

分析：由二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系知：方程x2–2px+10=0的兩個(gè)根是拋物線y=x2–2px+10與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因?yàn)橐桓笥?，另一根小于1，所以拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)一個(gè)在1的左邊，另一個(gè)在1的右邊，且開(kāi)口向上，如圖可知當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)值y<0，即12-2p+10<0，故p>5.5。

此解法利用函數(shù)圖象的直觀性，把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，化難為易，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合解題的有效性。綜上來(lái)看，該例子是有關(guān)函數(shù)與不等式、方程的問(wèn)題，解這類題時(shí)要善于將問(wèn)題中的數(shù)與形結(jié)合起來(lái)進(jìn)行思考，將抽象思維與形象思維融合在一起，通過(guò)“以形助數(shù)”“以數(shù)解形”的思想策略，揭示出隱含在其內(nèi)部的幾何背景，使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象的問(wèn)題具體、直觀化，從而有效地找到解題途徑，同時(shí)也能開(kāi)闊和發(fā)展學(xué)生的思維。

2.通過(guò)數(shù)形溝通，培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想能力。豐富的聯(lián)想是創(chuàng)造性思維的一個(gè)基本特點(diǎn)，其基本特征是由當(dāng)前面臨的事物回想起相關(guān)事物并做出判斷。教學(xué)時(shí)，學(xué)生的創(chuàng)造性思維除了源于現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)之外，更重要的是需要豐富的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。而數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)又是在教學(xué)中不斷進(jìn)行積累的結(jié)果。教學(xué)中要重視學(xué)生從數(shù)學(xué)知識(shí)中提煉本質(zhì)的規(guī)律，在學(xué)生頭腦中形成由定義、定理、公式網(wǎng)絡(luò)化構(gòu)成的數(shù)學(xué)知識(shí)板塊，一旦學(xué)生悟透知識(shí)的來(lái)龍去脈，建立數(shù)與形的有效溝通，就具有把數(shù)形知識(shí)交互聯(lián)想的能力，進(jìn)而使數(shù)學(xué)思維形成網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)。

例2：求方程 =–x2–3x的解的個(gè)數(shù)。

分析：根據(jù)題意很容易把這道題用解分式方程的方式來(lái)解決，而實(shí)際上對(duì)于初中學(xué)生來(lái)說(shuō)，這樣的方法是比較麻煩的，實(shí)際上這道題可以利用函數(shù)的性質(zhì)和特點(diǎn)來(lái)解決，如果y1= ，y2=–x2–3x，當(dāng)y1=y2時(shí)，方程的解就成了這兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)，通過(guò)畫(huà)圖，很快就可以找出解只有1個(gè)。所以創(chuàng)造性思維不是僅憑機(jī)遇，只有學(xué)生在具有相當(dāng)?shù)幕A(chǔ)和達(dá)到一定熟練程度的情況下，才能分析和辨認(rèn)組成問(wèn)題的知識(shí)組塊，才會(huì)有跳躍性的創(chuàng)造性思維。

3.借助數(shù)形轉(zhuǎn)換，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直感。

三、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，數(shù)形結(jié)合具體地說(shuō)就是將抽象數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀圖形結(jié)合起來(lái)使抽象思維與形象思維結(jié)合起來(lái)，通過(guò)“數(shù)”與“形”之間的對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)換來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。它不僅是一種重要的解題方法，而且也是一種重要的思維方法，它們互相滲透，相互轉(zhuǎn)化，使得以代數(shù)法研究函數(shù)問(wèn)題，以函數(shù)研究代數(shù)成為可能，從而有效培養(yǎng)學(xué)生的基本解題素質(zhì)。

參考文獻(xiàn)：

[1]閆玉葉.談初中“數(shù)形結(jié)合”思想在函數(shù)中的運(yùn)用策略[J].數(shù)理化解題研究（初中版），2012（11）：24-25.