玩轉外接球

黃映珊

一、直接法

如果幾何體是正方體、長方體或直棱柱，則其外接球的球心可直接確定。因為對于正方體或長方體，其外接球球心在其體對角線中點的位置，直徑就是體對角線。而直棱柱，其外接球球心在兩底面的外接圓圓心連線的中點處。

例1（16佛一模）某一簡單幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的外接球的表面積是（ ）

A.13π B.16π

C.25π D.27π

【解析】如圖所示三視圖，可還原成如下幾何體：

二、構造法（補形法）

對于一些垂直關系比較多，或者比較特殊的椎體，我們可以將其放入長方體、正方體或直棱柱中，即補形，從而轉化為長方體、正方體、直棱柱的外接球。下面主要從常見的兩種補形的幾何體進行說明：

（1）構造正方體（或長方體）

例2（17佛一模）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為（ ）

【解析】如圖所示三視圖，可還原成如下三棱錐A-B1C1D1：

例3（17.廣一模）《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬；將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑。若三棱錐P-ABC為鱉臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱錐P-ABC的四個頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為（ ）

A.8π B.12π C.20π D.24π

【解析】根據(jù)題意可畫出如左下圖所示模型，并可構造成右下圖所示長方體，PC為外接球直徑，，半徑為，表面積為S球＝4πR2＝20π，選C。

例4已知棱長為1的正四面體ABCD（四個面都是正三角形）的所有頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為_____。

【解析】如左圖所示棱長為1的正四面體ABCD，可構造成如右圖所示的正方體，則正方體的邊長為則外接球直徑為：d＝，半徑為，表面積為S球＝4πR2＝

（2）構造直三棱柱

【解析】如下圖所示，三棱柱P-ABC，根據(jù)PC⊥平面ABC，可構造成三棱柱ABC-DEP：

例6如圖所示，已知△EAB所在的平面與矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA＝EB＝3，AD＝2，∠AEB＝60°，則多面體E-ABCD的外接球的表面積為（ ）

【解析】如圖，由于∠AEB＝60°，所以并不好構造成長方體或正方體，可構造成如下圖所示三棱柱ABE-DCF：

則四棱錐E-ABCD的外接球也是三棱柱ABE-DCF的外接球，球心到兩底面的距離相等，為AD的一半，即OG＝1.由余弦定理可得AB2＝32+32-2×3×3cos60°＝9，所以DC＝AB＝3，△DCF的外接圓半徑為，外接球半徑，易得該外接球表面積為S球＝4πR2＝16π，選C。

三、軸截面法

對于正棱錐或側棱長相等的棱錐，其外接球的球心一定在錐頂點與底面幾何圖形外接圓圓心的連線或其延長線上。還有正棱柱，選取適當?shù)慕孛?，在該平面內求出外接球半徑。該方法的實質就是通過尋找外接球的一個大圓，從而把立體幾何問題轉化為平面幾何問題來研究。

例7（16廣一模）一個六棱柱的底面是正六邊形，側棱垂直于底面，所有棱的長都為1，頂點都在同一個球面上，則該球體積為（ ）

【解析】如下圖六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1，軸截面ADD1A1的外接圓就是球的大圓，其半徑即為球的半徑。

易得，AA1＝1，AD＝2，所以，半徑為，體積為，選D。

四、性質法

球中小圓圓心與球心的連線與小圓所在平面垂直。因此，球心在過小圓圓心且垂直于小圓所在平面的直線上。如果能找到多個這樣的直線，則這些直線的交點，即為球心。因此，對于不規(guī)則幾何體可以先在各個面內找出平面幾何圖形的外接圓圓心，再過這些圓心作所在平面的垂線，找到垂線的交點即可。

【解析】如圖所示四邊形ABCD，沿直線AC將△ACD翻折成△ACD’，當三棱錐D’-ABC的體積取得最大時，△AD’C⊥△ABC，

設O1是△ABC外接圓的圓心，O2是△AD’C外接圓的圓心，O為外接球的球心，則AC是兩圓的公共弦，設AC的中點為E，則，且O1E⊥AC，O2E⊥AC，因為，平面AD’C⊥平面ABC，平面AD’C∩平面ABC＝AC，O1E?平面ABC，所以，O1E⊥平面AD’C。另外，OO2⊥平面AD’C，所以，O1E∥OO2。同理，O2E∥OO1，所以四邊形OO1EO2是邊長為1的正方形，OO1＝O2E＝1。在Rt△OO1A中，由勾股定理得外接球O的半徑所以外接球表面積為S球＝4πR2＝24π。

例9已知球O被互相垂直的兩個平面所截，得到兩圓的公共弦AB長為2，若兩圓的半徑分別為和3，則球O的表面積為______。

【解析】球O被互相垂直的兩個平面所截，設兩截面的圓心分別為O1、O2，如圖所示，可得取AB中點C，則BC＝1，O1C⊥AB，O2C⊥AB，易得

另外，OO1⊥O1C，OO2⊥O2C，則四邊形OO1CO2是矩形，所以OO2＝連接OA，則△OO2A是直角三角形，OA是球O的半徑，OA，所以球O的變面積為S球＝4πR2＝44π。

總之，求多面體的外接球，要特別注意多面體中的線線、線面、面面的垂直關系，以及多面體有關幾何元素與球的半徑之間的關系。