基于交叉耦合結(jié)構(gòu)的同步控制器設(shè)計(jì)*

盛賢君，王立凡

(大連理工大學(xué) 電氣工程學(xué)院，遼寧 大連 116024)

0 引言

在加工制造業(yè)，尤其是數(shù)控機(jī)床(CNC)加工中，多軸伺服系統(tǒng)的高精度同步控制始終是一個(gè)研究熱點(diǎn)[1-2]。在多軸控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)過程中，主要考慮對(duì)機(jī)床到位精度產(chǎn)生影響的兩類關(guān)鍵因素。第一種是系統(tǒng)控制模型的參數(shù)攝動(dòng)、不完全建模、負(fù)載變化及隨機(jī)擾動(dòng)對(duì)控制精度的影響[3-4]；另一種是在高精度位置控制過程中，不得不考慮的非線性摩擦力的影響[5]。針對(duì)第一類因素，文獻(xiàn)[6-7]提出了滑模變結(jié)構(gòu)控制(SMC)來提升系統(tǒng)的魯棒性，這類滑模變結(jié)構(gòu)控制包含趨近運(yùn)動(dòng)和滑模面運(yùn)動(dòng)兩個(gè)階段。然而傳統(tǒng)的SMC存在趨近速度和系統(tǒng)抖振幅度的權(quán)衡問題，且跟蹤誤差不能夠在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零[8]。文獻(xiàn)[9-10]提出了終端滑模控制(TSMC)策略，實(shí)現(xiàn)跟蹤誤差的有限時(shí)間收斂。針對(duì)第二類因素，文獻(xiàn)[5, 11]根據(jù)達(dá)爾摩擦力模型設(shè)計(jì)了摩擦力補(bǔ)償器，但建模過程需要大量的離線實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)。文獻(xiàn)[12]根據(jù)局部摩擦力模型提出了一種有效地在低速下實(shí)現(xiàn)補(bǔ)償?shù)目刂破鳎@種方法仍需要對(duì)模型的參數(shù)進(jìn)行離線辨識(shí)。自適應(yīng)的模糊系統(tǒng)理論上可以以任意精度逼近實(shí)際系統(tǒng)，因此可以用于存在建模困難的摩擦力補(bǔ)償器的設(shè)計(jì)當(dāng)中。同時(shí)，交叉耦合控制結(jié)構(gòu)從提出后被廣泛應(yīng)用于改善系統(tǒng)的同步性能[13-14]。

本文介紹了終端滑模面的設(shè)計(jì)過程并給出滑?？刂戚敵霰磉_(dá)式，簡要闡述了模糊系統(tǒng)的組成及從精確量輸入到最終輸出的模糊工作原理并說明了自適應(yīng)模糊控制的設(shè)計(jì)特點(diǎn)。提出一種基于交叉耦合結(jié)構(gòu)的終端滑模-自適應(yīng)模糊同步控制器，以提高系統(tǒng)跟蹤精度和同步精度。根據(jù)現(xiàn)有雙軸參數(shù)在Matlab/Simulink仿真平臺(tái)上搭建模型，通過仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)比傳統(tǒng)PID控制方法與本文控制方法在持續(xù)擾動(dòng)下的控制效果。

1 跟蹤控制器設(shè)計(jì)

1.1 終端滑?？刂破?/h3>

滑模變結(jié)構(gòu)控制具有較好的魯棒性，響應(yīng)迅速、對(duì)系統(tǒng)參數(shù)的攝動(dòng)不敏感且抗擾動(dòng)能力強(qiáng)。其控制設(shè)計(jì)難點(diǎn)之一是設(shè)計(jì)滑模面。根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)相對(duì)滑模面的位置有目的地改變控制輸出，迫使系統(tǒng)狀態(tài)一步步趨近滑模面并最終穩(wěn)定。普通的滑模控制，在系統(tǒng)達(dá)到滑動(dòng)模態(tài)后，跟蹤誤差會(huì)漸近收斂，通過對(duì)滑模面參數(shù)的設(shè)計(jì)可以調(diào)整漸近收斂的速度，但由數(shù)學(xué)證明可知該類變結(jié)構(gòu)控制方法無法在有限時(shí)間內(nèi)使系統(tǒng)狀態(tài)收斂到零。通過將非線性函數(shù)引入滑動(dòng)超平面的設(shè)計(jì)，構(gòu)造出的終端滑模面，可以使得系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零，且收斂時(shí)間可以根據(jù)需要進(jìn)行調(diào)整。

假設(shè)n階非線性系統(tǒng)為：

y(n)=f(y(n-1),…,y′,y,t)+Δf(y(n-1),…,y′,y,t)+

b(y(n-1),…,y′,y,t)u+d(t)

(1)

式中，y∈Rm為輸出；u∈Rm為控制輸入；f∈Rm和b∈Rm×m為已知系統(tǒng)狀態(tài)函數(shù)；Δf和d分別為系統(tǒng)未建模部分和外部擾動(dòng)。

令x1=y，x2=y′，…，xn=y(n-1)，則系統(tǒng)可表示為如下形式：

(2)

其中，X=[x1x2…xn]T。

未建模部分Δf(X,t)和外部擾動(dòng)d(t)滿足：

|Δf(X,t)|≤F(X,t)，|d(t)|≤D(t)

其中,F(X,t)和D(t)均大等于零。

設(shè)滑模面方程為：

σ(X,t)=CE-W(t)

(3)

式中，C=[C1C2…Cn]中的元素均為正常數(shù)。W(t)=CP(t)，P(t)=[p(t)p′(t) …p(n-1)(t)]T。

p(t)滿足以下三條假設(shè)：

(1)p(t)：R+→R，p(t)∈Cn[0,∞)，p′,…p(n)∈L∞；

(2)對(duì)于常數(shù)T>0，p(t)在[0,T]時(shí)間段內(nèi)有上界，且p(0)=e(0)，p′(0)=e′(0)，…，p(n)(0)=e(n)(0)；

(3)p(t)在[0,∞)上n階可微。

選取函數(shù)p(t)為：

(4)

式中，參數(shù)ajl可以由三條假設(shè)求得，T為設(shè)置的收斂時(shí)間。

最終，終端滑?？刂戚敵鰹椋?/p>

(5)

本文設(shè)計(jì)的終端滑?？刂破鞯姆€(wěn)定性可以通過構(gòu)造合適的李雅普諾夫函數(shù)進(jìn)行證明。由于本文側(cè)重于這種控制器的應(yīng)用，故不在此對(duì)穩(wěn)定性進(jìn)行過多討論。

1.2 自適應(yīng)模糊控制器

為了克服非線性摩擦力對(duì)單軸跟蹤精度影響，需要設(shè)計(jì)一種在線摩擦力補(bǔ)償控制器。然而，由于機(jī)床結(jié)構(gòu)、所使用的潤滑油型號(hào)以及高低速運(yùn)行工況等因素，使精確的非線性摩擦力模型得難以得到。故此，選擇帶有自適應(yīng)算法的模糊控制器來進(jìn)行摩擦力補(bǔ)償。

模糊邏輯系統(tǒng)主要由模糊產(chǎn)生器、模糊規(guī)則庫、模糊推理機(jī)和模糊消除器組成。模糊規(guī)則庫由 “如果…則…”形式的若干條模糊規(guī)則構(gòu)成。多輸入多輸出系統(tǒng)的模糊規(guī)則可表示為：

U=U1×U2×…×Un,Ui∈R

V=V1×V2×…×Vn,VJ∈R

首先，通過模糊產(chǎn)生器將采樣數(shù)據(jù)映射到模糊子集U。接著，根據(jù)模糊規(guī)則庫當(dāng)中的規(guī)則，由模糊推理機(jī)將模糊子集U映射到模糊子集V上。然后，通過模糊消除器所定義的解模糊方式將模糊子集V映射到實(shí)際輸出。采用中心平均法的模糊控制器的輸出為：

(6)

(7)

(8)

其中，ξ(x)=(ξ1(x),…,ξM(x))T為模糊基函數(shù)向量。自適應(yīng)模糊系統(tǒng)理論上可以以任意精度逼近實(shí)際系統(tǒng)，本文將其作為運(yùn)動(dòng)控制中的摩擦力補(bǔ)償器。

2 交叉耦合同步控制器設(shè)計(jì)

盡管通過對(duì)單伺服軸的跟蹤控制器設(shè)計(jì)可以使得其較好地跟蹤參考輸入，但并不能直接保證多軸間的同步誤差在允許范圍內(nèi)。各伺服軸所帶負(fù)載不同、外部隨機(jī)擾動(dòng)和未建模部分的影響，使得各軸的零狀態(tài)沖擊響應(yīng)不盡相同，導(dǎo)致在相同參考輸入情況下存在同步誤差。并行控制和主從控制結(jié)構(gòu)都無法做到在所有伺服軸間分享誤差信息，而多軸耦合的控制結(jié)構(gòu)可以通過誤差信號(hào)的耦合，很好地將受擾動(dòng)軸的擾動(dòng)和系統(tǒng)傳遞函數(shù)等信息分享給其他參與同步運(yùn)動(dòng)的伺服軸，使得各伺服軸能夠均衡參考控制量，提升同步程度。對(duì)于雙軸而言，交叉耦合結(jié)構(gòu)具有良好的同步控制效果。其結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 基于交叉耦合的終端滑模-自適應(yīng) 模糊同步控制結(jié)構(gòu)框圖

軸A和軸B的跟蹤誤差定義為：

eA=pAd-pAa

(9)

eB=pBd-pBa

(10)

定義同步誤差εsyn為A、B兩軸實(shí)際位置之差：

εsyn=pAa-pBa

(11)

當(dāng)平行軸做鏡像運(yùn)動(dòng)時(shí)pAd=pBd，將式(9)和式(10)帶入式(11)可將同步誤差表示為跟蹤誤差的函數(shù)：

εsyn=-eA+eB

(12)

為了得到較好的同步性能，采用PD控制器。值得注意的是，在參數(shù)試錯(cuò)過程中發(fā)現(xiàn)，由于交叉耦合控制結(jié)構(gòu)在信息共享的同時(shí)也給改變了原系統(tǒng)的穩(wěn)定性能。因此在同步控制器參數(shù)選取不當(dāng)?shù)那闆r下可能使得系統(tǒng)同步誤差發(fā)散。

3 仿真與分析

使用Matlab/Simulink進(jìn)行兩軸同步控制算法仿真實(shí)驗(yàn)。根據(jù)實(shí)物實(shí)驗(yàn)平臺(tái)A、B兩個(gè)軸的零狀態(tài)沖擊響應(yīng)數(shù)據(jù)，通過系統(tǒng)辨識(shí)得到從驅(qū)動(dòng)器到滾珠絲杠副的狀態(tài)方程分別為：

yA=xA1

(13)

yB=xB1

(14)

為了考察本文所設(shè)計(jì)的控制器的動(dòng)態(tài)性能，選擇幅值為1，角頻率為π的正弦函數(shù)作為參考輸入。圖2和圖3分別為在采用PID控制器和本文提出的終端滑模-自適應(yīng)模糊控制器的情況下A、B軸的跟蹤誤差曲線。

圖2 A軸在兩種控制方式下的跟蹤誤差

圖3 B軸在兩種控制方式下的跟蹤誤差

可以看出，不同于PID控制器的響應(yīng)曲線，本文控制方法A、B軸在5s之前均有一個(gè)自適應(yīng)調(diào)整過程。當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定跟蹤后，相比傳統(tǒng)PID控制，本文設(shè)計(jì)的控制方法至少將跟蹤誤差減小了83.20%，即使在系統(tǒng)初始階段，新的控制方法也能更好地控制系統(tǒng)的跟蹤誤差。

對(duì)A軸施加幅值為3，角頻率為2π的持續(xù)擾動(dòng)，對(duì)B軸施加幅值為2，角頻率為3/2·π的持續(xù)擾動(dòng)。對(duì)比兩種控制方法在并行控制和交叉耦合情況下，跟蹤上述參考正弦信號(hào)的同步誤差，如圖4和圖5所示。

圖4 PID控制下跟蹤正弦信號(hào)的同步誤差對(duì)比

圖5 終端滑模-自適應(yīng)模糊控制下跟蹤正弦信號(hào)的同步誤差對(duì)比

可以看出，兩種控制方法在并行控制下同步誤差相差無幾，這是因?yàn)橥环N控制方法下對(duì)單軸的跟蹤控制能力相似，所以兩軸間響應(yīng)之差也基本相同。不難看出交叉耦合控制結(jié)構(gòu)確實(shí)能夠提高同步精度，相比PID控制，終端滑模-自適應(yīng)模糊控制方法將同步誤差在減小了約43.36%，但受到某些擾動(dòng)時(shí)誤差曲線存在較多毛刺，這一點(diǎn)仍然值得優(yōu)化。

4 結(jié)論

本文基于現(xiàn)代控制算法設(shè)計(jì)了終端滑模-模糊自適應(yīng)跟蹤控制器以提高單軸抗擾動(dòng)能力和動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能。采用交叉耦合的控制結(jié)構(gòu)以提高鏡像運(yùn)動(dòng)的兩軸間同步精度。利用Matlab/Simulink仿真平臺(tái)，模擬了在持續(xù)擾動(dòng)下兩軸跟蹤正弦信號(hào)的同步運(yùn)行過程，通過對(duì)比傳統(tǒng)PID控制器的響應(yīng)曲線，跟蹤誤差減小了至少83.20%，同步誤差在減小了約43.36%，證明了所提出的控制方法能夠更好地抑制擾動(dòng)，提高伺服軸的信號(hào)跟蹤能力并減小同步誤差。