一種橢球凸集參數(shù)域結(jié)構(gòu)的高效減基優(yōu)化方法

張 正 畢仁貴 嚴(yán) 燦

吉首大學(xué)物理與機(jī)電工程學(xué)院，吉首，416000

0 引言

工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化分析中，常常會遇到結(jié)構(gòu)參數(shù)域是凸集的情況，如橢圓凸集、橢球凸集或超橢球凸集(本文統(tǒng)稱為橢球凸集)[1-2]，利用有限元法離散工程結(jié)構(gòu)后，采用合適的優(yōu)化算法，通常能很好地解決這類問題[3-4]。然而，當(dāng)工程結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出大型且復(fù)雜的狀態(tài)時，為提高結(jié)構(gòu)分析計算的精度，采用有限元法時往往會離散出更細(xì)致的網(wǎng)格，使獲得的結(jié)構(gòu)離散系統(tǒng)趨于龐大，從而導(dǎo)致產(chǎn)生許多自由度，故結(jié)合有限元法的結(jié)構(gòu)優(yōu)化算法雖然有效，但因結(jié)構(gòu)平衡方程的計算量過大而顯得耗時不菲，進(jìn)而影響工程分析的時效性。由此可知，擁有眾多自由度的橢球凸集參數(shù)域結(jié)構(gòu)的高效優(yōu)化分析，是一個值得研究的掣肘問題，需找到合適的解決方法。減基法是一種高效解決問題的方法，它源于連續(xù)函數(shù)的伽遼金映射逼近分析，多拓展用于偏微分方程的快速數(shù)值計算[5-7]，但在結(jié)構(gòu)分析等領(lǐng)域因工程計算的復(fù)雜性而較少使用[8-10]。文獻(xiàn)[11]直接從矩陣逼近理論出發(fā)進(jìn)行列式推導(dǎo)，提出了能夠在合理構(gòu)建的減基空間中高精度、高速率地計算結(jié)構(gòu)靜態(tài)響應(yīng)的減基方法。文獻(xiàn)[12]研究了基于減基法的結(jié)構(gòu)靜態(tài)最優(yōu)極值響應(yīng)算法，并獲得了高效的減基優(yōu)化算法。然而，目前尚未有相關(guān)文獻(xiàn)報道減基法高效處理橢球凸集參數(shù)域結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題的方法，因此結(jié)合減基法研究橢球凸集參數(shù)域結(jié)構(gòu)的快速優(yōu)化問題將是有價值的和有必要的。

本文提出了一種針對橢球凸集參數(shù)域結(jié)構(gòu)的高效減基優(yōu)化方法，并給出了對應(yīng)的結(jié)構(gòu)減基優(yōu)化流程。該方法在橢球凸集參數(shù)域通過基變換、選邊界及伽遼金映射降階來構(gòu)建合適的減基計算模型及列式，進(jìn)而構(gòu)建相應(yīng)的結(jié)構(gòu)減基優(yōu)化模型。本文通過對結(jié)構(gòu)算例進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算，來驗證所提方法在保證計算精度的前提下能夠獲得較佳的優(yōu)化效率。

1 優(yōu)化問題描述

參數(shù)化結(jié)構(gòu)靜態(tài)平衡方程的有限元表達(dá)式如下：

K(μ)u(μ)=Fμ∈Ω

(1)

式中，K為結(jié)構(gòu)的剛度矩陣；u為結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)逼近解；F為結(jié)構(gòu)的載荷向量，結(jié)構(gòu)方程的自由度數(shù)記為n；μ為結(jié)構(gòu)的參數(shù)向量，其維數(shù)記為m；Ω為結(jié)構(gòu)的參數(shù)域。

在橢球凸集參數(shù)域條件下，研究的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題可描述為

(2)

2 減基優(yōu)化方法

2.1 減基法的構(gòu)筑

橢球凸集參數(shù)域的特征矩陣為正定矩陣，可對其進(jìn)行舒爾變換[13]，變基處理后可得

W=QTΛQ

(3)

結(jié)合式(3)，結(jié)構(gòu)的橢球凸集參數(shù)域可變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)的橢球凸集參數(shù)域，即

(4)

將式(4)進(jìn)行變換得到

(5)

將變換后的標(biāo)準(zhǔn)橢球凸集參數(shù)域記為

(6)

(7)

將式(7)進(jìn)行變換得到

(8)

(9)

ri≥1/aii=1,2，…,m

式中，ri為標(biāo)準(zhǔn)矩形凸集參數(shù)域邊界線對應(yīng)的坐標(biāo)值。

(10)

圖1 二維橢球凸集參數(shù)域的矩形邊界Fig.1 The rectangular boundary of two-dimensional ellipsoidal convex parameter domain

ZN=[u(μ1)u(μ2) …u(μN(yùn))]

(11)

將結(jié)構(gòu)的剛度矩陣K(μ)進(jìn)行參數(shù)分離，并在減基空間中將結(jié)構(gòu)的平衡方程(式(1))通過伽遼金映射進(jìn)行降階減縮，從而可獲得橢球凸集參數(shù)域結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)減基計算表達(dá)式：

(12)

式中，uN(μ)為N維減基空間中的結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)逼近解；αN(μ)為N維減基空間中的權(quán)系數(shù)向量；p為剛度矩陣K(μ)的參數(shù)分離數(shù)；σj(μ)為與參數(shù)相關(guān)的標(biāo)量函數(shù)，并隨著參數(shù)向量μ的變化而變化；Kj為分離參數(shù)獲得的剛度矩陣;BN,j、FN分別為與參數(shù)無關(guān)的N階矩陣和向量，可將其存儲于計算機(jī)中。

2.2 優(yōu)化模型的建立

利用上述減基法的構(gòu)筑方式，在橢球凸集參數(shù)域條件下，可將原結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題(式(2))轉(zhuǎn)變?yōu)槿缦陆Y(jié)構(gòu)減基優(yōu)化問題：

(13)

2.3 減基優(yōu)化流程

將結(jié)構(gòu)的減基優(yōu)化算法分為離線處理階段和在線計算階段，離線處理階段為構(gòu)建減基空間及其減基列式的流程，在線計算階段為快速求解減基優(yōu)化模型的流程。

(2)在線計算階段。由結(jié)構(gòu)減基優(yōu)化問題(式(13))可知，在結(jié)構(gòu)的橢球凸集參數(shù)域Ω中，可借助減基列式(式(12))快速地計算得到結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)逼近解uN(μ)，并在此基礎(chǔ)上選用通用的優(yōu)化算法高效地求解優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)f(uN(μ))。

3 結(jié)構(gòu)算例分析

考慮圖2所示的應(yīng)力結(jié)構(gòu)算例，結(jié)構(gòu)兩端呈固定狀態(tài)，施加豎直向下的力載荷f1=f2=f3=800 kN。相應(yīng)的結(jié)構(gòu)長度l=1.6 m，寬度w=0.5 m，厚度為0.02 m。將此結(jié)構(gòu)算例進(jìn)行有限元離散，形成擁有n=2 066個自由度的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。將結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)記為向量形式μ=(μ1,μ2)=(E,ν)，其中E為彈性模量(102GPa)，ν為泊松比。結(jié)構(gòu)的橢球凸集參數(shù)域可表示為

(14)

圖2 結(jié)構(gòu)算例Fig.2 The example of a structure

結(jié)構(gòu)算例對應(yīng)的參數(shù)域形態(tài)如圖3所示。對此結(jié)構(gòu)算例進(jìn)行分析，將圖2中O點的豎直向下位移絕對值|uo(μ)|作為研究對象，|uo(μ)|為結(jié)構(gòu)參數(shù)的函數(shù)，該函數(shù)相應(yīng)于結(jié)構(gòu)參數(shù)域Ω會有一個位移響應(yīng)域且有位移響應(yīng)最優(yōu)值。針對此結(jié)構(gòu)算例，具體的優(yōu)化求解問題可描述為

(15)

圖3 結(jié)構(gòu)算例的橢球凸集參數(shù)域Fig.3 The ellipsoidal convex parameter field of the structure example

將特征矩陣W作舒爾處理，可得到其正定的對角矩陣：

(16)

依據(jù)式(9)可取r1=0.51、r2=0.1，進(jìn)而得到標(biāo)準(zhǔn)矩形凸集參數(shù)域及其參數(shù)向量為

(17)

(18)

圖4 結(jié)構(gòu)算例的參數(shù)樣本點分布Fig.4 The distribution of parameter sample points of the structure example

圖5 減基法的優(yōu)化迭代過程Fig.5 The optimizing iterative process for RBM

圖6 有限元法的優(yōu)化迭代過程Fig.6 The optimizing iterative process for FEM

由圖5和圖6的迭代過程數(shù)據(jù)可知，減基法與有限元法優(yōu)化結(jié)構(gòu)算例的過程均是保持收斂的，而兩種方法在迭代過程中的些許不同則主要是由減基法的數(shù)值計算誤差造成的。由圖5和圖6的迭代最終優(yōu)化數(shù)據(jù)可知，若將有限元法優(yōu)化的結(jié)果作為精確解，則減基法優(yōu)化導(dǎo)致的相對誤差值僅為0.56%，以此可以評價兩者的優(yōu)化結(jié)果幾乎是一致的，因此減基法優(yōu)化具有較高的計算可靠性。在同一臺計算機(jī)上，基于有限元法的優(yōu)化算法在線求解結(jié)構(gòu)算例的一次平均耗時量約為9.8 s，而采用基于減基法的優(yōu)化算法在線求解結(jié)構(gòu)算例則僅需0.6 s。顯然，減基法的求解效率高于有限元法的求解效率，減基法計算時效的提升倍數(shù)約為16，因此減基法優(yōu)化又具有較高的計算時效性。

4 結(jié)論

針對橢球凸集參數(shù)域的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題，提出了一種可靠而又高效的減基求解方法。所提方法將減基概念及其列式有機(jī)地融入到具有橢球凸集約束的優(yōu)化算法中，能夠高時效地解決工程結(jié)構(gòu)的相關(guān)優(yōu)化問題，具有一定的實踐應(yīng)用價值。結(jié)構(gòu)算例分析驗證了所提方法具有較高的計算可靠性和計算時效性。