相界面及相變晶體學(xué)擇優(yōu)

顧新福，石章智，陳 冷，楊 平

(北京科技大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院，北京 100083)

1 前 言

界面是多晶體材料中重要的微觀組織特征之一。界面處的原子種類或結(jié)構(gòu)往往不同于晶體內(nèi)部的原子排列，界面上這些原子結(jié)構(gòu)不僅在晶體的一系列物理化學(xué)過程中起到重要作用，并且對材料整體性能也具有很重要的影響[1]。

界面的存在會導(dǎo)致體系的吉布斯自由能增加，因而在固態(tài)相變時，新相與母相之間產(chǎn)生的界面是形核時的阻力項。為了降低形核能壘，兩相之間易于形成特殊的低能界面取向[2]。因此，新相與母相之間常形成可重復(fù)的位向關(guān)系、界面取向及界面結(jié)構(gòu)等晶體學(xué)特征，即存在相變晶體學(xué)擇優(yōu)現(xiàn)象[3, 4]。與相變熱力學(xué)及動力學(xué)一樣，相變晶體學(xué)也是理解材料組織不可缺少的知識[5]。

由于相變時界面傾向于形成低能界面，而低能界面通常具有特殊的界面結(jié)構(gòu)，因此從界面結(jié)構(gòu)入手分析常常是分析相變晶體學(xué)擇優(yōu)規(guī)律的重要方法[3, 4, 6-9]。本文旨在介紹相變晶體學(xué)幾何模型的一般思想和處理方法，建立界面結(jié)構(gòu)與相變晶體學(xué)擇優(yōu)的關(guān)系。文中首先介紹界面的基本定義，接著介紹處理相變晶體學(xué)擇優(yōu)問題的簡單而直觀的方法，再介紹定量的分析方法及其衍生模型，最后結(jié)合筆者近年開發(fā)的相變晶體學(xué)軟件介紹應(yīng)用實(shí)例。

1.1 界面幾何

定義平直界面通常需要5個宏觀參量，稱為5個自由度。其中3個參量定義界面兩側(cè)晶體在空間的位向關(guān)系，剩余2個參量定義界面取向。

位向關(guān)系是指兩晶體在空間中的位置關(guān)系。描述晶界時，常用軸角對表示位向關(guān)系。其中軸向由兩個參數(shù)定義，繞軸的旋轉(zhuǎn)角為另外一個參數(shù)，可見位向關(guān)系需要3個參數(shù)來描述。然而描述相變時，常用米勒指數(shù)表示位向關(guān)系，即用面和面平行及面內(nèi)的方向和方向平行的關(guān)系來描述，這種表示方法比較直觀。例如鋼鐵材料中的馬氏體相變，馬氏體(bcc)和奧氏體母相(fcc)之間的Nishiyama-Wasserman(N-W)位向關(guān)系可以近似描述成密排面平行(111)fcc//(011)bcc，近密排方向平行[1-10]fcc//[100]bcc。當(dāng)然，兩相之間的位向關(guān)系也可用軸角對或歐拉角等方式描述，它們之間可以通過位向關(guān)系矩陣相互轉(zhuǎn)換。位向關(guān)系矩陣是將同一矢量從一晶體坐標(biāo)系轉(zhuǎn)到另一個晶體坐標(biāo)系的變換。

界面如果是宏觀的平面，面法向需要兩個參數(shù)來定義。界面上可能包含位錯和臺階等微觀亞結(jié)構(gòu)，因此可以根據(jù)界面結(jié)構(gòu)對界面進(jìn)行分類。

1.2 界面結(jié)構(gòu)

根據(jù)晶體界面兩邊原子的匹配或?qū)?yīng)關(guān)系，相界面可分為完全共格、半共格和非共格界面[2]，如圖1所示。

圖1a中的界面為完全共格界面。晶體α和晶體β的原子在界面上一一對應(yīng)。此時兩相晶格之間的錯配非常小，界面處可以通過較小的應(yīng)變實(shí)現(xiàn)完全共格，例如高錳鋼中的ε馬氏體與奧氏體(γ)之間的界面(0001)ε//(111)γ。這類界面的界面能通常較低。由于兩相之間的彈性能與錯配的平方成正比，隨著兩相晶格之間的錯配增大，達(dá)到一定臨界錯配值之后，界面將喪失共格狀態(tài)，界面的錯配將通過周期性的位錯來松弛，如圖1b所示，這樣的界面被稱為半共格界面。位錯與相鄰位錯之間是共格區(qū)。鋼鐵、鈦合金和鎂合金中多種析出相的界面就是半共格界面。當(dāng)兩相錯配更大時，形成非共格界面，如圖1c所示。非共格界面上不存在共格區(qū)和規(guī)則的共格點(diǎn)，此類界面的界面能較大。當(dāng)然，在大錯配時，兩相之間也可以形成近似重合位置點(diǎn)陣的結(jié)構(gòu)，或稱為規(guī)則共格界面[5]，例如鎂合金中的Laves相與基體之間的界面[10]。

圖1中給定的界面均為原子級平界面，實(shí)際系統(tǒng)中的界面不僅包含位錯，還包含臺階結(jié)構(gòu)，稱為結(jié)構(gòu)臺階。圖2是界面一側(cè)的臺階結(jié)構(gòu)圖，由臺面-側(cè)面-扭折(terrace-ledge-kink, TLK)模型描述，其中臺階的臺面、側(cè)面和扭折的面均為晶體中的密排或次密排面。由于存在臺階，宏觀界面的平均取向?qū)⑵x低指數(shù)晶面。如果界面指數(shù)不能用低指數(shù)表示，則稱為無理界面。界面上的這些臺階稱為本征臺階，實(shí)際起到松弛界面錯配的作用。對于一般的系統(tǒng)，界面兩側(cè)的錯配不能完全通過臺階松弛，一般界面上除了臺階結(jié)構(gòu)之外還包含位錯結(jié)構(gòu)。

界面是位向關(guān)系和界面取向的5元函數(shù)，擇優(yōu)低能界面是這五維空間中的能量谷點(diǎn)(奇異點(diǎn))。處于奇異點(diǎn)的界面又被稱為奇異界面[1]。相變晶體學(xué)幾何模型大多基于界面上原子或晶格的匹配或錯配分析，然后根據(jù)某種匹配好的準(zhǔn)則或者判據(jù)限制界面取向及位向關(guān)系[3, 4, 6, 8]。因此，分析界面原子匹配對理解這些晶體學(xué)擇優(yōu)規(guī)律至關(guān)重要。下一節(jié)將介紹匹配的定義以及尋找界面上匹配好區(qū)的方法。

圖1 相界面類型：(a)完全共格，(b)半共格，(c)非共格Fig.1 Types of interphase boundary: (a) coherent, (b) semi-coherent, (c) incoherent

圖2 界面的臺階及位錯結(jié)構(gòu)Fig.2 The interfacial structures of terrace-ledge-kink (TLK) and dislocations

2 界面匹配

2.1 匹配和錯配

相變晶體學(xué)幾何模型中計算晶格之間匹配的方法是將兩個晶格點(diǎn)陣相互穿插并在原點(diǎn)重合，然后計算最近鄰的晶格點(diǎn)間的位移大小Δvm，即為錯配大小，如圖3a所示。異相晶體之間形成完全共格的情況非常少，因此一般界面上兩相原子之間都會存在錯配。設(shè)vα和vβ分別是兩相晶格中的晶格矢量，他們間的錯配位移為[3]：

(1)

|Δvm|≤δ,

(2)

圖3 N-W位向關(guān)系下((111)f//(011)b,[1-10]f//[100]b)的錯配位移(a)，面心立方(111)面內(nèi)位移矢量Δv=vβ-vα與臨界錯配圓(球)的交截情況(b)，Δvm為錯配位移Fig.3 The misfit displacement at N-W orientation relationship (111)f//(011)b,[1-10]f//[100]b (a); The displacement vector Δv=vβ-vα and matching circle in (111) plane (b), Δvm is the misfit displacement

圖4 N-W位向關(guān)系下，(111)f//(011)b界面的原子匹配，綠色實(shí)心圓為匹配好區(qū)，實(shí)線橢圓為錯配時等錯配線，虛線橢圓為時等錯配線Fig.4 The atomic matching of (111)f//(011)b at N-W orientation relationship, the solid green circles are good matching sites, solid ellipse is the iso-misfit line for misfit of

2.2 界面能與界面匹配

從原子之間相互作用的角度看，原子間相互作用存在著平衡位置，偏離平衡位置會導(dǎo)致系統(tǒng)能量的增加?？紤]第一近鄰近似，若兩相原子在界面處的位置相同或相近，則原子間錯配小，那么原子間錯配造成的能量增加很少。

在金屬材料中，一般界面能中的結(jié)構(gòu)項(錯配)占主導(dǎo)(忽略了界面能化學(xué)項和熵的貢獻(xiàn))，減小界面的錯配度或增加界面原子的匹配度有利于界面能的降低。Chen等[18]通過嵌入原子勢函數(shù)的方法計算界面能，指出在金屬系統(tǒng)中界面能的化學(xué)項不超過整個界面能的20%，界面能中的結(jié)構(gòu)項占主導(dǎo)。因此，基于界面錯配分析的幾何模型適用于界面能結(jié)構(gòu)項占主導(dǎo)的系統(tǒng)。

圖5為界面匹配較好的兩相界面。實(shí)心圓和空心圓分別代表兩相的原子，假設(shè)兩相的原子種類相同。界面處的原子用虛線圓表示，從圖中可以看出，界面上兩相最相鄰的原子近似重合，從第一近鄰原則考慮，界面原子的內(nèi)能與體內(nèi)的內(nèi)能相當(dāng)，也就是界面的能量接近0。GMS法簡單直觀，但是定量描述界面結(jié)構(gòu)不足，而定量描述界面錯配分布的理論是深入理解界面擇優(yōu)規(guī)律的基礎(chǔ)。

圖5 界面匹配與界面能示意圖Fig.5 Schematic of the atomic matching at the habit plane and interfacial energy

2.3 O點(diǎn)陣?yán)碚?/h3>

定量描述界面匹配分布及界面結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)工具是O點(diǎn)陣?yán)碚?，由瑞士物理學(xué)家Bollmann(1920～2009)提出[19, 20]。O點(diǎn)陣?yán)碚摱x了匹配好區(qū)的中心，即O單元，好區(qū)之間的差區(qū)的中心稱為O胞壁。好區(qū)在實(shí)際系統(tǒng)中松弛為共格區(qū)，差區(qū)中心為位錯的位置。具體計算方法如下。

設(shè)α相和β相晶格中的矢量vα和vβ在公用坐標(biāo)下通過形變或相變矩陣聯(lián)系，即：

vβ=Avα

(3a)

其中A為維度3×3的相變矩陣。相應(yīng)地，倒易空間中兩相關(guān)矢量gα和gβ之間的相變關(guān)系為[2, 20]：

(3b)

正空間矢量vα和vβ之間的位移為：

Δv=vβ-vα=(I-A-1)vβ=Tvβ

(4a)

其中T=I-A-1，被稱為相變位移矩陣。與之對應(yīng)，倒空間中的位移為：

(4b)

根據(jù)O點(diǎn)陣?yán)碚?，O點(diǎn)定義為錯配等于0的點(diǎn)，根據(jù)式(1)可知：

(5)

那么O點(diǎn)陣的基本平移矢量，即主O點(diǎn)陣矢量xO，定義為[19]：

(6)

O點(diǎn)陣?yán)碚撝械腛單元由主O點(diǎn)陣矢量xO定義，O單元的位置一般不是晶格的格點(diǎn)。方程(6)是否可解與矩陣T的秩相關(guān)。

(1)當(dāng)矩陣T的秩為3時，方程(6)一定可解。主O點(diǎn)陣矢量xO的端點(diǎn)定義O點(diǎn)，任何整數(shù)倍的xO矢量仍為O點(diǎn)。3組主O點(diǎn)陣矢量可以定義三維空間中O點(diǎn)陣的周期分布。

TxIL=0

(7)

通常析出相長軸沿不變線方向[21-23]。若方程(6)可解，在空間分布的周期性O(shè)單元為O線，其方向平行于不變線方向。

O點(diǎn)事實(shí)上定義了匹配好區(qū)的中心(錯配為0)，若要界面匹配較好，那么界面需要包含兩個主O點(diǎn)陣矢量，界面內(nèi)存在周期性分布的好區(qū)，擇優(yōu)界面的單位法向n定義為：

(8)

兩個主O點(diǎn)陣矢量構(gòu)成的平面又被稱為主O點(diǎn)陣面。在給定晶體結(jié)構(gòu)和位向關(guān)系的情況下，自然選擇的擇優(yōu)界面n是固定的，一般平行于主O點(diǎn)陣面。

好區(qū)與好區(qū)之間必然是匹配差區(qū)，其中心為O胞壁，其與界面的截線將是界面位錯線所在的位置。O點(diǎn)陣?yán)碚摻o出了計算界面位錯位置和間距的方法。界面n上的位錯線方向ζ[3, 24]及位錯間距D分別為：

(9a)

(9b)

(9c)

(9d)

2.4 O點(diǎn)陣與匹配好區(qū)分布

GMS一般成團(tuán)簇分布，團(tuán)簇的中心為O點(diǎn)。GMS團(tuán)簇邊緣的錯配為好區(qū)閥值δ。根據(jù)式(4a)，原點(diǎn)附近的矢量vβ的位移為Δv，因此原點(diǎn)附近好區(qū)團(tuán)簇內(nèi)部|Δv|≤δ。因此，GMS好區(qū)的邊界滿足：

vβ′T′Tvβ=δ2

(10)

界面匹配好區(qū)比例與界面能相關(guān)，因此研究界面上的好區(qū)分布至關(guān)重要。圖4為二維(111)f//(011)b面上的GMS團(tuán)簇分布。面心立方(111)面的堆垛次序是…ABC…堆垛，因此，相鄰(111)面之間存在堆垛平移矢量，因此相應(yīng)的好區(qū)也會發(fā)生平移。根據(jù)兩相晶格之間的位向關(guān)系，畫出相鄰三層(111)面上GMS的分布，如圖6a所示，不同層的GMS用不同實(shí)心符號表示。由于層間的堆垛平移矢量，面上的GMS發(fā)生了相對平移。

圖6 N-W位向關(guān)系下，匹配好區(qū)在相鄰fcc(111)堆垛層上的分布，其中A層原子用圓圈表示，B層用下三角表示，C層原子用上三角表示，匹配好區(qū)均用實(shí)心符號表示(a)；結(jié)構(gòu)臺階(b)[13, 17]Fig.6 The distribution of GMSs at N-W orientation relationship for neighboring (111) planes with a stacking sequence ABC in fcc lattice. The atoms in each plane are shown by open marks, while GMSs are indicated by solid marks (a); Structural ledge (b)[13, 17]

在相鄰層，GMS呈連續(xù)分布。若宏觀界面偏離(111)面，通過臺階經(jīng)過層間的GMS，那么就可得到圖6b的模型，即經(jīng)典的結(jié)構(gòu)臺階模型[13, 17]。通過結(jié)構(gòu)臺階，界面上好區(qū)呈連續(xù)分布，好區(qū)之間為界面位錯，這種界面的好區(qū)比例相對于原始(111)面，由約8%增加到約25%?？上攵?，這種界面是晶體學(xué)上低能擇優(yōu)的。

由2.1節(jié)可知，GMS具體比例在理論上取決于界面上矢量位移和臨界錯配圓或錯配球的關(guān)系。根據(jù)這些關(guān)系也可以類似O點(diǎn)陣對界面擇優(yōu)特征進(jìn)行分析。對于三維晶格的情況，二維平界面上位移可能沿位移平面內(nèi)的不同方向，也可能沿同一個方向，也可能位移為0。這3種情況下，界面上匹配好區(qū)的比例分別為：

(3)當(dāng)界面上錯配位移均為0時，該界面為共格界面，GMS的比例為100%，界面完全匹配。該界面對應(yīng)于O點(diǎn)陣中O面的情況。顯然界面共格時能量最低。

(4)在一些特殊情況下，界面的位移非連續(xù)，只有有限個值，不能采用上述方法估計匹配好區(qū)比例。例如界面形成重位點(diǎn)陣，這類界面對應(yīng)于規(guī)則共格界面[5]。這些界面的能量也是較低的。

綜上，在上述(1)～(3)的情況下，GMS比例較高的面均為主O點(diǎn)陣面，包含周期性O(shè)點(diǎn)陣，即要求界面匹配周期性。然而對于三維晶格的情況，匹配最理想的界面為完全共格界面，如孿晶面。但是兩異相晶格之間形成共格界面的情況非常少。因此，足夠大的相界面一般會包含缺陷，如位錯等，來松弛兩相晶格之間的錯配。由上面分析可知，含有缺陷的界面最大的好區(qū)比例為30%。此時界面包含不變線，且界面位移方向沿柏氏矢量的方向，因而界面上的錯配可以通過一組位錯松弛。根據(jù)O點(diǎn)陣?yán)碚摚摋l件等價于O線條件，即要求慣習(xí)面含有O線。由于界面具有較高的GMS比例，因而具有較低的界面能。Zhang和Purdy[24]將界面包含一套O線作為晶體學(xué)擇優(yōu)判據(jù)，即O線模型，用于計算位向關(guān)系和慣習(xí)面。與該判據(jù)相一致的實(shí)驗結(jié)果是界面上有且僅有一組周期性平行排列的位錯。這與他們在Zr-Nb合金中的實(shí)驗結(jié)果相吻合。此后，此擇優(yōu)判據(jù)在更多的合金系統(tǒng)中得到了驗證，例如雙相鋼、鈦合金等系統(tǒng)[25-28]。

Zhang和Shi[29]提出擇優(yōu)界面具有奇異性的觀點(diǎn)，即奇異的界面具有特定的界面結(jié)構(gòu)，位向關(guān)系或界面的一點(diǎn)偏離均會造成界面結(jié)構(gòu)的改變而至少增加一套缺陷，從而導(dǎo)致界面能量的增加。這個奇異性可以從位移矢量和匹配球的關(guān)系來理解。由于晶體結(jié)構(gòu)是分立的，位移方向只有沿低指數(shù)方向才能使得GMS比例最高，而任何方向偏離均會造成GMS比例降低，即匹配好區(qū)周期性喪失。且從位移角度考慮還可以幫助理解為什么會增加至少一套缺陷，如當(dāng)位移沿柏氏矢量時，僅需一組位錯來補(bǔ)償錯配，而當(dāng)位移偏離柏氏矢量時，需要額外柏氏矢量來補(bǔ)償錯配的位移，即增加了位錯的數(shù)目。因此，當(dāng)界面包含一組位錯時，任何位向關(guān)系或界面取向的改變均會造成該界面結(jié)構(gòu)的改變，因此含O線的界面是局部低能的。關(guān)于奇異界面種類可參見文獻(xiàn)[3, 30]。

2.5 O點(diǎn)陣與倒空間矢量Δg

在給定位向關(guān)系下，主O點(diǎn)陣面是擇優(yōu)界面。位向關(guān)系、界面取向等通常通過透射電子顯微鏡(TEM)的衍射方法確定。實(shí)驗獲得的衍射花樣直接對應(yīng)倒空間矢量(g)，因此，理解倒空間矢量與界面的法向之間的關(guān)系，將為表征界面結(jié)構(gòu)打開方便之門。

(11)

(12)

因此，根據(jù)式(11)和式(12)可知，Δg也垂直于O線所在的面?？傊?，不論T的秩如何，若O點(diǎn)陣方程(6)可解，擇優(yōu)界面一定垂直于一個Δg矢量。這一擇優(yōu)關(guān)系可在TEM中對比界面跡線及衍射斑確定。在正空間中，Δg垂直于水紋面(Moiré面)，相關(guān)的兩個g面在Moiré面兩側(cè)一一匹配，如圖7所示。就是說，擇優(yōu)界面兩側(cè)至少有一組晶面在界面上邊邊匹配。由于Δg矢量不一定是低指數(shù)方向，這也解釋了高指數(shù)界面(無理界面)擇優(yōu)的原因。

圖7 Moiré面及面與面之間在界面處的匹配[3]Fig.7 Moiré plane and plane to plane matching at the interface[3]

2.6 幾種相變相關(guān)矩陣的關(guān)系

在實(shí)際相變晶體學(xué)分析過程中，往往涉及矢量在晶體坐標(biāo)系、公用坐標(biāo)系之間的變換，以及聯(lián)系不同坐標(biāo)系內(nèi)矢量的矩陣。這些轉(zhuǎn)換和矩陣初學(xué)者在實(shí)際應(yīng)用時最容易混淆，值得多加注意。

圖8總結(jié)了幾種坐標(biāo)系和矩陣之間的關(guān)系。矩陣S為結(jié)構(gòu)矩陣，其將矢量由晶體坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到晶體坐標(biāo)系相關(guān)的直角坐標(biāo)系，以方便計算[32]。母相和新相各有一個S矩陣，通常將母相的直角坐標(biāo)系作為公用坐標(biāo)系，計算相變矩陣A等。位向關(guān)系矩陣M是同一矢量在兩相晶格直角坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換矩陣。晶格對應(yīng)關(guān)系C為相變矩陣A相關(guān)聯(lián)的兩個晶體坐標(biāo)系下的矢量。這幾個矩陣之間的關(guān)系如式(13)：

圖8 母相(α)和新相(β)的結(jié)構(gòu)矩陣S、兩相之間的位向關(guān)系矩陣M、晶格對應(yīng)關(guān)系矩陣C及相變矩陣A之間的關(guān)系Fig.8 Relationship between structure matrix S in matrix (α) and product phase (β), orientation matrix M, lattice correspondence C and phase transformation matrix A

(13)

相變矩陣與位向關(guān)系矩陣、晶格對應(yīng)關(guān)系及結(jié)構(gòu)矩陣相關(guān)。如果知道兩晶格結(jié)構(gòu)及位向關(guān)系矩陣，可通過原點(diǎn)附近GMS團(tuán)簇尋找晶格對應(yīng)關(guān)系并構(gòu)造相變矩陣[4]。由于晶體自身的對稱性，晶體可以有多種晶體坐標(biāo)系選擇，因而導(dǎo)致同一原子位置可以有多種描述，位向關(guān)系矩陣表達(dá)就不同。一般在計算過程中，選擇取向差最小對應(yīng)的位向關(guān)系。

3 相變晶體學(xué)預(yù)測模型

前面介紹的方法是在已知位向關(guān)系的前提下，如何確定擇優(yōu)界面。而預(yù)測兩相的位向關(guān)系和擇優(yōu)界面能夠在很多情況下預(yù)測析出相的形貌，對材料設(shè)計非常有價值。這可基于界面擇優(yōu)的性質(zhì)實(shí)現(xiàn)，下面簡單介紹一些常用的相變晶體學(xué)預(yù)測模型。

3.1 直接法

通常，位向關(guān)系偏向用密排面或密排方向之間的平行關(guān)系來表示。將兩相中所有低指數(shù)的方向或面進(jìn)行比對，如果某一對方向和方向所在的面錯配小于給定的閥值(例如15%)，則認(rèn)為這一位向關(guān)系可能擇優(yōu)。最終計算結(jié)果可能有多種解，錯配最小的解是最可能被實(shí)驗觀察到的位向關(guān)系。界面至少包含兩個低錯配方向。最近，Zhang等[33]提出了原子列匹配模型預(yù)測位向關(guān)系。該模型第一步是尋找一個錯配較小的低指數(shù)方向，第二步是尋找錯配沿第一步方向投影較小的低指數(shù)方向，以實(shí)現(xiàn)界面近似原子列匹配。以該模型為代表的這類方法簡單，但是不能解釋某些偏離有理位向的位向關(guān)系(無理位向關(guān)系)，需結(jié)合其它模型(例如后文的Δg平行法則)優(yōu)化。

3.2 馬氏體表象理論

馬氏體表象理論[34]是相變晶體學(xué)研究中里程碑式的工作，是相變晶體學(xué)成功應(yīng)用的典范，并對后來擴(kuò)散型相變晶體學(xué)的發(fā)展起到促進(jìn)作用。馬氏體表象理論可以預(yù)測馬氏體的晶體學(xué)特征，包括位向關(guān)系、慣習(xí)面、孿晶分?jǐn)?shù)等。表象理論的提出是基于一些實(shí)驗基礎(chǔ)或假設(shè)：① 慣習(xí)面是宏觀不變平面；② 界面可滑動。宏觀不變平面應(yīng)變P1可寫成晶格間變形的均勻應(yīng)變和非均勻應(yīng)變(點(diǎn)陣不變切變)之積，如式(14)：

P1=RBP2

(14)

其中B為由面心立方轉(zhuǎn)變?yōu)轶w心立方的貝茵應(yīng)變(均勻應(yīng)變)，P2為點(diǎn)陣不變切變(非均勻應(yīng)變)，如滑移或?qū)\晶，R為旋轉(zhuǎn)矩陣，使得界面旋回原始位置形成宏觀不變平面。根據(jù)式(14)可得，表象理論中有兩條重要的性質(zhì)：① 界面包含一根不變線，不變線位于滑移面或?qū)\晶面上，位錯線或?qū)\晶在界面的跡線平行于不變線；② 界面的錯配位移沿著點(diǎn)陣不變切變的方向。根據(jù)這兩條性質(zhì)可以運(yùn)用解析法求解馬氏體的晶體學(xué)。

3.3 O線模型

由2.4節(jié)可知，若系統(tǒng)能滿足O線條件，即界面通過一組位錯松弛，界面GMS比例可高達(dá)30%。Zhang等[24]直接以界面存在O線作為判據(jù)，從而預(yù)測可能的位向關(guān)系，稱為O線模型。該模型成功用于雙相鋼、鈦合金等系統(tǒng)[25-28]。

(15)

圖9 Ni-Cr合金系統(tǒng)中，界面高分辨照片(a)[36]，相應(yīng)的界面原子匹配圖(b)[4]，界面內(nèi)原子匹配圖(c)[4]Fig.9 High-resolution TEM image of the habit plane in Ni-Cr alloy (a) [36], simulated atomic matching across the interface (b)[4], the atomic matching in the interface (c)[4]

3.4 Δg平行法則

根據(jù)O點(diǎn)陣?yán)碚?，擇?yōu)界面平行于主O點(diǎn)陣面，即至少垂直于一個Δg。考察Δg與其它倒易矢量之間的關(guān)系，Zhang等[9]總結(jié)出了Δg平行法則：

法則Ⅰ：Δg//g

法則Ⅱ：Δg1//Δg2

法則Ⅲ：ΔgII//Δg

法則 Ⅰ 適用于陶瓷系統(tǒng)，一側(cè)界面垂直于低指數(shù)g；法則Ⅱ即為O線模型，適用于小錯配系統(tǒng)；法則Ⅲ適用大錯配系統(tǒng)，要求二次位錯的周期與臺階重合[11]。擇優(yōu)位向關(guān)系至少滿足3條法則之一。滿足這些法則的合金系統(tǒng)參見文獻(xiàn)[3]。在倒空間觀察位向關(guān)系、慣習(xí)面取向及Δg是比較方便的。因為Δg平行法則與界面可能的擇優(yōu)結(jié)構(gòu)相對應(yīng)，可對相變中界面的結(jié)構(gòu)進(jìn)行解釋，運(yùn)用該法則不但可以幫助我們理解界面的擇優(yōu)規(guī)律，還可幫助我們在倒空間尋找兩相晶格對應(yīng)關(guān)系，從而建立相變應(yīng)變。

3.5 邊邊匹配模型

界面上原子列匹配是一種低能的結(jié)構(gòu)。Kelly和Zhang在此基礎(chǔ)上提出了邊邊匹配模型(edge-to-edge matching model)[38]?；舅悸啡缦拢孩?選擇兩相中一組平行的低指數(shù)晶向，兩者錯配之差小于10%(經(jīng)驗值)；② 包含這個晶向的晶面之間的間距接近(<6%)；③ 繞平行的晶向旋轉(zhuǎn)，步驟②中的晶面的原子列在界面上邊邊匹配。由于晶面在界面邊邊匹配，界面也垂直于Δg。邊邊匹配模型簡單，但是只有在特殊的晶格常數(shù)下才能實(shí)現(xiàn)第三步，后來，Kelly和Zhang借助于Δg平行取代第三步[6]。

4 相變晶體學(xué)計算軟件

為了便于運(yùn)用上述模型求解相變晶體學(xué)特征，作者團(tuán)隊[32]基于Python編程語言開發(fā)了免費(fèi)的相變晶體學(xué)計算軟件PTCLab(https://sourceforge.net/projects/tclab/)。該軟件支持常見的相變晶體學(xué)模型(包括馬氏體相變晶體學(xué)，擴(kuò)散型相變的相變晶體學(xué))、衍射斑模擬與標(biāo)定和極射投影圖繪制，軟件支持主流操作系統(tǒng)。軟件的操作界面如圖10a所示，主要由菜單①、工具欄②、樹形菜單③及顯示界面④組成。軟件的3大主要功能及其子功能見圖10b，這些功能的計算僅需輸入晶體結(jié)構(gòu)。

圖10 PTCLab主界面及功能[32]：(a)主界面，(b)主要功能Fig.10 The main interface (a) and main functions (b) of free software PTCLab[32]

5 相變晶體學(xué)應(yīng)用

由于篇幅限制，這里僅介紹運(yùn)用PTCLab軟件中的O線模型模塊解釋雙相不銹鋼系統(tǒng)中δ鐵素體(bcc)母相與析出相γ奧氏體(fcc)之間的相變晶體學(xué)特征。

表1 一種雙相不銹鋼中奧氏體析出相的相變晶體學(xué)試驗結(jié)果與O線模型結(jié)果的比較

圖11 一種雙相不銹鋼中奧氏體析出相的相變晶體學(xué)計算結(jié)果：(a)三維好區(qū)(GMS，紅點(diǎn))沿長軸方向的投影分布及實(shí)際析出相的形貌[16]；(b)析出相各界面A、B、C上好區(qū)GMS分布,水平方向為不變線方向(長軸方向)，圖中長度單位為埃Fig.11 The calculated transformation crystallography for the austenite precipitates in a duplex stainless steel: (a) The distribution of the GMS (red dots) along the growth direction and the morphology of a precipitate[16]; (b) the distribution of GMS in A, B, C interfaces, and the horizontal axis is along the growth direction, the unit in the figure is angstrom

6 結(jié) 語

本文介紹了理解相變晶體學(xué)擇優(yōu)規(guī)律的錯配分析法。界面匹配是分析相變晶體學(xué)擇優(yōu)的關(guān)鍵。擇優(yōu)界面一般具有較高的匹配好區(qū)比例，垂直于倒空間矢量差Δg。特別地，界面若滿足某些特定的擇優(yōu)結(jié)構(gòu)，例如界面包含一套位錯，位向關(guān)系往往具有特定的限制條件。界面結(jié)構(gòu)可通過好區(qū)分布或O點(diǎn)陣?yán)碚撨M(jìn)行定量計算。由于計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，相比過去，相變晶體學(xué)模型已經(jīng)變得更容易學(xué)習(xí)和應(yīng)用。相變晶體學(xué)模型通常以晶格常數(shù)為簡單輸入，可以輸出豐富的相變晶體學(xué)數(shù)據(jù)。常見的相變晶體學(xué)模型已經(jīng)集成于作者研究組開發(fā)的免費(fèi)軟件PTCLab中?；趯ο嘧兙w學(xué)特征的理解，人們有望在今后更好地理解相界面結(jié)構(gòu)與力學(xué)性能的關(guān)系、界面性質(zhì)與界面溶質(zhì)原子偏聚之間的關(guān)系[39-41]、析出相與缺陷的相互作用關(guān)系[42, 43]等。

致謝:感謝清華大學(xué)張文征教授及日本東北大學(xué)金屬材料研究所FURUHARA Tadashi教授一直以來對作者在相變晶體學(xué)及界面研究方面的幫助和指導(dǎo)。