基于逆向擬合法的H13鋼J-C本構(gòu)修正模型

張靜，張松，李斌訓(xùn)

(1.山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，高效潔凈機(jī)械制造教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東濟(jì)南，250061；2.山東大學(xué)機(jī)械工程國家級實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心，山東濟(jì)南，250061)

近年來，隨著對切削機(jī)理及數(shù)值模擬研究的不斷深入，材料的流變應(yīng)力行為建模受到了廣泛的關(guān)注。其中，材料塑性變形的流變應(yīng)力是預(yù)測切削變形力學(xué)行為和微觀組織性能以及制定切削加工工藝的重要依據(jù)之一[1]。因此，準(zhǔn)確建立材料在高溫、高應(yīng)變率條件下的本構(gòu)方程，對研究材料的高速切削加工性能以及切削層材料損傷具有重要意義。在工程材料動態(tài)力學(xué)行為研究中，通常利用分離式霍普金森壓桿實(shí)驗(yàn)來建立材料的本構(gòu)關(guān)系方程。針對不同的材料參數(shù)的求解，傳統(tǒng)的方法是對實(shí)驗(yàn)獲得的應(yīng)力和應(yīng)變反復(fù)進(jìn)行運(yùn)算處理，然后逐個求出相應(yīng)的模型參數(shù)。陳剛等[2-5]提出了一種基于數(shù)字圖像相關(guān)(digital image correlation，DIC)技術(shù)逆向建立材料本構(gòu)方程的方法。魯世紅等[6]利用霍普金森壓桿實(shí)驗(yàn)，研究了H13鋼的高應(yīng)變速率動態(tài)性能，并建立了該材料在溫度為293～873 K，應(yīng)變率為103～104 s-1條件下的J-C 本構(gòu)模型。ZHANG 等[7]利用DIC 技術(shù)獲得加工過程中的切削力以及工件變形區(qū)域，再結(jié)合有限元仿真確定了Al6061-T4 在切削狀態(tài)下的本構(gòu)方程。李濤等[8]利用有限元仿真建立了淬硬模具鋼正交切削的力學(xué)模型，并構(gòu)建了模具鋼在溫度為273～873 K，應(yīng)變率為700～6 000 s-1條件下的J-C本構(gòu)方程。在上述本構(gòu)模型中，材料參數(shù)被視為常數(shù)，這些本構(gòu)模型往往僅適用于預(yù)測特定條件下的材料流變應(yīng)力行為，當(dāng)實(shí)驗(yàn)條件超過特定范圍的應(yīng)變溫度或者應(yīng)變率時，預(yù)測精度往往較低。造成上述問題的主要原因是沒有考慮本構(gòu)模型中的溫度、應(yīng)變率和應(yīng)變對材料高溫流變行為的影響及耦合作用。針對上述問題，BOBBILI等[9]建立了高熵合金FeCoNiCr 在溫度為298～873 K 和應(yīng)變率為0.01～3 500 s-1條件下的修正型J-C 本構(gòu)模型，提高了對該材料流變應(yīng)力行為預(yù)測的準(zhǔn)確性。ASHTIANI等[10]建立了基于應(yīng)變補(bǔ)償型AA2030鋁合金的本構(gòu)模型，可以準(zhǔn)確預(yù)測該材料在溫度為623～773 K 和應(yīng)變率為0.005～0.500 s-1條件下的流變應(yīng)力。LIN 等[11]建立了基于應(yīng)變率補(bǔ)償型Al-Zn-Mg-Cu合金的本構(gòu)模型，在溫度為573～723 K 和應(yīng)變率為0.001～0.100 s-1條件下對預(yù)測該材料的流變應(yīng)力具有較高的準(zhǔn)確性。SONG等[12]提出了一種針對鈦基復(fù)合材料修正型J-C本構(gòu)模型，以預(yù)測該材料在溫度為293～923 K 和應(yīng)變率為0.001～1 252.000 s-1條件下的動態(tài)特性。LIN等[13]考慮了溫度對材料流變應(yīng)力的影響，建立了基于溫度補(bǔ)償型7075 鋁合金的本構(gòu)模型，該修正模型在溫度為350～450 ℃和應(yīng)變率為0.001～0.100 s-1的條件下表現(xiàn)出了較好的預(yù)測性能。然而，修正型本構(gòu)模型在構(gòu)建過程中往往涉及到大量數(shù)據(jù)的處理與運(yùn)算，并且在數(shù)據(jù)處理過程中，數(shù)據(jù)的選取對計算結(jié)果會產(chǎn)生很大的影響。其次，大多修正型J-C本構(gòu)模型只建立了材料參數(shù)關(guān)于溫度、應(yīng)變率或者應(yīng)變單個因素的函數(shù)，并未考慮多個因素耦合的影響。因此，用這些修正模型去預(yù)測不同條件下的材料流變應(yīng)力時，仍然存在較大的誤差。H13鋼是一種常用的熱作模具鋼，具有優(yōu)良的使用特性。該鋼在較高溫度時具有較高的強(qiáng)度和硬度，較高的耐磨性和韌性，優(yōu)良的綜合力學(xué)性能和較高的抗回火穩(wěn)定性，因此在現(xiàn)代模具制造業(yè)中得到了廣泛的應(yīng)用。為了更準(zhǔn)確地建立H13 鋼在高溫(298～1 073 K)和高應(yīng)變率(1 ～15 000 s-1)條件下的J-C 本構(gòu)模型，本文作者提出一種基于自定義函數(shù)來確定本構(gòu)模型參數(shù)的逆向擬合法，并對材料參數(shù)進(jìn)行修正，以期簡化J-C本構(gòu)模型的建立過程，消除傳統(tǒng)求解方法中的多次擬合誤差，進(jìn)一步提高對材料流變應(yīng)力預(yù)測的精度。

1 H13鋼力學(xué)性能實(shí)驗(yàn)

1.1 實(shí)驗(yàn)材料

實(shí)驗(yàn)所用的材料為H13 鋼(相當(dāng)于國內(nèi)牌號4Cr5MoSiV1)，材料化學(xué)成分如表1所示。

利用光學(xué)顯微鏡(OM)和透射電鏡(TEM)對H13鋼的微觀組織進(jìn)行觀察，不同實(shí)驗(yàn)設(shè)備下H13鋼微觀組織如圖1所示。由圖1(a)可知：材料初始晶粒粒徑均勻，利用Imagine-Pro-Plus(IPP)軟件進(jìn)行統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)晶粒直徑約為23.85 μm。由圖1(b)可知：板條狀馬氏體在材料組織中均勻分布，對應(yīng)的衍射光斑呈點(diǎn)陣排列，無圓環(huán)顯示，說明材料原始晶粒直徑較大。

1.2 準(zhǔn)靜態(tài)實(shí)驗(yàn)

在溫度T為298 K(25 ℃)，應(yīng)變率為1 s-1的條件下，利用萬能式電子試驗(yàn)機(jī)獲得了H13鋼的準(zhǔn)靜態(tài)應(yīng)力和應(yīng)變曲線，如圖2所示。由圖2可知：H13 鋼在準(zhǔn)靜態(tài)條件下沒有明顯的屈服現(xiàn)象，根據(jù)儀器測試結(jié)果可得材料的屈服強(qiáng)度σ0=1 605 MPa。

1.3 霍普金森壓桿實(shí)驗(yàn)

霍普金森壓桿實(shí)驗(yàn)溫度分別為473，623，773，923，1 073 K，應(yīng)變率分別為5 000，10 000，15 000 s-1，共計15組實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)裝置示意圖如圖3所示。當(dāng)溫度為623 K，應(yīng)變率為5 000 s-1時試樣壓縮前、后的形狀如圖4所示。

表1 H13鋼化學(xué)成分(質(zhì)量分?jǐn)?shù))Table1 Chemical composition of H13 steel %

圖1 H13鋼微觀組織圖Fig.1 Microstructure of H13 steel

圖2 準(zhǔn)靜態(tài)條件下H13鋼的真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線(T=298 K，=1 s-1)Fig.2 True stress-true strain curve of H13steel under quasistatic condition(T=298 K，=1 s-1)

圖3 高溫Hopkinson壓桿裝置示意圖Fig.3 Schematic map of Hopkinson device at high temperature

圖4 實(shí)驗(yàn)試樣(T=623 K，=5 000 s-1)Fig.4 Experimental specimen(T=623 K，=5 000 s-1)

由于實(shí)驗(yàn)材料H13 鋼的屈服強(qiáng)度較高、硬度較大，因此，通過選用不同長度的子彈來實(shí)現(xiàn)不同的應(yīng)變率。當(dāng)應(yīng)變率分別為5 000，10 000，15 000 s-1時，對應(yīng)的子彈長度分別為12.5，7.0 和5.0 cm。為了達(dá)到較高應(yīng)變率，當(dāng)應(yīng)變率分別為5 000 s-1和10 000 s-1時，采用試樣直徑×高為1.8 mm×2.0 mm；當(dāng)應(yīng)變率為15 000 s-1時，采用試樣直徑×高為1.8 mm×1.5 mm。考慮到實(shí)驗(yàn)過程中的誤差和其他環(huán)境影響，每組實(shí)驗(yàn)重復(fù)多次，取3次有效值。

圖5所示為H13鋼在不同應(yīng)變率和溫度條件下的真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線。從圖5可以看出：當(dāng)溫度一定時，隨著應(yīng)變率的提高，材料的真應(yīng)力不斷增大。單位時間內(nèi)應(yīng)變率越大，材料塑性變形越嚴(yán)重，嚴(yán)重的塑性變形導(dǎo)致了高的位錯密度，從而阻礙了材料內(nèi)部晶粒發(fā)生滑移變形，使得變形抗力不斷增大。同樣，當(dāng)應(yīng)變率一定時，隨著溫度的升高，材料的熱軟化效應(yīng)逐漸明顯。一方面，動態(tài)軟化使得塑性變形過程中的位錯密度降低，減小了材料的變形抗力。另一方面，高溫將會推動材料發(fā)生動態(tài)再結(jié)晶，再結(jié)晶晶粒形核，降低位錯密度，低的位錯密度和較小的再結(jié)晶晶粒使得材料更容易發(fā)生滑移變形，繼而減小材料的變形抗力。在高溫、高應(yīng)變率條件下，溫度和應(yīng)變率這2 種影響機(jī)制在材料的變形過程中同時發(fā)生，因此，在構(gòu)建H13鋼的J-C本構(gòu)方程時，要考慮應(yīng)變率和溫度對材料流變應(yīng)力的影響及其耦合作用。

圖5 H13鋼在不同應(yīng)變率和溫度下的真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線Fig.5 True stress-true strain curve of H13steel under different strain rates and temperatures

2 J-C本構(gòu)方程參數(shù)的確定

J-C本構(gòu)模型形式簡單、準(zhǔn)確率高，且利用較少的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)就能得到所有材料參數(shù)，因此被廣泛應(yīng)用于材料流變行為的研究[14-15]，其關(guān)系式如下：

式中：σ為H13 鋼的應(yīng)力；A為參考條件下的屈服應(yīng)力；B為應(yīng)變硬化系數(shù)；n為應(yīng)變硬化指數(shù)；C為應(yīng)變率強(qiáng)化系數(shù)；m為溫度軟化系數(shù)；ε為應(yīng)變；為參考應(yīng)變率，=1 s-1；Tr為參考溫度，Tr=298 K；TM為材料的熔點(diǎn)溫度，對于H13鋼，TM=1 773 K。

常見的H13 鋼J-C 本構(gòu)模型的材料參數(shù)見表2。由表2可確定材料參數(shù)取值范圍為：B小于1 100 MPa；n小于0.65；C小于0.06；m小于3。

2.1 應(yīng)變強(qiáng)化系數(shù)的確定

在溫度T為298 K，應(yīng)變率為1 s-1的參考條件下，可以忽略應(yīng)變率強(qiáng)化以及熱軟化的影響，此時J-C本構(gòu)方程可簡化為準(zhǔn)靜態(tài)本構(gòu)方程：

式中：A=1 605 MPa。首先在軟件中繪制出參考條件下的真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線，然后將式(2)嵌入到Origin函數(shù)庫中，然后利用該軟件中的自定義函數(shù)的擬合功能，從函數(shù)庫中調(diào)用上述函數(shù)并設(shè)置函數(shù)的參數(shù)范圍，最后，對該參考條件下的真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線進(jìn)行擬合，直至達(dá)到最優(yōu)解，從而得到本構(gòu)函數(shù)中的材料參數(shù)。根據(jù)B和n的取值范圍以及擬合結(jié)果可得B=472.36 MPa，n=0.096 78。參考條件下自定義函數(shù)擬合曲線如圖6所示。靜態(tài)本構(gòu)方程為

2.2 應(yīng)變率強(qiáng)化系數(shù)和熱軟化系數(shù)的確定

在準(zhǔn)靜態(tài)條件下，通過自定義函數(shù)擬合確定H13鋼的應(yīng)變率強(qiáng)化系數(shù)，其J-C本構(gòu)方程為

圖6 參考條件下自定義函數(shù)擬合曲線(T=298 K，=1 s-1)Fig.6 Fitting curve of custom-function under reference condition(T=298 K，=1 s-1)

對于式(4)中C和m的確定，需要利用霍普金森壓桿實(shí)驗(yàn)獲得的真應(yīng)力和真應(yīng)變。首先，將式(4)嵌入到Origin 函數(shù)庫，然后繪制應(yīng)變溫度分別為473，623，773，923 和1 073 K，應(yīng)變率分別為5 000，10 000，15 000 s-1時的13 組真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線，其中應(yīng)變率和溫度為15 000 s-1和773 K 以及10 000 s-1和923 K 這2 組作為后續(xù)模型驗(yàn)證。其次，利用Origin軟件中的自定義函數(shù)擬合功能，從函數(shù)庫中調(diào)用上述函數(shù)并設(shè)置函數(shù)參數(shù)范圍，對以上真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線分別進(jìn)行擬合(參數(shù)范圍見表2)。最后，得到13組不同條件下C和m的擬合值，分別如表3和表4所示。部分實(shí)驗(yàn)條件下C和m與溫度和應(yīng)變率的變化關(guān)系分別如圖7和圖8所示。

由圖7和圖8可知：應(yīng)變率強(qiáng)化系數(shù)C和熱軟化系數(shù)m隨溫度和應(yīng)變率的變化而變化，故該材料參數(shù)并非為恒定的常數(shù)。因此，考慮到應(yīng)變率和溫度對流變應(yīng)力的耦合作用，令并分別對C和m進(jìn)行二元多項(xiàng)式擬合，則有：

式中：ak1k2和bk1k2分別為多項(xiàng)式系數(shù)；k1和k2為非負(fù)整數(shù)。由擬合結(jié)果可得：

表2 H13鋼J-C本構(gòu)方程的材料參數(shù)Table2 Material parameter of J-C constitutive equation of H13 steel

表3 不同條件下參數(shù)C的擬合值Table3 Fitting value of parameter C under different conditions

表4 不同條件下參數(shù)m的擬合值Table4 Fitting value of parameter m under different conditions

圖7 C與溫度T和應(yīng)變率之間的關(guān)系Fig.7 Relationship between C,T and

圖8 m與溫度T和應(yīng)變率之間的關(guān)系Fig.8 Relationship between m,T and

即：

綜合上述各材料參數(shù)可得H13 鋼在溫度為298～1 073 K，應(yīng)變率為1～15 000 s-1條件下的J-C 本構(gòu)方程如下：

2.3 模型驗(yàn)證

選取溫度T=773 K和=15 000 s-1以及T=923 K和=10 000 s-1這2組工況下所得的真應(yīng)力和真應(yīng)變對修正的J-C本構(gòu)模型進(jìn)行驗(yàn)證，并計算其相對誤差，預(yù)測結(jié)果如圖9所示。由圖9可知：真應(yīng)力預(yù)測值和實(shí)驗(yàn)值較吻合，并且最大相對誤差為3.9%，該修正型J-C本構(gòu)模型能夠真實(shí)反映H13鋼塑性變形過程中的流變行為。因此，用該方法獲得的修正型J-C本構(gòu)模型，不但減少了大量的數(shù)據(jù)處理工作，而且提高了對材料流變應(yīng)力預(yù)測的精度。

圖9 不同條件下真應(yīng)力實(shí)驗(yàn)值與預(yù)測值對比及其相對誤差Fig.9 Comparison of experimental and predicted true stress and its relative error at different conditions

3 結(jié)論

1)通過準(zhǔn)靜態(tài)拉伸實(shí)驗(yàn)，利用逆向擬合法得到H13 鋼靜態(tài)本構(gòu)方程σ- 1 605 = 472.36ε0.09678。在準(zhǔn)靜態(tài)條件下，該靜態(tài)本構(gòu)方程為動態(tài)流變方程的特殊形式。

2)真應(yīng)力隨著應(yīng)變率的提高而不斷增大，隨變形溫度的升高而降低；隨著應(yīng)變率的不斷提高，應(yīng)變率強(qiáng)化系數(shù)C和熱軟化系數(shù)m呈現(xiàn)不斷增大的趨勢；但隨著變形溫度的增大，二者先增大再減小，在773～923 K時達(dá)到最大值。

3)利用自定義函數(shù)逆向擬合法所建立的修正型J-C 本構(gòu)模型可以精確預(yù)測H13 鋼在溫度為298～1 073 K 和應(yīng)變率為1～15 000 s-1的條件下的流變應(yīng)力；與以往建立材料本構(gòu)模型的方法相比較，該方法減少了大量的數(shù)據(jù)處理與運(yùn)算工作，簡化了材料本構(gòu)模型的建立過程，而且該修正模型綜合考慮了溫度與應(yīng)變率對材料流變行為的耦合影響，可為工程分析提供參考。