一道二元函數(shù)求最值數(shù)學(xué)題的多角度思考

駱星宇

摘 要 二元或者多元函數(shù)求最值問(wèn)題一直是浙江省數(shù)學(xué)高考的?？純?nèi)容，本文從高三復(fù)習(xí)講義中一個(gè)典型的二元函數(shù)求最值問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)五種不同的解題方法，從不同角度構(gòu)造不等式來(lái)探討二元函數(shù)求最值的解題策略，以幫助提高解題速度和準(zhǔn)確度。

關(guān)鍵詞 不等式;最值;基本不等式;轉(zhuǎn)化

中圖分類(lèi)號(hào)：O122.3，O629.11+3 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2019）16-0202-01

最值問(wèn)題，也可稱為值域問(wèn)題和取值范圍問(wèn)題，它是高中數(shù)學(xué)中的常見(jiàn)問(wèn)題，也是高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)，它知識(shí)面廣，內(nèi)容豐富，解題方法靈活多變，是考查學(xué)生綜合能力的良好素材，本文就高三復(fù)習(xí)講義中一個(gè)典型的二元函數(shù)求最值的問(wèn)題探討若干解題方法及思路，希望對(duì)讀者能夠有所借鑒和幫助。

例題：已知，，求的最小值。

解法1：（基本不等式）因?yàn)?，即（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），化簡(jiǎn)得，可解得或;又因?yàn)?，因此，（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），故的最小值是32。評(píng)注：利用基本不等式來(lái)解題時(shí)，應(yīng)特別注意條件需要滿足“一正二定三相等”，利用整體換元思想，借助基本不等式來(lái)構(gòu)造一個(gè)一元二次不等式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求解該一元二次不等式即可，整個(gè)解題過(guò)程思路簡(jiǎn)潔明了，計(jì)算量也很小。

解法2：（“1”的代換）因?yàn)?，兩邊同時(shí)除以可得，又因?yàn)?，而，所以原?，因此，的最小值32。

評(píng)注：該方法的原始題型是已知，求的最小值。本例題從條件上看表面上好像不能使用基本不等式，但是細(xì)心觀察就能從條件中發(fā)現(xiàn)端倪，對(duì)于此類(lèi)的式子我們習(xí)慣上兩邊同除，從而得到，將兩個(gè)式子相乘，展開(kāi)就可發(fā)現(xiàn)一個(gè)分母是，另一個(gè)分母是，兩個(gè)數(shù)之積是定值”，結(jié)合“和定積最大，積定和最小”，利用基本不等式即可求出最值。

其實(shí)，對(duì)于此類(lèi)式子，即使不是“1”是其他數(shù)值也可進(jìn)行類(lèi)似處理，只不過(guò)需要多乘一個(gè)系數(shù)在式子前面。該方法可解決方法一中前后式子系數(shù)不一致的求范圍問(wèn)題，該方法的解題思路也相對(duì)比較簡(jiǎn)單，就是對(duì)“1”的代換，來(lái)解決已知整式求分式范圍，或者已知分式求整式范圍問(wèn)題。

解法3：（因式分解）由可得，即，合并同類(lèi)項(xiàng)可得，即，（結(jié)合問(wèn)題是求的取值范圍）兩邊同時(shí)乘8可得，而，即且，解得，故的最小值是32。

評(píng)注：該方法本質(zhì)還是利用基本不等式來(lái)求解的取值范圍，只不過(guò)在此之前需要將原式分解成的形式，然后利用基本不等式即可求解。

方法有一定的技巧性，有點(diǎn)湊配的感覺(jué)，只需根據(jù)求解問(wèn)題，求什么式子湊配出什么式子即可，當(dāng)然，如果有常數(shù)，需要將常數(shù)放在等號(hào)的另一側(cè)。

解法4：（判別式法）令，則，代入原式可化為，整理得，這是關(guān)于的一元二次方程且存在實(shí)數(shù)根，只需滿足即可，因?yàn)榍遥?，所以，即，故的最小值?2。

評(píng)注：如果能夠把原來(lái)求二元函數(shù)最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程有無(wú)實(shí)根的問(wèn)題，我們常可以考慮用判別式法來(lái)求得函數(shù)的最值。即利用化歸思想，利用換元思想將二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次方程，變成該方程有無(wú)實(shí)根的問(wèn)題，利用根的分布原理，結(jié)合函數(shù)圖像從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的。

當(dāng)然本例題的解法還有單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法等常見(jiàn)求函數(shù)最值的方法，但運(yùn)算量大，本文限于篇幅，不再展開(kāi)。

最值問(wèn)題是浙江省高考的?？碱}型，是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)難點(diǎn)，也是考查學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的重要載體。因此我們有必要認(rèn)真總結(jié)和歸納求函數(shù)最值的幾種方法，以便我們更好的理解和掌握，來(lái)提高我們分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的思維能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]方積糧.對(duì)一道高中數(shù)學(xué)最值問(wèn)題的探討[J].數(shù)學(xué)教育研究，201（1）.