利用函數(shù)的性質(zhì)判定方程解的存在

徐可

摘 要 教材從學(xué)生熟悉的二次函數(shù)入手，建立二次函數(shù)零點(diǎn)與相應(yīng)二次方程根的聯(lián)系，然后歸納出方程的根即為函數(shù)的零點(diǎn)的結(jié)論，接著又通過對函數(shù)零點(diǎn)左右兩側(cè)函數(shù)值符號的研究得出了方程根存在的充分不必要條件——即方程根存在定理，最后應(yīng)用這個條件解決了簡單的方程根存在的判定。通過本節(jié)課學(xué)生會對方程的解和解方程以及函數(shù)與方程的關(guān)系有個全新的認(rèn)識。同時本節(jié)課在“二分法求方程的近似解”和“算法”中都有著重要的應(yīng)用，是中學(xué)重要思想方法“函數(shù)與方程思想”的理論基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞 函數(shù);方程;零點(diǎn);存在

中圖分類號： 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2019）15-0174-01

問題是數(shù)學(xué)的心臟，也是引發(fā)學(xué)生思考和探究的源動力。課堂中，有了問題，學(xué)生在好奇心驅(qū)使下才能真正激發(fā)思維，實(shí)現(xiàn)知識的邏輯結(jié)構(gòu)向?qū)W生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化。因此，在教學(xué)過程中，我們可依據(jù)教學(xué)目標(biāo)將教學(xué)內(nèi)容設(shè)計成一系列問題，將這些問題由淺入深、由易到難、合理設(shè)計、適時呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生通過問題的思考和探究來實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。

一、內(nèi)容及內(nèi)容解析

本節(jié)課是北師大版必修一第四章函數(shù)與方程的第一節(jié)。

本節(jié)課的核心概念是函數(shù)的零點(diǎn)，重點(diǎn)是根的存在定理的探究與應(yīng)用。

二、目標(biāo)和目標(biāo)的解析

確定本節(jié)課的目標(biāo)是：（1）理解方程的根與函數(shù)零點(diǎn)之間的關(guān)系。（2）通過圖形的直觀理解并會應(yīng)用方程解的存在的判斷方法。（3）經(jīng)歷方程根的存在條件的探究過程。（4）會利用函數(shù)的單調(diào)性判斷零點(diǎn)的個數(shù)及所在區(qū)間。

要實(shí)現(xiàn)讓學(xué)生理解應(yīng)用根的存在定理的教學(xué)目標(biāo)。主要通過問題設(shè)置讓學(xué)生參與定理推演落實(shí)的過程，讓學(xué)生感受到函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)決定了方程的解的個數(shù)，而連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值的符號決定著函數(shù)零點(diǎn)的存在性。在此過程中需引導(dǎo)學(xué)生觀察二重零點(diǎn)的情況，區(qū)分解的存在性與唯一性，關(guān)注連續(xù)函數(shù)的條件應(yīng)用。

三、教學(xué)過程設(shè)計

問題一：引例1、判斷下列方程（1）2x+3=0;（2）x2-x-6=0的根是否存在若存在求出方程的解。

【設(shè)計意圖】從學(xué)生熟知的一元一次、二次方程的解法入手，學(xué)生易用構(gòu)造法給出答案，這時可啟發(fā)是否還有其它解法？引導(dǎo)學(xué)生從圖形直觀角度考慮問題。初步體會方程的解即是圖像與X軸的交點(diǎn)。

引例2：求方程3x-x2=0的實(shí)數(shù)解。

【設(shè)計意圖】引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，進(jìn)而啟發(fā)學(xué)生要研究困難的問題可以從特殊、簡單的問題出發(fā)。

問題二：1、對引例1的再探究：

方程2x+3=0和方程x2-x-6=0的解從圖像上看有什么特點(diǎn)？

【設(shè)計意圖】通過函數(shù)與方程的聯(lián)系及圖象，進(jìn)一步體會方程的根即是圖像與X軸的交點(diǎn)，從而引入新概念——函數(shù)的零點(diǎn)。

思考1：為什么稱為函數(shù)的零點(diǎn)？

思考2：函數(shù)的零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值的符號有什么特點(diǎn)？

思考3：觀察下表，分析函數(shù)在定義域內(nèi)是否存在零點(diǎn)

x -2 -1 0 1 2

y -109 -10 -1 8 107

思考4：你能得出判斷方程有解的條件嗎？

問題三：解決引例二提出的問題

例1：已知函數(shù)f（x）=3x-x2，問：方程f（x）=0在區(qū)間【-1，0】內(nèi)有沒有實(shí)數(shù)解？為什么？

【設(shè)計意圖】：此方程是一般方程沒有求解公式，學(xué)生很自然就會聯(lián)想到定理的應(yīng)用，同時規(guī)范板書。把應(yīng)用的主動意識交給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生參與應(yīng)用過程，發(fā)展思維。

四、小結(jié)

（一）零點(diǎn)的概念。

（二）方程在給定閉區(qū)間上是否有實(shí)解的判斷方法：

1.確定函數(shù)的圖象在給定區(qū)間【a，b】上是連續(xù)不斷的。

2.計算f（a）f（b）的值并判斷其符號。

3.若f（a）f（b）<0，則有實(shí)解。

4.有些問題除用上述方法外還需結(jié)合函數(shù)的圖象來作出判斷。

五、教學(xué)反思

（一）本節(jié)課借助一次函數(shù)，二次函數(shù)的圖象與x軸是否有交點(diǎn)的情況與一元二次方程的根的關(guān)系出發(fā)，建立一元二次方程的根與相應(yīng)的二次函數(shù)的零點(diǎn)的聯(lián)系，然后將其推廣到一般方程與相應(yīng)的函數(shù)的情形，引入了函數(shù)零點(diǎn)的定義，體現(xiàn)了從具體到一般的思維過程。隨后，利用函數(shù)圖像和四個思考引導(dǎo)探索函數(shù)零點(diǎn)的存在，初步得到函數(shù)零點(diǎn)存在的判定方法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法。

在教學(xué)過程中，雖然導(dǎo)課花費(fèi)時間有點(diǎn)長，但是從學(xué)生對例題的反應(yīng)能感受到，學(xué)生已掌握了通過函數(shù)性質(zhì)判斷方程根的存在性的方法。并體會到了根的存在性定理的生成過程，和定理中需注意的問題。

（二）改進(jìn)措施：

在環(huán)節(jié)一：函數(shù)與方程的關(guān)系中可以臺階鋪的再多一些，引出零點(diǎn)概念的過程中，學(xué)生配合不是很好，應(yīng)快速調(diào)整，令y=0，則函數(shù)就變成了方程。給出函數(shù)零點(diǎn)的定義。

環(huán)節(jié)二：不用再分析引例中的函數(shù)圖像特征，直接拋出3個思考問題，讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)圖像特征，這樣可以節(jié)約導(dǎo)課時間。