在聚焦本質(zhì)的活動(dòng)中感悟模型思想

趙斌

摘要：模型思想是重要的數(shù)學(xué)思想之一。由于小學(xué)生數(shù)學(xué)思維特征的局限，學(xué)生很難有機(jī)會(huì)經(jīng)歷嚴(yán)格意義的、完整的建?；顒?dòng)，但教師在教學(xué)中聚焦知識(shí)本質(zhì)設(shè)計(jì)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生在活動(dòng)中感悟模型思想，有助于學(xué)生理性精神的形成和可持續(xù)發(fā)展。一元一次方程的核心在于內(nèi)在的“等價(jià)關(guān)系”模型，在這一內(nèi)容教學(xué)中借助有效直觀、給予建?！肮照取?，引發(fā)認(rèn)知沖突、跨越建模障礙，遴選結(jié)構(gòu)性素材、引導(dǎo)感悟模型結(jié)構(gòu)，有助于學(xué)生感悟模型思想，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：模型思想;等價(jià)關(guān)系;直觀;結(jié)構(gòu)性素材;小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-9094（2019）07B-0112-04

所謂模型思想，是指能夠有意識(shí)地用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法，理解、描述以及解決現(xiàn)實(shí)世界中的一類問(wèn)題的那種思想[1]。對(duì)模型思想的感悟是建立在較高基礎(chǔ)之上的：知識(shí)基礎(chǔ)是對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的把握，思維基礎(chǔ)是抽象和推理。小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維處于由具體形象思維到抽象邏輯思維的過(guò)渡期，一般到四、五年級(jí)才進(jìn)入初步的本質(zhì)抽象概括階段，開(kāi)始向初步代數(shù)運(yùn)算階段發(fā)展，尚難進(jìn)行完整的、嚴(yán)格意義的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，因此，嚴(yán)格意義上的數(shù)學(xué)建模及教學(xué)研究在大學(xué)開(kāi)展較多。但教師在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有意識(shí)地滲透模型思想，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷、體驗(yàn)，有助于學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中初步經(jīng)歷建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，留下模型思想的影子，深化對(duì)數(shù)學(xué)的理解，形成初步的理性精神。

在蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)第一單元，學(xué)生第一次認(rèn)識(shí)簡(jiǎn)易方程（一元一次方程），那么這一內(nèi)容中蘊(yùn)涵的核心思想是什么？其教學(xué)價(jià)值又是什么？東北師范大學(xué)史寧中教授認(rèn)為：一元一次方程比較全面地展示了建模思想——用等號(hào)將相互等價(jià)的兩件事情聯(lián)立，等號(hào)的左右兩邊等價(jià)。這就是數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)表現(xiàn)之一[2]?？梢?jiàn)，認(rèn)識(shí)方程的核心在于認(rèn)識(shí)其中內(nèi)在的“等價(jià)關(guān)系”模型。在這一內(nèi)容的教學(xué)中有效滲透模型思想，有助于學(xué)生對(duì)模型思想的感悟，提升學(xué)生用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言講述現(xiàn)實(shí)世界故事的能力，為后續(xù)代數(shù)知識(shí)學(xué)習(xí)和建模能力的發(fā)展奠定基礎(chǔ)。

下面筆者以蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)“認(rèn)識(shí)方程”第一課時(shí)為例，談?wù)剬?duì)引導(dǎo)學(xué)生感悟模型思想的實(shí)踐與思考。

一、借助有效直觀，給予建?！肮照取?/p>

數(shù)學(xué)概念的形成和數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)都需要抽象。基于小學(xué)生數(shù)學(xué)思維特征，這一年齡段學(xué)生的學(xué)習(xí)更多需要借助直觀作為實(shí)現(xiàn)抽象的“拐杖”。而這一“拐杖”的選用，必須符合兩方面特點(diǎn)：一是能激活學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)或知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，有利于學(xué)生觀察和思考;二是這一直觀必須是數(shù)學(xué)模型的直觀載體，且越簡(jiǎn)潔越有利于學(xué)生開(kāi)展學(xué)習(xí)。

方程的核心是“等價(jià)關(guān)系”，這也是方程模型的核心。筆者認(rèn)為最能直觀表現(xiàn)出“等價(jià)關(guān)系”的就是天平，它既能激活學(xué)生已有生活經(jīng)驗(yàn)，又能直觀、簡(jiǎn)潔地表征“等價(jià)關(guān)系”。

師：同學(xué)們知道今天我們學(xué)習(xí)什么內(nèi)容嗎？

生齊答：方程。

師：學(xué)習(xí)方程離不開(kāi)一件工具（出示天平圖片）。認(rèn)識(shí)它嗎？說(shuō)說(shuō)你對(duì)它的了解。

生1：這是天平，當(dāng)天平兩邊放的東西一樣重的時(shí)候，天平就會(huì)是平的。

師：是的，當(dāng)這種時(shí)候，我們就說(shuō)天平兩邊處于平衡狀態(tài)。

生2：當(dāng)天平左邊放的東西重的時(shí)候，天平會(huì)向左邊傾斜;而當(dāng)天平右邊放的東西重的時(shí)候，天平會(huì)向右邊傾斜。

師：那這兩種情況，我們可以說(shuō)天平——

生齊答：不平衡。

師：老師就帶來(lái)一架天平，請(qǐng)大家仔細(xì)觀察。

（出示圖1）

師：你能用一道數(shù)學(xué)式子表示出這架天平現(xiàn)在的狀態(tài)嗎？

生1：50+50=100

師：天平左邊表示為50+50，右邊表示為100，這時(shí)天平平衡，中間可以用“=”連接。（板書先寫“50+50”，再寫“100”，最后寫“=”）

天平直觀的呈現(xiàn)，激活了學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生能通過(guò)天平的狀態(tài)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言建構(gòu)等式以及之后的不等式，搭建起數(shù)學(xué)與生活間的橋梁。同時(shí)通過(guò)教師過(guò)程性的板書示范，學(xué)生初步感受到等式建構(gòu)的方法：客觀闡述事實(shí)本身。這也讓學(xué)生真正認(rèn)識(shí)到等號(hào)的本質(zhì)意義：表示兩邊的等價(jià)關(guān)系。

而之后的借助直觀部分的教學(xué)，教師也基本以天平為工具，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察天平，用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)天平的平衡與不平衡狀態(tài)，進(jìn)而認(rèn)識(shí)等式和不等式。

二、引發(fā)認(rèn)知沖突，跨越建模障礙

在建模的過(guò)程中，教師有時(shí)可以借助學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)。但有時(shí)學(xué)生已有的一些經(jīng)驗(yàn)卻成為學(xué)習(xí)過(guò)程中的障礙。如對(duì)于方程定義中兩個(gè)關(guān)鍵要素（“未知數(shù)”和“=”），學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)就對(duì)建構(gòu)方程產(chǎn)生了明顯阻礙。學(xué)生在前面四年多的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中都是采用四則運(yùn)算方式解題，已經(jīng)形成這樣的思維和書寫習(xí)慣：將未知放在等號(hào)右邊，將已知放在等號(hào)左邊，通過(guò)四則運(yùn)算推算出未知的結(jié)果。所以方程模型的建構(gòu)必須引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)兩方面的跨越：一是未知與已知由不平等到平等的跨越，二是“=”這一符號(hào)由學(xué)生感覺(jué)中的推算意義向真正的等價(jià)意義的跨越。這兩點(diǎn)直接決定了學(xué)生對(duì)方程模型的感悟水平和建構(gòu)水平。因此，有效引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)方程模型，首先要引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，引導(dǎo)學(xué)生在對(duì)比交流中實(shí)現(xiàn)這兩步跨越，突破建模障礙。

師：用一道簡(jiǎn)潔的式子就表示出天平的狀態(tài)。你會(huì)像這樣表示嗎？（出示圖2）

（教師收集、展示出：x+50=100、100-50=x）

師：你認(rèn)為哪道式子清楚地表示出了天平的狀態(tài)？

生1：我認(rèn)為第一道算式能很清楚地表示天平的狀態(tài)。

生2：我也認(rèn)為是第一道，因?yàn)楝F(xiàn)在天平上x克的木塊并不在右邊，而是和50克的砝碼一起在左邊，右邊是100克的砝碼，兩邊相等。而第二道式子把x放到右邊去了。

生3：我也認(rèn)為第一道好，剛才生2說(shuō)了，第二道式子把x放到右邊，雖然100-50和x相等，但他是在算x的得數(shù)，不是天平現(xiàn)在的樣子。

師：是啊，第一位同學(xué)把未知的量放在等號(hào)的右邊，看樣子是想通過(guò)100減50求出未知的x。但要清楚描述天平的狀態(tài)，需要改變未知量的位置嗎？

生齊答：不需要！

師：通過(guò)這兩個(gè)式子的對(duì)比，那你現(xiàn)在認(rèn)為用式子表示天平狀態(tài)時(shí)要注意什么呢？

生1：我認(rèn)為不用去求未知的量。

生2：不管已知還是未知，天平左邊的寫在式子左邊，天平右邊的寫在式子右邊。

（教師板書先寫“x+50”，再寫“100”，最后寫“=” ）

在前一教學(xué)環(huán)節(jié)初步建構(gòu)等價(jià)模型的基礎(chǔ)上，教師開(kāi)始在一邊出現(xiàn)未知量，讓學(xué)生調(diào)動(dòng)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)列出等式，將具有典型性的兩種式子展示后，引導(dǎo)學(xué)生圍繞問(wèn)題“哪道式子清楚地表示出天平的狀態(tài)？”展開(kāi)對(duì)比、交流，讓學(xué)生深刻感受到在客觀描述天平狀態(tài)時(shí)，已知量和未知量是平等的，實(shí)現(xiàn)跨越一;而通過(guò)對(duì)比、交流，加之教師在板書等式時(shí)的語(yǔ)言描述始終為“左邊表示為××，右邊表示為××，天平平衡，中間用等于號(hào)連接”，也讓學(xué)生深刻感受到“=”是描述天平兩邊的等價(jià)關(guān)系，而不是以往經(jīng)驗(yàn)中的從已知到未知的推算，在一定程度上實(shí)現(xiàn)了跨越二。在這一過(guò)程中，學(xué)生進(jìn)一步感悟建構(gòu)方程模型的方法：客觀闡述等價(jià)關(guān)系事實(shí)。

三、遴選結(jié)構(gòu)性素材，引導(dǎo)感悟模型結(jié)構(gòu)

所謂數(shù)學(xué)模型，乃是針對(duì)或參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量相依關(guān)系，采用形式化數(shù)學(xué)語(yǔ)言，概括地或近似地表述出來(lái)的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)[3]。既然數(shù)學(xué)模型是一種結(jié)構(gòu)，要在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中引導(dǎo)學(xué)生感悟模型思想，就需要教師有意識(shí)地遴選、編排一些結(jié)構(gòu)性素材提供給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生感悟到素材中內(nèi)隱的、本質(zhì)的“結(jié)構(gòu)”。這種感悟，是對(duì)模型思想的感悟;這種感悟，比記住一個(gè)定義更為重要。

方程教學(xué)中的天平是幫助學(xué)生感悟方程模型的直觀“拐杖”，當(dāng)學(xué)生通過(guò)觀察不同天平建構(gòu)出不同的等式，并突破了認(rèn)知障礙，積累了較為豐富的關(guān)于“等價(jià)關(guān)系”的表象后，這時(shí)需要去除“拐杖”，進(jìn)行更高層次的、形式化層面的“建?！?，也就是尋找現(xiàn)實(shí)情境或數(shù)學(xué)問(wèn)題中的“隱形天平”，建構(gòu)數(shù)量間的等價(jià)模型。

師：看來(lái)看著天平寫等式大家已經(jīng)掌握很熟練了。沒(méi)有了天平，你還能寫出等式嗎？

（師出示題組1）

男生有15人，女生有13人，一共有多少人？

男生有15人，女生有a人，一共有28人。

男生有b人，女生有13人，一共有28人。

（師引導(dǎo)學(xué)生審題、寫式，之后展示出三道等式：15+13=28、15+a=28、b+13=28）

師：仔細(xì)觀察這三道等式，它們之中就隱藏著一架隱形的天平。你能透過(guò)三道等式找到這架天平，想想天平的左邊是什么，右邊又是什么嗎？

生1：我覺(jué)得天平的左邊是總?cè)藬?shù)，右邊也是總?cè)藬?shù)，兩邊是相等的。

生2：我有點(diǎn)同意他的想法，因?yàn)槿赖仁阶筮叾际前涯猩藬?shù)加女生人數(shù)，就是總?cè)藬?shù)，右邊也是總?cè)藬?shù)，所以兩邊相等。

師：你們的意思就是天平的左邊可以表示為男生人數(shù)加女生人數(shù)，右邊表示的是總?cè)藬?shù)，中間用等于號(hào)連接。是這個(gè)意思嗎？（板書：男生人數(shù)+女生人數(shù)=總?cè)藬?shù)）

生齊答：是！

師：是的，這就是我們以前用過(guò)的數(shù)量間的相等關(guān)系。用等量關(guān)系式這架隱形的天平也可以寫出等式。

（師出示題組2）

平行四邊形的底是5米，高是4米，面積是多少平方米？

平行四邊形的底是x米，高是4米，面積是20平方米。

平行四邊形的底是5米，高是y米，面積是20平方米。

師：請(qǐng)你仔細(xì)讀一讀，根據(jù)題意寫出等式，寫好后再想一想，這里面隱形的天平是什么，左邊、右邊又各是什么？

（師展示學(xué)生三道等式，引導(dǎo)交流：5×4=20、4x=20、5y=20）

生1：這三道等式的左邊都是平行四邊形的底乘高，右邊是平行四邊形的面積，中間用等于號(hào)連接。（教師結(jié)合學(xué)生回答板書：底×高=平行四邊形面積）

生2：這里隱形的天平就是我們學(xué)過(guò)的平行四邊形面積計(jì)算公式。

師：看來(lái)我們學(xué)過(guò)的一些計(jì)算公式也是隱形的天平。

題組1設(shè)計(jì)了同樣三個(gè)量的實(shí)際問(wèn)題，第一題適合用四則運(yùn)算方式列式，第二、三兩題適合用方程方式列式。學(xué)生在前階段已經(jīng)積累了較為充分的“客觀描述、建構(gòu)等式”的經(jīng)驗(yàn)，輕松列出三道式子。之后教師著重引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)比，抓住三個(gè)不同式子間共同的本質(zhì)——數(shù)量間相等關(guān)系，并將這一抽象的模型想象為“天平”直觀，使學(xué)生在抽象與形象的對(duì)比中深刻感受到數(shù)量間的相等關(guān)系就相當(dāng)于天平，寫等式關(guān)鍵在于建構(gòu)出內(nèi)在的等價(jià)模型。如此實(shí)現(xiàn)了從直觀化建模到數(shù)學(xué)化建模的提升。之后教師再通過(guò)題組2的呈現(xiàn)，一方面進(jìn)行模型建構(gòu)的鞏固與應(yīng)用，另一方面也將題組1中的加法等價(jià)模型延伸到乘法等價(jià)模型，將數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域內(nèi)容延伸到圖形與幾何領(lǐng)域內(nèi)容，讓學(xué)生在模型建構(gòu)的過(guò)程中進(jìn)一步感受到無(wú)論是形象的天平或抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，還是加法或乘法，數(shù)的實(shí)際問(wèn)題或圖形的實(shí)際問(wèn)題，這些問(wèn)題中廣泛且內(nèi)隱地存在著數(shù)量間的等價(jià)模型，抓住它們的等價(jià)關(guān)系，可以用學(xué)過(guò)的等價(jià)模型描述出來(lái)，讓學(xué)生對(duì)方程模型的感悟提升高度，拓展維度。

在學(xué)生充分將形象天平、抽象數(shù)學(xué)問(wèn)題中的“等價(jià)關(guān)系”進(jìn)行符號(hào)化描述，充分感悟了一元一次方程構(gòu)建的本質(zhì)，這時(shí)教師再?gòu)慕虒W(xué)中積累的等式里取出方程，告訴學(xué)生這些就是我們這節(jié)課要學(xué)習(xí)的方程，引導(dǎo)學(xué)生觀察并想想什么是方程。學(xué)生順理成章理解到方程的兩個(gè)要素：含有未知數(shù)、等式，教師再揭示方程定義。這時(shí)學(xué)生學(xué)到的不僅是“含有未知數(shù)的等式是方程”這一定義，更重要的是感悟到方程中內(nèi)隱的模型思想，積累了建模的經(jīng)驗(yàn)。

建構(gòu)數(shù)學(xué)模型離不開(kāi)抽象，所以要在小學(xué)階段滲透模型思想，首先要符合學(xué)生的年齡特征，借助直觀給學(xué)生提供抽象的拐杖。在某一模型思想（如方程模型）滲透感悟的過(guò)程中，對(duì)學(xué)生而言可能存在著某些認(rèn)知障礙，這時(shí)就需要教師深入研究學(xué)生，精準(zhǔn)把握學(xué)生在建構(gòu)數(shù)學(xué)模型中可能存在的障礙，通過(guò)引發(fā)沖突、平衡沖突幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)障礙的跨越。而因數(shù)學(xué)模型本身的“結(jié)構(gòu)性”特征，加之建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的抽象與形成數(shù)學(xué)概念的抽象又有所差異，所以建構(gòu)數(shù)學(xué)模型、感悟模型思想過(guò)程中，教師既需要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從借助形象進(jìn)行建模到抽象建模的過(guò)程，又要有針對(duì)性地遴選、整合、呈現(xiàn)隱含某一模型思想的結(jié)構(gòu)性素材，幫助學(xué)生在結(jié)構(gòu)性素材問(wèn)題的解決、對(duì)比中感悟模型本質(zhì)及其存在的普遍性，感受數(shù)學(xué)語(yǔ)言的價(jià)值，深化對(duì)模型思想的感悟。

參考文獻(xiàn)：

[1]史寧中.數(shù)學(xué)基本思想18講[M].北京：北京師范大學(xué)出版社， 2016：216.

[2]史寧中，孔凡哲.方程思想及其課程教學(xué)設(shè)計(jì)——數(shù)學(xué)教育熱點(diǎn)問(wèn)題系列訪談錄之一[J].課程·教材·教法， 2004（9）：28.

[3]徐利治.數(shù)學(xué)方法論選講[M].武漢：華中工學(xué)院出版社， 1983：15.

責(zé)任編輯：石萍

Abstract： Model thinking is one of the important mathematics ideas. Because of the limitation of childrens mathematics thinking features， it is difficult for them to experience the modeling activities rigorously and completely. Yet， teachers may focus on the design activity on the knowledge essence in teaching and guide students to perceive the model thinking in activities， which can help students to form and sustainably develop their rational spirit. The core of the equation lies in its internal equivalence model， which can be taught by effective intuition and the walking stick of modeling so that it can trigger cognitive conflicts and overcome the modeling barriers. Meanwhile， teachers should select structural materials and guide students to perceive the model structure， helping them understand the modeling idea and improve their mathematics accomplishments.

Key words： model thinking; equivalence; intuitiveness; structural material; primary school mathematics teaching