含參的三角函數(shù)在定區(qū)間內(nèi)的圖像與性質(zhì)

李云錦

[摘? 要] 自2016年全國(guó)新課標(biāo)理科Ⅰ卷第十二題的出現(xiàn)以來(lái)，各地開始相繼出現(xiàn)含參的三角函數(shù)在定區(qū)間內(nèi)的圖像與性質(zhì)問題的模擬題. 通過研究，我們可以發(fā)現(xiàn)此類問題的本質(zhì)就是對(duì)三角函數(shù)的概念及三角函數(shù)四種表征（單調(diào)性、奇偶性、最值性、周期性）的理解與轉(zhuǎn)化. 掌握此類問題，我們可以通過三角函數(shù)的上述四種性質(zhì)有機(jī)地結(jié)合在一起，從而對(duì)整個(gè)三角函數(shù)有個(gè)全面的認(rèn)識(shí).

[關(guān)鍵詞] 含參的三角函數(shù);定區(qū)間;圖像與性質(zhì)

[?]學(xué)情分析

1. 學(xué)生的困惑之處

已知三角函數(shù)確定的解析式來(lái)研究三角函數(shù)的性質(zhì)是學(xué)生很熟悉的問題，而“含參的三角函數(shù)在定區(qū)間內(nèi)的圖像與性質(zhì)”這類問題是通過給出三角函數(shù)的性質(zhì)來(lái)確定參數(shù)的取值范圍或最值，兩種問題相當(dāng)于逆向思維. 前者是常規(guī)問題，學(xué)生能輕而易舉地解決，后者對(duì)學(xué)生的邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力、直觀想象能力要求相當(dāng)高，而我們的學(xué)生這些能力較弱，導(dǎo)致此類問題很難解決.學(xué)生對(duì)三角函數(shù)各個(gè)性質(zhì)單獨(dú)研究比較容易，但是要把幾種性質(zhì)融合在一起看，這對(duì)學(xué)生能力要求是非常高的，導(dǎo)致此類問題很難突破.

2. 教學(xué)目標(biāo)

邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力、直觀想象能力是數(shù)學(xué)的三大核心素養(yǎng)，通過對(duì)此類問題的研究，意在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 此類問題將三角函數(shù)的各個(gè)性質(zhì)融合在一起，對(duì)此類問題的研究與解決，有助于學(xué)生站在更高的角度理解三角函數(shù).

3. 解題方法解讀及方法的可適性

①方法一是通過圖像的平移變換作出h（x）的圖像;方法二是“一點(diǎn)”（“五點(diǎn)法”作圖中的第一點(diǎn)）作圖，畫出h（x）一個(gè)周期的圖像. 這兩種方法都是利用數(shù)形結(jié)合的思想將三角函數(shù)的幾何形態(tài)用圖像表示出來(lái)，學(xué)生可以借助圖像有較好的直觀性. ②方法二的作圖方法是方法一的改進(jìn)，使得作圖更加簡(jiǎn)便. ③方法三是利用整體思想直接求出三角函數(shù)的對(duì)稱軸、零點(diǎn). 一般情況下，對(duì)稱軸和零點(diǎn)都含有參數(shù). 再結(jié)合題目要求去求解參數(shù)的取值范圍或最值. ④方法四是利用換元法把含參的解析式轉(zhuǎn)化為熟悉的f（t）=sint，使得參數(shù)的位置從解析式轉(zhuǎn)化到自變量t所給的區(qū)間，簡(jiǎn)化了試題的難度.

[?]問題辨析

例題：（2017年漳州市市質(zhì)檢理科第11題）已知函數(shù)f（x）=sin2ωx-2cos2ωx+1（ω>0）在定區(qū)間（π，2π）內(nèi)沒有極值點(diǎn)，則ω的取值范圍為（? ）

方法三：不作圖，直接求h（x）的對(duì)稱軸，（π，2π）在其相鄰對(duì)稱軸所在的區(qū)間.

方法四：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.

[?]教學(xué)啟示

例題1展示了解決含參的三角函數(shù)在定區(qū)間內(nèi)的圖像與性質(zhì)的通法，且利用了多種方法解決了此類問題，很好地啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度、不同的思路靈活地掌握知識(shí)的縱橫聯(lián)系，培養(yǎng)和發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)造性. 不僅充分調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性，提高他們綜合運(yùn)用已學(xué)知識(shí)解答數(shù)學(xué)問題的技能技巧，而且也鍛煉了學(xué)生思維的靈活性，這正是“智慧課堂”所倡導(dǎo)的. 如果教師能讓學(xué)生會(huì)一題和通一類問題，那么學(xué)生在解決某一重難點(diǎn)問題時(shí)就會(huì)信心倍增.