基于二階造波理論的聚焦波實(shí)驗(yàn)室模擬

張可心，柳淑學(xué)，李金宣，張昊宸

(大連理工大學(xué) 海岸和近海工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，大連 116024)

幾個(gè)世紀(jì)以來(lái)，有許多關(guān)于造成海上船舶故障的神秘涌水和毀壞沿海結(jié)構(gòu)物的猛烈海浪的報(bào)道，因此，設(shè)計(jì)中也應(yīng)考慮到這些極端事件。海洋衛(wèi)星圖像的最新進(jìn)展以及基于船舶和海上結(jié)構(gòu)物數(shù)據(jù)的多次災(zāi)害實(shí)踐表明，確實(shí)存在偶發(fā)極其陡峭的波浪，然后從海上消失的現(xiàn)象[1]。這些極端波浪運(yùn)動(dòng)學(xué)的產(chǎn)生和研究十分復(fù)雜，并且涉及波浪非線性。實(shí)驗(yàn)室中模擬極端波浪的一種方法是基于Longuet-Higgins[2]首次提出的非線性波之間相互作用的理論。該方法通過(guò)生成指定頻率范圍的各組成波分量(主要分量)并調(diào)整它們的相位，使得在某個(gè)時(shí)刻各個(gè)波分量聚焦在特定位置處。

眾所周知，線性造波將產(chǎn)生不期望的自由偽諧波，因此，需要采用二階造波來(lái)抑制這些自由偽諧波，以便產(chǎn)生符合高階精確解[3]的聚焦波。而對(duì)于二階造波理論，早在1847年Stokes就使用波陡作為小參數(shù)的攝動(dòng)級(jí)數(shù)給出了規(guī)則波的結(jié)果。對(duì)于規(guī)則波，二階波只出現(xiàn)和頻項(xiàng)(因?yàn)椴铑l消失)，Stokes由此發(fā)現(xiàn)了超諧波；對(duì)于不規(guī)則波，和頻和差頻都出現(xiàn)在二階項(xiàng)中。Longuet-Higgins和Stewart[4-5]得到了次諧波的結(jié)果，其中相互作用的波分量?jī)H限于略微不同的頻率(窄帶限制)。Sand[6]計(jì)算了抑制偽長(zhǎng)波產(chǎn)生所需的推板造波機(jī)的二階次諧波控制信號(hào)。Barthel等[7]給出了該理論的更詳細(xì)描述，且將該理論擴(kuò)展到包括旋轉(zhuǎn)中心限制在底部或底部附近點(diǎn)的搖板式造波板運(yùn)動(dòng)。Sand和Donslund[8]給出了搖板式造波板模擬超諧波的造波理論。Sch?ffer[9]基于以上理論擴(kuò)展推導(dǎo)出了目前較完整而有效的二階造波理論。

現(xiàn)有研究大多采用線性造波方法在數(shù)值水槽或?qū)嶒?yàn)室物理水槽內(nèi)產(chǎn)生聚焦波。例如，武昕竹[10]基于線性造波理論，建立了二維聚焦波浪數(shù)值模擬水槽；柳淑學(xué)和洪起庸[11]基于線性造波理論，建立了三維聚焦波浪的實(shí)驗(yàn)室模擬方法，并對(duì)于生成極限波浪的特性進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究；Li等[12]基于線性造波理論，利用數(shù)值方法研究了二維聚焦波浪的特性。然而Longuet-Higgins和Stewart[13]指出，主要成分(給定的波頻成分)的非線性相互作用將產(chǎn)生超諧波和次諧波分量。超諧波項(xiàng)基本上是改變波群局部特征(波峰銳化和波面展寬)的高頻分量，而低頻分量(次諧波)則對(duì)應(yīng)于全局相互作用(時(shí)均水位的變化)。因此，為了產(chǎn)生波包或波群，在實(shí)驗(yàn)室水槽中必須正確地再現(xiàn)超諧波和次諧波。本文基于Sch?ffer[9]所提出的二階造波理論，建立了實(shí)驗(yàn)室中聚焦波浪的造波軟件，并進(jìn)行了二階聚焦波浪的數(shù)值和物理模擬，以說(shuō)明基于二階造波理論產(chǎn)生聚焦波浪的必要性。

1 基于二階造波理論聚焦波模擬方法

1.1 二階造波理論簡(jiǎn)介[9]

在經(jīng)典波浪理論中，假設(shè)流體為無(wú)旋、無(wú)粘性、均勻且不可壓縮的理想流體，其速度勢(shì)滿足Laplace方程、底部邊界條件、自由表面運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)條件以及造波板邊界條件等。其中造波板的位置函數(shù)X=X(z,t)表示為

X(z,t)=f(z)X0(t)

(1)

式中：X0(t)為造波機(jī)靜水面處的位移；f(z)為造波機(jī)形狀函數(shù)。

對(duì)控制方程進(jìn)行求解，則構(gòu)成一階波分量譜的每個(gè)波浪分量的一階造波板位移可由下式給出

(2)

式中：上角標(biāo)(1)代表一階成分，c.c.為前項(xiàng)的共軛復(fù)數(shù)；ω為圓頻率；Xa是在靜水位處的恒定的一階造波板復(fù)振幅，它與波浪復(fù)振幅關(guān)系如下

A=c0Xa

(3)

這里的c0為一階傳遞函數(shù)，A為波浪復(fù)振幅。

二階波分量的基礎(chǔ)是由兩個(gè)不同頻率波的相互作用構(gòu)成，相互作用項(xiàng)以超諧波(和頻)和次諧波(差頻)形式出現(xiàn)。二階造波板位移為

(4)

F±表示二階傳遞函數(shù)，表達(dá)式為

(5)

1.2 聚焦波產(chǎn)生方法(相速度法)[14]

對(duì)于二維波浪，任一點(diǎn)處一階波浪自由表面可以表示為不同頻率和不同幅值的規(guī)則波線性疊加后的結(jié)果，即

(6)

式中：aj為第j個(gè)組成波的幅值，kj為其波數(shù)，ωj為其角頻率，φj為其初相位，N為組成波的個(gè)數(shù)。kj和ωj滿足波浪的色散方程。

若假定波浪在指定時(shí)刻t=tb聚焦于x=xb位置處，即各組成波在x=xb處疊加，那么，需滿足

cos(kjxb-ωjtb-φj)=1

(7)

則各組成波的初相位應(yīng)滿足下式

φj=kjxb-ωjtb

(8)

此時(shí)，一階波浪的波面表達(dá)式為

(9)

采用二階造波理論，則對(duì)應(yīng)于公式(3)中的復(fù)振幅Aj可表示為

Aj=ajeiφj

(10)

2 實(shí)驗(yàn)布置及實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

2.1 物理模型實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

圖1 實(shí)驗(yàn)布置圖Fig.1 Experimental setup

物理模型實(shí)驗(yàn)在大連理工大學(xué)海岸和近海工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室大波流水槽中進(jìn)行，該水槽長(zhǎng)69 m，寬2 m，深1.8 m。水槽一端配有推板式造波機(jī)，另一端設(shè)置了斜坡式消浪裝置。

實(shí)驗(yàn)水深為1.2 m，為研究傳播過(guò)程中波形和能量的變化，沿程布置一系列浪高儀。浪高儀距造波板的距離依次為5 m、13 m、26 m。實(shí)驗(yàn)擬定波浪在x=18.1 m處聚焦，為了精確地尋找波浪的聚焦位置，在x=18.1 m前后每間隔10 cm各布置了兩個(gè)浪高儀。實(shí)驗(yàn)布置圖如圖1所示。

表1 聚焦波參數(shù)Tab.1 Focusing wave parameters

聚焦波浪參數(shù)見表1，這里的kcA為表征聚焦波非線性大小的參數(shù)，其中kc為中心頻率相對(duì)應(yīng)的波數(shù)，A為聚焦波幅值。聚焦波浪的頻譜采用等波幅。

作為示例，圖2給出了組次fc1時(shí)，各階成分對(duì)應(yīng)的造波板位移時(shí)間序列對(duì)比，從圖中可以看出，波浪的和頻成分占了很小的量級(jí)，二階差頻成分是造成造波板總位移不同于一階造波板位移的主要原因。而且二階差頻成分類似于孤立波造波板的相反位移，這是由于可以抑制自由偽長(zhǎng)波(基本上只有波峰)的波浪成分可以看做是倒置的孤立波[15]。因此，為了抑制聚焦波中的自由偽長(zhǎng)波，隨著有限水深中波陡的增加，波浪非線性增強(qiáng)，造波板需要更大的沖程，這是二階造波理論在實(shí)驗(yàn)室應(yīng)用中的一個(gè)限制。

圖2 組次fc1造波板位移時(shí)間序列Fig.2 The history of the wavemaker paddle displacement for case fc1圖3 組次fc1線性理論波面和二階造波理論計(jì)算波面對(duì)比Fig.3 Comparison of the linear wave elevation and second order wave elevation for case fc1

圖3給出了波浪聚焦點(diǎn)處線性疊加理論波面、二階造波理論計(jì)算波面、二階和頻成分和二階差頻成分的對(duì)比。波浪差頻和和頻成分的量級(jí)相對(duì)較小，且在波峰處二階和頻成分會(huì)相應(yīng)產(chǎn)生一個(gè)小的波峰，而二階差頻成分為一個(gè)周期較長(zhǎng)幅值很小的波谷，其幅值為-4.65×10-3m。與線性疊加理論波面相比，受二階非線性項(xiàng)的作用，二階造波理論計(jì)算的波面在聚焦時(shí)峰值稍大，波陡稍大。

圖4給出了造波機(jī)產(chǎn)生不同組次聚焦波浪時(shí)，距離造波板5 m處浪高儀實(shí)測(cè)的一階和二階造波方法生成的波列和理論計(jì)算波列的無(wú)因次頻譜比較圖。從圖中可以看出，在低頻部分，如預(yù)期的那樣，一階造波不能正確地再現(xiàn)次諧波部分，而二階造波理論的能量略大于一階結(jié)果，更加接近于理論結(jié)果；主頻部分三者結(jié)果基本一致；而超出波浪相互作用諧波頻率范圍高頻部分一階和二階結(jié)果都高于理論結(jié)果，但是這部分的波浪能量很小。

作為示例，圖5給出了組次fc2，水槽內(nèi)波浪聚焦前后沿程位置的頻譜比較圖。可以看出，距離造波板比較近的位置，一、二階造波的能量在低頻部分差別明顯。而隨著波浪的聚焦，非線性特征越明顯，一階造波和二階造波產(chǎn)生的波浪的能量分布發(fā)生了較大的變化，低頻部分的一、二階的能量會(huì)增大。尤其是在x=26 m處，一、二階造波產(chǎn)生的波浪能量大致相同并且與理論計(jì)算值趨于一致，這導(dǎo)致了低頻部分的區(qū)別不明顯。這種頻譜變化主要?dú)w因于伴隨粘性阻尼的非線性能量傳遞以及由側(cè)壁上的接觸引起的運(yùn)動(dòng)和耗散[16]。

圖4 產(chǎn)生不同組次聚焦波浪時(shí),距離造波板5 m處一階造波和二階造波產(chǎn)生的波浪分析所得頻譜與理論計(jì)算譜的比較Fig.4 Comparison of analyzed wave spectra for waves generated at x=5 m by the first and second order wave generation theories and theoretical spectrum

6-a 低通濾波結(jié)果6-b 放大10倍后與波面比較圖6 組次fc1不同位置處一階和二階造波產(chǎn)生的波浪低通濾波結(jié)果的比較以及與理論波面的對(duì)比Fig.6 Comparison of low-pass wave surfaces of the generated waves by the first and second order wave generation theories for case fc1, and the corresponding theoretical wave surface

為了進(jìn)一步分析二階造波產(chǎn)生聚焦波浪的特征，截?cái)囝l率取0.3 Hz，圖6給出了組次fc1，一階造波和二階造波產(chǎn)生的不同位置處的波浪低通濾波后的結(jié)果對(duì)比(圖6-a)。同時(shí)，為了更好地觀察低頻波浪特征與實(shí)測(cè)波浪波面的關(guān)系，圖6同時(shí)將左圖濾波結(jié)果放大10倍后與實(shí)測(cè)波面進(jìn)行了對(duì)比(圖6-b)。從圖6-a中可以看出，在x=5 m處，一階造波產(chǎn)生的波浪濾波結(jié)果顯示出了幅值近似的波峰和波谷，而二階造波產(chǎn)生的波浪濾波結(jié)果可以認(rèn)為僅顯示出波谷(理論上，二階校正量理論僅顯示波谷，但由于物理實(shí)驗(yàn)中本身存在的誤差以及其他因素影響，導(dǎo)致無(wú)法達(dá)到理論預(yù)計(jì)結(jié)果)?？梢哉f(shuō)，在一階造波的情況下，約束長(zhǎng)波(波谷)和自由偽長(zhǎng)波(波峰)傾向于在靠近造波機(jī)處相互抵消[15]，這與Sch?ffer[9]所得結(jié)論是一致的。在波浪聚焦位置，即x=18.1 m處，通過(guò)對(duì)一階、二階和理論計(jì)算波面的濾波結(jié)果的比較可以發(fā)現(xiàn)，二階造波所得結(jié)果更接近于理論結(jié)果。而在其余位置，相對(duì)于二階的濾波結(jié)果，一階結(jié)果的長(zhǎng)波顯示出波峰稍大和波谷略小。同時(shí)，從圖6-b可以看出，在x=5 m處，一階造波產(chǎn)生的波面濾波結(jié)果中的波峰(自由偽長(zhǎng)波)比主波傳播的略早；并且隨著波浪的聚焦，長(zhǎng)波傳播得越快，自由偽長(zhǎng)波逐漸與主波分離，在x=26 m處，自由偽長(zhǎng)波分量完全出現(xiàn)在主波之前。正是由于這些長(zhǎng)波分量的不正確和非線性振幅色散，導(dǎo)致一階造波時(shí)聚焦波的峰值(8.56×10-2m)比二階造波時(shí)聚焦波的峰值(8.43×10-2m)略大，二者相差1.52%。

2.2 數(shù)值模型實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

為了進(jìn)一步分析二階造波理論在聚焦波浪模擬時(shí)的必要性，將上述造波軟件應(yīng)用于數(shù)值水槽中進(jìn)行聚焦波浪的數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)。數(shù)值水槽基于Fluent軟件，采用動(dòng)網(wǎng)格來(lái)模擬造波機(jī)的推板造波運(yùn)動(dòng)。水槽總長(zhǎng)35 m，前20 m為有效區(qū)域，后15 m為消波區(qū)。水槽高度為1.4 m，水深1 m。數(shù)值計(jì)算時(shí)，網(wǎng)格數(shù)為61 000，在水面附近加密網(wǎng)格。聚焦波浪數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)波浪參數(shù)見表2。在距離前邊界3 m、7 m、10.5 m(組次sfc1聚焦位置)、11 m(組次sfc2聚焦位置)、和13 m處輸出數(shù)據(jù)記錄波面?；诖藬?shù)值水槽，對(duì)二維聚焦波一階造波和二階造波的波面過(guò)程進(jìn)行了模擬。數(shù)值計(jì)算時(shí)，譜形采用等波陡，具體的聚焦波參數(shù)如表2。

圖7 沿程各測(cè)點(diǎn)處一階造波和二階造波產(chǎn)生的波浪分析所得頻譜與理論計(jì)算的譜比較圖Fig.7 Comparison of analyzed wave spectra for generated waves along the numerical flume by the first and second order wave generation theories and theoretical spectrum

表2 聚焦波浪數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)參數(shù)Tab.2 Focusing wave parameters for numerical simulation

作為示例，圖7給出了兩組實(shí)驗(yàn)的沿程頻譜的變化，與物模實(shí)驗(yàn)結(jié)果類似，高頻部分一階和二階結(jié)果都大于理論二階解的結(jié)果。而低頻部分，二階造波理論產(chǎn)生的結(jié)果更加接近于理論結(jié)果，而且二階的能量略大于一階的值。但在主頻部分的較高頻率處，一、二階的結(jié)果略小于理論計(jì)算值，這是由于數(shù)模本身數(shù)值耗散引起的。其次，沿程來(lái)看，隨著波浪的聚焦，波浪非線性增加，低頻部分的區(qū)別相比于物模的結(jié)果來(lái)說(shuō)依舊明顯，這可能是由于數(shù)模和物模水槽后邊界吸收反射的效果不同，對(duì)于約束長(zhǎng)波和非約束長(zhǎng)波的反射影響不同。

8-a 低通濾波結(jié)果8-b 放大3倍后與波面比較圖8 組次sfc1,不同位置處一階和二階造波產(chǎn)生的波浪低通濾波結(jié)果的比較以及與理論波面的對(duì)比Fig.8 Comparison of low-pass wave surfaces of the generated waves by the first and second order wave generation theories for case sfc1, and the corresponding theoretical wave surface

圖8為組次sfc1一階造波和二階造波產(chǎn)生的波浪在低通濾波后(截?cái)囝l率取0.3 Hz)的結(jié)果對(duì)比(圖8-a)以及相應(yīng)的濾波結(jié)果放大3倍后與實(shí)測(cè)波面的比較(圖8-b)。同物模實(shí)驗(yàn)結(jié)論基本一致，即一階造波波峰稍大、波谷略小，聚焦時(shí)一階造波的峰值(1.72×10-1m)比二階造波的峰值(1.68×10-1m)要稍大，二者相差2.38%。所以，同物模相比數(shù)模結(jié)果區(qū)別更加明顯，自由偽長(zhǎng)波帶來(lái)的影響更加突出。

3 結(jié)論

本文基于二階造波理論建立了模擬聚焦波浪的造波軟件，并應(yīng)用于相應(yīng)的物理水槽和數(shù)值水槽?；谖锢硭酆蛿?shù)值水槽波浪實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了二階造波理論的有效性，說(shuō)明了采用二階造波理論的必要性。

從波列頻譜的沿程變化和不同位置的次諧波序列兩方面比較了一階造波和二階造波方法的區(qū)別。通過(guò)對(duì)物理模型實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模型實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析來(lái)看，二階造波最明顯的特征是通過(guò)增加造波板的沖程來(lái)抑制自由偽長(zhǎng)波的生成，使產(chǎn)生波浪的約束長(zhǎng)波能量更加接近二階造波的理論解。

另外，需要說(shuō)明的是，由于二階造波需求的造波板沖程較大，在使用的時(shí)候需要注意。