非均勻剛度彈性邊界結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證①

杜凱繁，郝 鵬，董曼紅，王 博

(1. 大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 工程力學(xué)系，大連 116023；2. 北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076)

0 引言

運(yùn)載火箭地面實(shí)驗(yàn)加載系統(tǒng)通常采用均勻剛度的彈性邊界將軸壓彎矩等載荷加載至主承力筒殼結(jié)構(gòu)中。然而，主承力筒殼結(jié)構(gòu)在真實(shí)服役狀態(tài)下載荷邊界通常是剛度非均勻的。同一載荷作用下，非均勻剛度彈性邊界使得主承力筒殼結(jié)構(gòu)受到非均勻載荷作用，局部載荷較大，而傳統(tǒng)的均勻剛度彈性邊界使得主承力筒殼結(jié)構(gòu)受到均勻載荷作用，局部載荷較小。因此，傳統(tǒng)的均勻剛度彈性邊界過(guò)低地估計(jì)了實(shí)驗(yàn)載荷，需要提出一種非均勻剛度彈性邊界的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。

面向運(yùn)載火箭主承力筒殼結(jié)構(gòu)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者開(kāi)展大量關(guān)于筒殼軸壓實(shí)驗(yàn)研究[1-6]。王博等[7-8]面向運(yùn)載火箭主承力筒殼結(jié)構(gòu)開(kāi)展軸壓屈曲實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的可靠性和數(shù)值預(yù)測(cè)方法的準(zhǔn)確性。Bisagni[9]針對(duì)筒殼結(jié)構(gòu)軸壓失穩(wěn)實(shí)驗(yàn)開(kāi)展加載方式研究，定量地分析了靜態(tài)加載與動(dòng)態(tài)加載對(duì)軸壓筒殼結(jié)構(gòu)的影響程度，該研究對(duì)數(shù)值仿真具有指導(dǎo)意義。王棟[10]通過(guò)研究彈性邊界試驗(yàn)方法，即對(duì)待測(cè)結(jié)構(gòu)施加彈性支撐，在分別獲得整體與支撐結(jié)構(gòu)頻響后，通過(guò)頻域子結(jié)構(gòu)解耦方法，去除支撐結(jié)構(gòu)對(duì)待測(cè)結(jié)構(gòu)的影響，以得到待測(cè)結(jié)構(gòu)自由狀態(tài)頻響，進(jìn)而解決自由懸吊方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)自由狀態(tài)頻響測(cè)試難以滿足要求的難題。

對(duì)于航天領(lǐng)域主承力筒殼結(jié)構(gòu)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者開(kāi)展大量?jī)?yōu)化設(shè)計(jì)工作[11-20]。郝鵬等[21]針對(duì)箭體中典型的網(wǎng)格加筋柱殼結(jié)構(gòu)，提出自適應(yīng)代理模型優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，顯著提升優(yōu)化設(shè)計(jì)效率。王博和郝鵬等[22]提出了針對(duì)多級(jí)加筋殼的自適應(yīng)等效策略分層次優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。該方法的基本思想是將復(fù)雜的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題分解成多個(gè)簡(jiǎn)單的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，從而有效降低結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)維度，根本上保證了筒殼結(jié)構(gòu)性能分析的準(zhǔn)確性和優(yōu)化算法的穩(wěn)定性。針對(duì)非均勻軸壓載荷，郝鵬等[23]提出網(wǎng)格加筋結(jié)構(gòu)的布局優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，實(shí)現(xiàn)了筒殼結(jié)構(gòu)的同步失效，大幅提高筒殼結(jié)構(gòu)承載效率。

為解決非均勻剛度彈性邊界的設(shè)計(jì)問(wèn)題，本文開(kāi)展如下工作：(1)剛度等效指標(biāo)選取研究，通過(guò)對(duì)比真實(shí)彈性邊界與均勻剛度彈性邊界情況下主承力筒殼結(jié)構(gòu)的邊界響應(yīng)，獲得剛度等效指標(biāo)；(2)考慮剛度等效指標(biāo)的非均勻剛度彈性邊界優(yōu)化設(shè)計(jì)，以剛度等效指標(biāo)為設(shè)計(jì)目標(biāo)，均勻剛度彈性邊界桁條分布角度為設(shè)計(jì)變量，獲得非均勻剛度彈性邊界結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)；(3)非均勻剛度彈性邊界結(jié)構(gòu)原理性實(shí)驗(yàn)，通過(guò)對(duì)比真實(shí)彈性邊界與均勻剛度彈性邊界情況下主承力筒殼結(jié)構(gòu)的邊界響應(yīng)，驗(yàn)證該優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的有效性。

1 剛度等效指標(biāo)選取

為了使得真實(shí)彈性邊界的剛度與非均勻剛度彈性邊界的剛度一致，需要等效剛度指標(biāo)來(lái)定量化描述兩者的剛度分布。因此，以主承力筒殼結(jié)構(gòu)邊緣處的位移響應(yīng)來(lái)描述兩種邊界的剛度分布情況。

為獲得等效剛度指標(biāo)，對(duì)比分析真實(shí)彈性邊界與均勻剛度彈性邊界的剛度分布情況，算例設(shè)置如表1所示。算例筒殼結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)：直徑D=500 mm，高度H=510 mm。材料屬性：鋁合金2024，T62狀態(tài)，彈性模量E=72 GPa，泊松比0.31，屈服強(qiáng)度363 MPa，強(qiáng)度極限463 MPa，密度2.8×10-9t/mm3，延伸率0.12。單元采用ABAQUS提供的S4單元(4節(jié)點(diǎn)全積分殼單元)。模型節(jié)點(diǎn)數(shù)為9120，單元數(shù)為8968；真實(shí)邊界部段節(jié)點(diǎn)數(shù)為9552，單元數(shù)為9284。軸壓工況載荷F=5.0 kN，彎曲工況載荷M=6250.0 kN·mm，組合工況載荷F=5.0 kN。有限元分析之后，提取主承力筒殼結(jié)構(gòu)距離50 mm上邊緣處的節(jié)點(diǎn)位移作為主承力筒殼結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)。如圖1所示。

表1 彈性邊界設(shè)計(jì)算例

圖1 主承力筒殼結(jié)構(gòu)邊緣處的位移響應(yīng)

通過(guò)數(shù)值算例分析，得到主承力筒殼結(jié)構(gòu)邊緣處的位移響應(yīng)如圖2所示。對(duì)于軸壓工況，均勻剛度彈性邊界對(duì)應(yīng)的軸向位移為一條直線，剛度分布均勻，而真實(shí)彈性邊界的軸向位移近似為正弦曲線，剛度分布非均勻，故選擇軸向位移為剛度等效指標(biāo)，如圖2(a)所示。對(duì)于彎曲剛度工況，均勻剛度彈性邊界的徑向位移呈近似正弦曲線，而真實(shí)彈性邊界的徑向位移較均勻剛度彈性邊界有顯著的波動(dòng)，故選擇徑向位移為剛度等效指標(biāo)，如圖2(b)所示。對(duì)于組合載荷工況(軸壓+彎曲)，均勻剛度彈性邊界與真實(shí)彈性邊界的軸向位移和徑向位移均有顯著的不同，故選擇軸向位移和徑向位移為剛度等效指標(biāo)，如圖2(c)、(d)所示。

綜上所述，軸壓工況剛度的等效指標(biāo)為軸向位移；彎曲工況的剛度等效指標(biāo)為徑向位移；組合工況的剛度等效指標(biāo)為軸向位移、徑向位移。

(a)軸壓工況軸向位移 (b)彎曲工況徑向位移

(c)組合工況徑向位移 (d)組合工況軸向位移

2 非均勻剛度彈性邊界優(yōu)化設(shè)計(jì)

基于以上等效剛度指標(biāo)，建立了非均勻剛度彈性邊界結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)列式。以均勻剛度邊界的縱向桁條的分布角度為設(shè)計(jì)變量，以等效剛度指標(biāo)的均方差最小為設(shè)計(jì)目標(biāo)，開(kāi)展優(yōu)化設(shè)計(jì)。當(dāng)設(shè)計(jì)目標(biāo)值趨近于零時(shí)，認(rèn)為非均勻剛度彈性邊界與真實(shí)的結(jié)構(gòu)邊界相一致。此外，根據(jù)所得到的等效指標(biāo)，建立了不同設(shè)計(jì)目標(biāo)。優(yōu)化列式如下：

(1)

式中αi為桁條分布角度；σi為各節(jié)點(diǎn)的剛度等效指標(biāo)的均方差；σ為各節(jié)點(diǎn)的剛度等效指標(biāo)的均方差之和；N為節(jié)點(diǎn)數(shù)目；n為桁條數(shù)目。

為了減少設(shè)計(jì)變量，提高優(yōu)化效率，引入式(2)來(lái)描述桁條分布角度函數(shù)。

(2)

式中L為桁條分布角度之和；nj為桁條數(shù)目；λi為分布指數(shù)。

因此，設(shè)計(jì)變量轉(zhuǎn)化λi和nj。為考慮到結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，L=45°。當(dāng)λi=1的時(shí)候，桁條均勻分布；當(dāng)λi≠1的時(shí)候，桁條呈指數(shù)分布，在[0，L]的區(qū)間由稀疏到密集。

表2給出了優(yōu)化設(shè)計(jì)空間及最優(yōu)設(shè)計(jì)。圖3給出了均勻剛度邊界及設(shè)計(jì)變量分布。

(a)均勻剛度邊界 (b)設(shè)計(jì)變量分布

軸壓工況、彎曲工況和組合工況下，優(yōu)化設(shè)計(jì)目標(biāo)(軸向位移的均方差)最優(yōu)解分別為0.000 6、0.038 4、0.078 9，說(shuō)明該優(yōu)化設(shè)計(jì)目標(biāo)與真實(shí)彈性邊界吻合較好。此外，軸壓工況、彎曲工況和組合工況下，優(yōu)化設(shè)計(jì)的剛度等效指標(biāo)的曲線與真實(shí)彈性邊界的曲線吻合較好(如圖4～圖6)，說(shuō)明了提出的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法及剛度等效指標(biāo)的有效性。

表2 優(yōu)化設(shè)計(jì)空間及最優(yōu)解

(a)軸壓工況迭代曲線 (b)軸壓工況軸壓位移曲線對(duì)比

(a)彎曲工況迭代曲線 (b)彎曲工況徑向位移曲線對(duì)比

3 非均勻剛度彈性邊界原理性實(shí)驗(yàn)

為進(jìn)一步驗(yàn)證非均勻剛度彈性邊界結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的有效性，開(kāi)展非均勻剛度彈性邊界優(yōu)化設(shè)計(jì)原理性實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)思路：通過(guò)對(duì)比真實(shí)邊界結(jié)構(gòu)與優(yōu)化設(shè)計(jì)得到非均勻剛度彈性邊界結(jié)構(gòu)的應(yīng)力水平，驗(yàn)證該設(shè)計(jì)方法的可行性。

等效剛度邊界設(shè)計(jì)方法原理性實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)試件如圖7所示。實(shí)驗(yàn)方案由試件，工裝和加載器組成。等效剛度邊界設(shè)計(jì)方法原理性實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)方案圖8所示。實(shí)驗(yàn)試件及工裝等均采用鋼Q235，這是為了便于結(jié)構(gòu)加工制造?？紤]到軸壓載荷便于實(shí)驗(yàn)加載，因此僅驗(yàn)證軸壓載荷工況下等效剛度邊界工裝的傳力路徑。原理性實(shí)驗(yàn)中的軸壓載荷為50 kN。

試件A為主承力筒殼結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)參數(shù)為H=510 mm，R=250 mm，t2=1.0 mm，h1=20 mm，b1=40 mm，t1=3 mm；試件B為真實(shí)彈性邊界結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)參數(shù)為H=510 mm，R=250 mm，t2=2.0 mm，h1=20 mm，b1=40 mm，t1=3 mm，開(kāi)孔尺寸為250 mm×150 mm；試件C為傳統(tǒng)的均勻剛度彈性邊界結(jié)構(gòu)，試件D為優(yōu)化設(shè)計(jì)的非均勻剛度彈性邊界結(jié)構(gòu)，參數(shù)見(jiàn)表2軸壓工況算例初值和優(yōu)化值。

(a)組合工況軸向位移曲線對(duì)比 (b)組合工況徑向位移曲線對(duì)比

(c)組合工況迭代曲線 (d)軸向位移及徑向位移分布

圖7 試件結(jié)構(gòu)參數(shù)

圖9給出了數(shù)值預(yù)測(cè)及實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，均勻剛度彈性邊界(實(shí)驗(yàn)1)觀測(cè)的應(yīng)力分布較均勻(如Test-1-Single)，而真實(shí)彈性邊界(實(shí)驗(yàn)2)和優(yōu)化設(shè)計(jì)彈性邊界(實(shí)驗(yàn)3)的應(yīng)力分布相同(如Test-2-Combined和Test-3-Opt)。實(shí)驗(yàn)1和實(shí)驗(yàn)2的應(yīng)力分布不相同說(shuō)明均勻工裝和真實(shí)邊界工裝的傳力效果不同，應(yīng)變的平均誤差為-22.29%。實(shí)驗(yàn)2和實(shí)驗(yàn)3的應(yīng)力分布相同，且平均誤差為-13.70%，說(shuō)明等效剛度邊界可以模擬真實(shí)邊界工裝的傳力效果。

圖8 實(shí)驗(yàn)方案

圖9(b)給出了數(shù)值預(yù)測(cè)應(yīng)力分布，該數(shù)值預(yù)測(cè)是模擬真實(shí)邊界工裝的傳力路徑算例的應(yīng)力分布。數(shù)值預(yù)測(cè)與實(shí)驗(yàn)2的應(yīng)力分布相同，平均誤差為-16.88%，略高于實(shí)驗(yàn)2和實(shí)驗(yàn)3的平均誤差。數(shù)值預(yù)測(cè)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果不同的原因是實(shí)驗(yàn)過(guò)程中存在不可避免的實(shí)驗(yàn)誤差，主要為實(shí)驗(yàn)蒙皮與端框的焊點(diǎn)不均導(dǎo)致應(yīng)力分布不均勻，采樣點(diǎn)處受到更大的應(yīng)力值。這也是實(shí)驗(yàn)1的應(yīng)力分布非絕對(duì)均勻的原因。

(a)應(yīng)變片位置 (b)結(jié)構(gòu)應(yīng)力分布

4 結(jié)論

(1)通過(guò)開(kāi)展剛度等效指標(biāo)研究、考慮剛度等效指標(biāo)的非均勻剛度彈性邊界優(yōu)化設(shè)計(jì)研究以及原理性實(shí)驗(yàn)研究，提出了非均勻剛度彈性邊界結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)流程，解決了傳統(tǒng)均勻剛度彈性邊界造成的載荷分配不均勻的問(wèn)題。

(2)對(duì)于航天領(lǐng)域常見(jiàn)的三種工況(軸壓工況、彎曲工況和組合工況)，提出了剛度等效指標(biāo)來(lái)描述不同工況下非均勻彈性邊界結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，為進(jìn)一步的優(yōu)化設(shè)計(jì)流程提供優(yōu)化目標(biāo)。

(3)對(duì)于非均勻彈性邊界結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題，提出了基于剛度等效指標(biāo)的非均勻彈性邊界結(jié)構(gòu)優(yōu)化列式。該優(yōu)化設(shè)計(jì)列式可以考慮不同載荷工況下的剛度等效指標(biāo)，實(shí)現(xiàn)非均勻剛度彈性邊界的優(yōu)化設(shè)計(jì)。為提高優(yōu)化設(shè)計(jì)效率，提出了引入指數(shù)函數(shù)來(lái)描述桁條分布規(guī)律，簡(jiǎn)化了設(shè)計(jì)變量，大幅提高了優(yōu)化設(shè)計(jì)效率。

(4)為進(jìn)一步驗(yàn)證非均勻剛度彈性邊界結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的有效性，開(kāi)展了非均勻剛度彈性邊界優(yōu)化設(shè)計(jì)原理性實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果與真實(shí)彈性邊界結(jié)果基本一致，驗(yàn)證了等效剛度邊界設(shè)計(jì)方法的有效性。