也談?wù)拿骟w的前世今生

胡傳興

摘 要：在立體幾何中雖然多面體的家族很龐大?？墒钦嗝骟w的成員卻很少，僅有五個(gè)。正多面體是立體幾何中比較特殊，而且內(nèi)涵較豐富的幾何體，而正四面體是其中最簡(jiǎn)單的正多面體，并且它與另外一個(gè)特殊的幾何體——正方體有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，因此在各種考試中它深受命題老師的青睞。要想在碰到四面體時(shí)能猶如庖丁解牛一般地游刃有余，教師有必要且必須弄清楚它的來(lái)龍去脈，也就是它的前世今生是什么。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);關(guān)系問(wèn)題;正四面體

圖1：如圖取正方體的四個(gè)頂點(diǎn)M，B，D，S并連接MB，MS，MD，SD，SB，DB。因?yàn)樗拿骟wM-BDS的各棱均為正方體的面對(duì)角線，因此各棱長(zhǎng)均相等，所以四面體M-BDS為正四面體。由此可知正四面體的前世就是正方體的一部分，那么正四面體的各種性質(zhì)都可以放在正方體這個(gè)平臺(tái)來(lái)考慮，并且當(dāng)我們碰到正四面體時(shí)首要考慮的是它的由來(lái)，因?yàn)檫@是它的本源。例如正四面體M-BDS的外接球的問(wèn)題，由圖1可知，正四面體的外接球與正方體ABCD-SEMN的外接球是同一個(gè)球，所以當(dāng)涉及正四面體的外接球時(shí)就可以用正方體的外接球。下面我們看看利用正四面體的前世今生是如何化繁為簡(jiǎn)的吧。

一、正四面體與球及正方體的關(guān)系問(wèn)題

BCD的6條棱相切的球即為正方體的內(nèi)切球。

二、涉及正四面體的線面關(guān)系問(wèn)題

例3.已知正四面體A1-BDC1，其外接球?yàn)榍騉，一平面α過(guò)棱A1B截球O的截面面積為S截，請(qǐng)問(wèn)當(dāng)S截取最小值時(shí)，A1C1與平面α所成角為多少？

解：由球的性質(zhì)可知，任意平面截球所得的截面圖形為圓。所以平面α過(guò)棱A1B截球的截面為圓，且A1B為圓的一條弦。

∵A1B是截面圓的一條弦。

∴如圖4當(dāng)截面是以A1B為直徑的圓時(shí)，此時(shí)圓的半徑最小，截面面積最小，此時(shí)平面α即為正方形ABB1A1所在的平面。

∵直線C1B1⊥平面ABB1，

∠CA1B1即為直線A1C1和平面ABB1A1所成的角。

又∵∠CA1B1=45°

∴A1C1與平面α所成角為45°

三、實(shí)際生活中的正四面體

由于正四面體的特殊性，命題老師也會(huì)經(jīng)常改頭換面以其他形式來(lái)考查正四面體。

總之，當(dāng)我們弄清了正四面體的前世今生以后，無(wú)論試題中正四面體以怎樣的形式出現(xiàn)，無(wú)論考查正四面體的何種幾何性質(zhì)，我們都能簡(jiǎn)單清晰地看出問(wèn)題的真相所在，都能找到簡(jiǎn)單而高效的方法。

參考文獻(xiàn)：

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[2]段春華.數(shù)學(xué)題集錦：1.正四面體的一個(gè)有趣性質(zhì)的證明[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，1992（5）：44.

編輯 謝尾合