例說問題表征對(duì)研究性創(chuàng)新題解決的影響

王立余

[摘? 要] 研究性創(chuàng)新題作為當(dāng)前高中數(shù)學(xué)創(chuàng)新題的一種類型，它已經(jīng)被眾多高中生視為數(shù)學(xué)高考的“攔路虎”. 筆者通過查閱文獻(xiàn)，訪問學(xué)者等方式，了解到問題表征對(duì)研究性創(chuàng)新題的影響非常大，甚至影響了學(xué)生解題的正確率和效率. 文章從背景、命題以及多元這三個(gè)表征，通過例題分析了問題表征對(duì)研究性創(chuàng)新題解決的影響，希望順利解決“攔路虎”，促使學(xué)生的核心素養(yǎng)得到培養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 問題表征;研究性創(chuàng)新題;影響

研究性創(chuàng)新題往往與研究性學(xué)習(xí)有較為密切的關(guān)系，它一般會(huì)以“新”背景、知識(shí)銜接、開放探究等方式呈現(xiàn)，較為注重考查學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問題的相關(guān)技能. 然而，當(dāng)前問題表征對(duì)于研究性創(chuàng)新題解決的影響并未受到關(guān)注，導(dǎo)致很多師生并不清楚其對(duì)研究性創(chuàng)新題解決的影響，所以本文中，筆者從背景表征、命題表征以及多元表征分析，概述了三種表征對(duì)研究性創(chuàng)新題解決的影響.

[?]背景表征對(duì)研究性創(chuàng)新題解決的影響

對(duì)于研究性創(chuàng)新題來講，背景情境理解情況直接關(guān)系著解題的成敗，也就是說，理解數(shù)學(xué)問題的背景情境，能夠理解題目意思，抓住解題的關(guān)鍵信息，明確考查的知識(shí)點(diǎn)，尋得解題的有效途徑，反之，未能理解或者錯(cuò)誤理解數(shù)學(xué)問題情境，就會(huì)“山重水復(fù)疑無路”，產(chǎn)生畏懼、煩躁等不良情緒，進(jìn)而解題失敗甚至直接放棄解題. 歸根究底，生活化創(chuàng)新題不是直觀、單純的數(shù)學(xué)問題，需要學(xué)生通過理解背景，結(jié)合真實(shí)的現(xiàn)實(shí)感受，挖掘數(shù)學(xué)問題本質(zhì)，明確考查的知識(shí)點(diǎn)，進(jìn)而成功解題.

例1：某居民小區(qū)為了緩解“停車難”問題，擬建造一個(gè)地下車庫. 建筑設(shè)計(jì)師提供了該地下車庫進(jìn)入后的直角轉(zhuǎn)彎處的平面設(shè)計(jì)圖. 車庫內(nèi)，有一條直角拐彎車道，車道的平面圖如圖1所示，設(shè)∠OAB=θ（rad），車道寬為3 m，現(xiàn)有一輛轉(zhuǎn)動(dòng)靈活的小汽車，它水平截面圖為矩形ABCD，寬為1.8 m，長為4.5 m，問此車是否能順利通過此直角拐彎車道？

解析：本題是日?，F(xiàn)實(shí)生活中較為典型的應(yīng)用，它集現(xiàn)實(shí)生活與數(shù)學(xué)知識(shí)于一身. 這就要求學(xué)生解決背景問題時(shí)，用數(shù)學(xué)的眼光看待問題，實(shí)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)問題“數(shù)學(xué)化”，這樣既有助于改善學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的態(tài)度，還能夠使學(xué)生親身體會(huì)到“數(shù)學(xué)源于生活又應(yīng)用于生活”，更能夠培養(yǎng)和提高學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決生活實(shí)際問題的能力與技能. 解該題目時(shí)，首先分析現(xiàn)實(shí)生活背景，組合題目信息，將生活問題準(zhǔn)確無誤地表征為數(shù)學(xué)問題. 如，車子順利通過直角拐彎車道，就需要滿足車道的水平截面圖的長度大于車子的水平截面圖的長度，即AB>4.5. 通過轉(zhuǎn)換、變形，獲得關(guān)于θ的函數(shù)f（θ）=+-1.8

tanθ+

，然后設(shè)sinθ+cosθ=x，換元得到f（θ）=g（x）=，再利用函數(shù)的單調(diào)性就可以獲得答案.

[?]命題表征對(duì)研究性創(chuàng)新題解決的影響

CPFS結(jié)構(gòu)是由概念域、概念系、命題域以及命題系形成的一種結(jié)構(gòu)，它是相對(duì)較為完善的描述命題表征的結(jié)構(gòu)理論. 命題表征對(duì)研究性創(chuàng)新題解決有非常大的影響，如理解不透，會(huì)影響題意的理解，影響解題方法的選擇. 結(jié)合實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，命題網(wǎng)絡(luò)一般由若干個(gè)共同成分的命題構(gòu)成，所以解題時(shí)，要抓住題目命題的“共同成分”，構(gòu)建有效、合理的命題網(wǎng)絡(luò)，進(jìn)而調(diào)動(dòng)大腦中數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)，明確考查的知識(shí)點(diǎn)，構(gòu)建有效的解題途徑.

例2：已知，函數(shù)f（x）=rx-xr+（1-r）（x>0），其中r為有理數(shù)，且0

解析：該類創(chuàng)新題的題意一般都較為簡單、直白，但題目的命題往往有多個(gè)組成成分，需要學(xué)生結(jié)合題意進(jìn)行分析，抓住各個(gè)命題的“共同成分”，構(gòu)建有效、合理的命題網(wǎng)絡(luò). 通過細(xì)讀發(fā)現(xiàn)，本題的題意是證明不等式“aa≤a1b1+a2b2”，且涉及“函數(shù)f（x）=rx-xr+（1-r）（x>0）”，a1≥0，a2≥0，b1，b2為正有理數(shù)以及“不等式aa≤a1b1+a2b2”這幾個(gè)命題.要證明不等式，就需要學(xué)生對(duì)不等式的證明方法進(jìn)行命題表征. 本題的命題表征主要是由函數(shù)f（x）=rx-xr+（1-r）（x>0）來證明不等式“aa≤a1b1+a2b2”，兩者如何關(guān)聯(lián)是解題的關(guān)鍵之一. 由函數(shù)到不等式常涉及函數(shù)的最值問題，而函數(shù)最值問題一般會(huì)涉及函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)等相關(guān)知識(shí). 利用導(dǎo)數(shù)可得：f（x）≥f（1），即：xr≤rx+（1-r），觀察xr≤rx+（1-r）與aa≤a1b1+a2b2，發(fā)現(xiàn)存在“共同成分”——形式類似，這是解題的關(guān)鍵之二，利用b1+b2=1，令x=，r=b1，即可證得不等式.

由此可見，解題中研究命題表征，尋找表征間的關(guān)聯(lián)，發(fā)現(xiàn)兩者間的“共同成分”尤為關(guān)鍵.

[?]多元表征對(duì)研究性創(chuàng)新題解決的影響

大部分?jǐn)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象的表征都具有優(yōu)先性和典型性的特征（簡稱“兩性”特征），但是解題過程中發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)對(duì)象的“兩性”特征卻未能起到正面的影響，反而常常扮演著“絆腳石”的角色，影響解題的順利進(jìn)行. 例如，標(biāo)準(zhǔn)的幾何圖形、數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)都較易使學(xué)生依賴典型問題，進(jìn)而產(chǎn)生錯(cuò)誤的視覺判斷. 所以，多元表征是一個(gè)主動(dòng)構(gòu)建意義的過程，它對(duì)研究性創(chuàng)新題解決的影響可以從內(nèi)容和方法這兩個(gè)方面進(jìn)行了解. 從內(nèi)容來講，表征的豐富性和相互性構(gòu)建了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu);而從方法來講，表征的轉(zhuǎn)換或者轉(zhuǎn)譯體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中邏輯思維與非邏輯思維的互補(bǔ). 簡單來講，就是多元表征便于學(xué)生構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)和提高學(xué)生的思維能力.

例3：設(shè)S=1+2+3+…+n，S=12+22+32+…+n2，已知S=，試探究S的一般公式.

解析：該類題目屬于探究類題型，它對(duì)學(xué)生的思維能力有一定的要求，也就是說，探究類創(chuàng)新題較為注重考查學(xué)生的思維，且思維考查較深，所以解決該類題時(shí)，要進(jìn)行多角度思考.結(jié)合本題的已知條件，可以有兩種解決方法，如表1.

方法一：代入數(shù)值進(jìn)行觀察猜測，然后利用歸納法進(jìn)行驗(yàn)證，得到：S= . 此法解題時(shí)，僅簡單進(jìn)行了數(shù)字表征，思維常規(guī).

方法二：根據(jù)題目所給信息，嘗試建立S和S兩者之間的關(guān)系.首先，利用代入數(shù)值的方法進(jìn)行初步的運(yùn)算;然后，利用圖表的直觀特征將數(shù)據(jù)在表格（表1）中顯示;其次，觀察S的“形”與S的“形”的特征，歸納總結(jié)規(guī)律，得到：=;最后，結(jié)合S=，求得S=. 對(duì)比“方法一”與“方法二”發(fā)現(xiàn)，“方法二”對(duì)學(xué)生的信息捕捉能力和思維能力要求較高，并且解題過程較為優(yōu)化，鍛煉培養(yǎng)了學(xué)生的思維. 多元表征確實(shí)能夠優(yōu)化解題過程，但對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)技能要求較高，不僅要求學(xué)生具有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，能夠構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，還要求學(xué)生熟知各種表征方式的特征，能夠結(jié)合問題特征采取恰當(dāng)?shù)谋碚鞣绞?，且靈活轉(zhuǎn)化表征方式，進(jìn)而有效解決研究性創(chuàng)新題.

對(duì)大多數(shù)高中生來講，研究性創(chuàng)新題的難度較大，且常常在解題過程中遇到“絆腳石”，歸根究底就是，基礎(chǔ)知識(shí)不扎實(shí)，未能抓住知識(shí)的本質(zhì). 因此，作為新課改背景下的一線教育工作者，在新授課中，要認(rèn)真講解基礎(chǔ)概念、命題本質(zhì)，更要引導(dǎo)學(xué)生多角度、多層次理解，進(jìn)而形成概念域和命題域. 另外，在研究性創(chuàng)新題的解題過程中，要求學(xué)生運(yùn)用多種表征方式進(jìn)行解答，因?yàn)楸碚鞣绞脚c思維方式和解題策略有密切的關(guān)系. 具體來講，就是不同的表征方式具有不同的思維和解題策略，這樣不僅能夠拓展學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力，還能夠培養(yǎng)學(xué)生靈活選擇解題策略的能力，進(jìn)而優(yōu)化解題過程.