關(guān)于高中階段函數(shù)教學(xué)的幾點(diǎn)思考

陳芬艷

[摘? 要] 函數(shù)作為代數(shù)學(xué)中的重要知識，在數(shù)學(xué)研究以及生產(chǎn)生活中都有著廣泛的應(yīng)用，在高中教學(xué)中，函數(shù)也是極其重要的內(nèi)容，函數(shù)的思想方法貫穿了整個高中數(shù)學(xué)的知識體系，然而函數(shù)的教學(xué)經(jīng)常會遇到各種各樣的問題，這和學(xué)生的學(xué)習(xí)軌跡以及教師的教學(xué)方法都有密切的關(guān)系. 文章從函數(shù)概念的教學(xué)、函數(shù)中的數(shù)形結(jié)合思想以及函數(shù)相近概念的區(qū)分等幾個角度，對高中階段的函數(shù)教學(xué)做了幾點(diǎn)思考.

[關(guān)鍵詞] 初等函數(shù)教學(xué);函數(shù)的概念;數(shù)形結(jié)合;方程與函數(shù)

函數(shù)作為代數(shù)學(xué)中的重要知識，在數(shù)學(xué)研究以及生產(chǎn)生活中都有著廣泛的應(yīng)用，在高中教學(xué)中，函數(shù)也是極其重要的內(nèi)容，函數(shù)的思想方法貫穿了整個高中數(shù)學(xué)的知識體系，然而函數(shù)的教學(xué)經(jīng)常會遇到各種各樣的問題，特別是剛開始的入門階段，集中體現(xiàn)在學(xué)生對函數(shù)的概念把握不清、缺乏函數(shù)思維等方面，為了能夠更好地進(jìn)行函數(shù)相關(guān)章節(jié)的教學(xué)，筆者做了以下四點(diǎn)思考.

[?]正本清源，幫助學(xué)生正確理解函數(shù)的本質(zhì)內(nèi)涵

要想讓學(xué)生真正能夠掌握函數(shù)相關(guān)的知識，最為基礎(chǔ)且極其重要的一步便是幫助他們厘清函數(shù)的本質(zhì)，早在17世紀(jì)初期，笛卡爾提出變量的概念開始，函數(shù)的思想便存在于數(shù)學(xué)研究之中了，但此時(shí)函數(shù)一詞還未成為數(shù)學(xué)術(shù)語，萊布尼茨第一次將函數(shù)一詞作為數(shù)學(xué)術(shù)語. 而在1734年，著名數(shù)學(xué)家歐拉才將f（x）作為表示函數(shù)的符號，在函數(shù)概念發(fā)展的過程中，出現(xiàn)了各種不同的學(xué)說，其中包括了變量說、對應(yīng)說以及集合說等等.

變量說對函數(shù)概念的定義是：假設(shè)有兩個變量x，y，如果x的值在某一范圍內(nèi)變化波動時(shí)，另一變量y的值也隨之以一定的規(guī)律性發(fā)生變化，那么我們就將變量x命名為自變量，將變量y定義成因變量，其值就是變量x的函數(shù)，即可記作y=f（x）. 初中階段，為了使得學(xué)生接收起來更為輕松，教材中采用了變量說來定義函數(shù)，這一學(xué)說的優(yōu)點(diǎn)在于比較簡單直白，能夠形象地展現(xiàn)出變化，但是卻不能真正揭示出函數(shù)的本質(zhì)，也就是變量之間的一一對應(yīng)關(guān)系，學(xué)生很容易混淆函數(shù)的概念，不能理解f，f（x）以及y之間的異同.

最先提出函數(shù)是一種變量之間的對應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)家是迪里赫萊，他在1837年提出了函數(shù)概念的對應(yīng)說，即對于一定區(qū)間內(nèi)的每個確定的變量x，有一個y與其對應(yīng)，此時(shí)我們把變量y稱為變量x的一個函數(shù). 十九世紀(jì)七十年代集合論的概念出現(xiàn)之后，對應(yīng)說的思想被進(jìn)一步明確，并發(fā)展為集合說，集合說將集合之間的單值對應(yīng)關(guān)系命名為映射，并將所有非空集合到數(shù)集的映射命名為函數(shù)，集合說相較于變化說抽象了一些，但是關(guān)于函數(shù)的定義卻明確了許多，它具有以下三個優(yōu)點(diǎn)：第一，明確的映射關(guān)系反映了函數(shù)的本質(zhì)內(nèi)涵，即變量之間的對應(yīng)關(guān)系，揭示出一種對應(yīng)的規(guī)則;第二，以集合為載體，擴(kuò)展了函數(shù)的概念，使其更具有普適性;第三，建立起了知識模型，為溝通知識與生活場景提供了便利，方便教師開展教學(xué)，舉例說明，教師可以向?qū)W生介紹，某一個班的學(xué)生與其身高就可以建立一個函數(shù)關(guān)系，對于每一位同學(xué)都有唯一的身高與之對應(yīng). 函數(shù)的概念由三個部分——定義域、值域和對應(yīng)法則共同構(gòu)成，缺少任何一部分函數(shù)的概念都將不完整.

當(dāng)然，上述定義中仍然存在著較為模糊的地方，比如“對應(yīng)”這一概念在上述的概念描述中就不夠清晰，1914年豪斯道夫利用純粹的集合論語言對函數(shù)進(jìn)行了定義，如果對于一個集合f={（x，y）

x∈A，y∈B}，滿足對于?x∈A，如果（x，y1）∈f且（x，y2）∈f，那么就可以得出y1=y2，則這樣一個集合f就可以稱為是從集合A到B的一個函數(shù). 這樣的定義雖然較為嚴(yán)謹(jǐn)，但是舍棄了解析式等較為直觀形象的表現(xiàn)形式，以高中生的知識和認(rèn)知水平，理解起來有一定困難，不過如果學(xué)生學(xué)有余力，教師也可以適當(dāng)?shù)叵驅(qū)W生介紹這一定義方式，幫助學(xué)生從更加抽象的維度深刻理解函數(shù)的概念.

總而言之，初中階段的教材多采用變化說來定義函數(shù)，這種方法雖然簡單直觀卻不能幫助學(xué)生真正理解函數(shù)的本質(zhì)，教師進(jìn)行教學(xué)的第一步就是要正本清源，用更加準(zhǔn)確的定義幫助學(xué)生建立起集合與映射的意識，從而更加全面準(zhǔn)確地理解函數(shù)的概念.

[?]利用數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生更直觀地感受函數(shù)

數(shù)學(xué)是一門對客觀世界進(jìn)行抽象的學(xué)科，常常從定性和定量的角度來分析和描述，因此大多數(shù)情況下數(shù)學(xué)的公式和概念會顯得較為晦澀，但是這并不代表數(shù)學(xué)只有冰冷的一面，數(shù)學(xué)圖形或者圖像能夠以直觀生動的方式向人們展示數(shù)學(xué)世界的奇妙，能夠很好地中和數(shù)學(xué)的抽象和晦澀感. 在函數(shù)的教學(xué)中，圖像能發(fā)揮很大的作用，我們可以通過函數(shù)圖像來對函數(shù)的整體或局部性質(zhì)進(jìn)行考察，也可以借此對函數(shù)的概念產(chǎn)生更深一層的理解，教師應(yīng)在教學(xué)中強(qiáng)化學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思維，讓學(xué)生逐漸養(yǎng)成即使眼中無圖也能心中有形的能力[1]. 舉例說明，單調(diào)性是函數(shù)的重要屬性，在數(shù)學(xué)研究或者生產(chǎn)生活中應(yīng)用廣泛，單純從數(shù)學(xué)公式或者概念定理來研究顯然具有很大的難度，這個時(shí)候如果利用圖像就可以很直觀地看出函數(shù)的大致趨向，再經(jīng)過一定的計(jì)算就可以較為輕松地得到函數(shù)的單調(diào)情況，比如，需要求復(fù)合函數(shù)y=log0.5

x2-x-12

的單調(diào)區(qū)間，我們就可以先根據(jù)

x2-x-12

和log0.5x的單調(diào)性作出對應(yīng)的圖像，之后再分類進(jìn)行歸納即可;再比如，函數(shù)圖像還可以用來估計(jì)方程解的個數(shù)，若要判定3x2+6x=有多少個實(shí)數(shù)解，則只需根據(jù)等式兩邊的函數(shù)，作出相應(yīng)的函數(shù)圖像，再數(shù)交點(diǎn)個數(shù)，即可得到實(shí)數(shù)解的個數(shù).

[?]提早培養(yǎng)學(xué)生映射的概念

低年級的教育雖然內(nèi)容相對簡單，但是對于樹立學(xué)生的意識有著重要的作用，學(xué)生在低年級學(xué)習(xí)的知識概念將會很大程度上影響后續(xù)的學(xué)習(xí)，倘若剛開始樹立的概念有問題，后續(xù)想要糾正，也很容易吃力不討好.

關(guān)于函數(shù)概念的教學(xué)也是如此，初中階段的變化說定義由于沒有清晰點(diǎn)出函數(shù)的實(shí)質(zhì)，學(xué)生很容易產(chǎn)生一些錯誤的認(rèn)知，對將來的學(xué)習(xí)產(chǎn)生不良的影響. 筆者建議提早培養(yǎng)學(xué)生映射的概念，雖然對于低年級的學(xué)生來說，這樣的數(shù)學(xué)概念較抽象一些，但是只要合理設(shè)置教學(xué)梯度，從最基本的概念開始讓學(xué)生慢慢理解，再輔以生動的事例，學(xué)生也是可以接受的，而這樣做的好處也顯而易見：首先，映射的思想在后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著重要的作用，不只是函數(shù)相關(guān)知識，很多數(shù)學(xué)變換也可以用映射來解釋，提前培養(yǎng)學(xué)生關(guān)于映射的認(rèn)知能讓他們感受到數(shù)學(xué)知識體系的完整性，也為學(xué)生更進(jìn)一步地學(xué)習(xí)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ);其次，映射的思想能打開學(xué)生的視野，讓學(xué)生得以將數(shù)學(xué)知識和現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系起來;最后，雖然映射的概念相對來說較為抽象，但是掌握它能使得學(xué)生更容易理解函數(shù)，教師可以利用一些例子做引導(dǎo)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)原來生活中處處有函數(shù)，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)函數(shù)的趣味性和實(shí)用性，從而不再對函數(shù)抱有恐懼感，會漸漸消除心理距離，更積極地投身函數(shù)學(xué)習(xí).

[?]幫助學(xué)生理清相近概念

許多較為細(xì)心的學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)的過程中常常會思考這樣一個問題：函數(shù)和方程有什么樣的關(guān)系？的確，函數(shù)與方程在形式上具有一定的相似性，反映的也都是量與量之間的關(guān)系，乍一看兩者確實(shí)容易混淆，但是兩者之間的思想?yún)s有著很大的區(qū)別，函數(shù)反映的是一種變量之間的對應(yīng)關(guān)系，強(qiáng)調(diào)凸顯兩者之間對應(yīng)的變化情況，方程的思想則有所不同，它強(qiáng)調(diào)數(shù)值的求取，目的是根據(jù)已知量選擇適合的未知量值以使得等式成立. 在一定的情況下，函數(shù)與方程可以互相轉(zhuǎn)化，方程F（x，y）=0可以轉(zhuǎn)化為y=f（x）的形式，如果用y=f（x）表示函數(shù)，經(jīng)過移項(xiàng)也可以轉(zhuǎn)化為y-f（x）=0的方程形式. 實(shí)際上在日常的學(xué)習(xí)和研究中，我們也常利用一方的知識來解決另一方的問題，比如我們可以利用函數(shù)零點(diǎn)的相關(guān)知識來解決方程求解的問題. 教師在教學(xué)的過程中可以適當(dāng)補(bǔ)充這樣的相似知識點(diǎn)對比，幫助學(xué)生厘清這些知識點(diǎn)間的異同之處. 這樣做不僅能夠減少知識混淆的可能，還能從另一方面鞏固和加深學(xué)生對知識點(diǎn)的掌握程度，幫助學(xué)生打開思路，將不同的知識點(diǎn)融會貫通，建立更加完善的知識和認(rèn)知結(jié)構(gòu).

參考文獻(xiàn)：

[1]? 王光明. 高效數(shù)學(xué)教學(xué)行為的特征[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011，20（1）：35-38.