探析2019年北京卷理科解析幾何壓軸試題*

福建省龍海第一中學(xué)新校區(qū)(363100) 蘇藝偉

一、試題呈現(xiàn)

題目(2019年高考北京卷理科)已知拋物線(xiàn)C:x2=-2py經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,-1).

(1)求拋物線(xiàn)C的方程及其準(zhǔn)線(xiàn)方程.

圖1

(2)設(shè)O為原點(diǎn)，過(guò)拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)C于兩點(diǎn)M,N，直線(xiàn)y=-1分別交直線(xiàn)OM,ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B.求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)y軸上的兩個(gè)定點(diǎn).

二、試題評(píng)析

本題以直線(xiàn)和拋物線(xiàn)為載體，考查求拋物線(xiàn)的方程，準(zhǔn)線(xiàn)以及證明圓過(guò)定點(diǎn).試題背景樸實(shí)，親切，容易入手，分層遞進(jìn)，步步得分.試題第二步突出了對(duì)圓錐曲線(xiàn)中定點(diǎn)問(wèn)題的考查，不回避熱點(diǎn)問(wèn)題，能夠讓考生學(xué)有所用，學(xué)有所得.第二步看似簡(jiǎn)單，實(shí)則具有一定的探究意義，能夠考查學(xué)生的推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)本質(zhì)，彰顯了對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查要求，又讓人感受到了命題者的獨(dú)具匠心.

三、試題解析

如圖1所示，設(shè)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F(0,-1)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=-1.設(shè)直線(xiàn)l方程為y=kx-1(k0).代入x2=-4y得x2+4kx-4=0.設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2).則x1+x2=-4k，x1x2=-4.故y1y2=1，x1y2+y1x2=x1(kx2-1)+(kx1-1)x2=-4k.

法1由于題目已經(jīng)提示以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)，故可設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)為D(0,n)，借助--→DA·--→DB=0這個(gè)關(guān)系求出n，從而得到定點(diǎn)坐標(biāo).

法2先求出以AB為直徑的圓方程，再結(jié)合題目提示定點(diǎn)在y軸上解出定點(diǎn)坐標(biāo).

法3考慮兩種特殊的情況，得到兩個(gè)特殊的圓，發(fā)現(xiàn)都過(guò)點(diǎn)(0,1)和(0,-3)，再證明這兩個(gè)點(diǎn)就是符合題意的定點(diǎn).

假設(shè)直線(xiàn)l斜率為0，此時(shí)以AB為直徑的圓方程為x2+(y+1)2=4，過(guò)點(diǎn)(0,1)和(0,-3).假設(shè)直線(xiàn)l斜率為1，此時(shí)以AB為直徑的圓方程為(x-2)2+(y+1)2=8，過(guò)點(diǎn)(0,1)和(0,-3).所以以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)(0,1)和(0,-3).下面證明之.

通過(guò)上述分析，不難發(fā)現(xiàn)第二問(wèn)是典型的證明定點(diǎn)問(wèn)題，思路一般有如下幾種：

第一種：采用假設(shè)存在驗(yàn)證法，先假設(shè)存在定點(diǎn)，然后建立等量關(guān)系，若能求出相應(yīng)的量，就說(shuō)明存在，否則就不存在.

第二種：相關(guān)幾何量用曲線(xiàn)系里的參變量表示，再證明結(jié)論與特定狀態(tài)或與參數(shù)無(wú)關(guān);

第三種：先把相關(guān)變?cè)厥饣?，在特例中求出定點(diǎn)，再證明符合題意;

四、試題探究

思考1如果改成證明以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，如何證明?

法1設(shè)D(x0,y0)，則故

化簡(jiǎn)得

即

法2設(shè)AB中點(diǎn)為T(mén)，則故T(2k,-1).

思考2通過(guò)上述分析，不難發(fā)現(xiàn)以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)的兩個(gè)定點(diǎn)(0,1)和(0,-3)，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)恰好是其中點(diǎn).也就是說(shuō)可以把本題推廣到一般情況嗎?

結(jié)論已知拋物線(xiàn)C:x2=-2py，設(shè)O為原點(diǎn)，過(guò)拋物線(xiàn)C的的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)C于兩點(diǎn)M,N，直線(xiàn)分別交直線(xiàn)OM,ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B.則以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)，這兩個(gè)定點(diǎn)的中點(diǎn)是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn).

下面借助Geogebra軟件驗(yàn)證：

第一步：利用工具欄中的滑動(dòng)條構(gòu)造一個(gè)變量p;

第二步：在輸入框中輸入x?2=-2py，作出拋物線(xiàn)x2=-2py.在輸入框中分別輸入F=(0，-p/2)和y=p/2，作出焦點(diǎn)和準(zhǔn)線(xiàn);

第三步：利用工具欄中的直線(xiàn)按鈕構(gòu)造出過(guò)焦點(diǎn)的一條直線(xiàn)，與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)M,N;再分別作出直線(xiàn)OM,ON，交準(zhǔn)線(xiàn)于A(yíng),B兩點(diǎn);

第四步：利用工具欄中的中點(diǎn)工具作出AB中點(diǎn)T，再利用工具欄中的圓按鈕構(gòu)造出以AB為直徑的圓;

第五步：拖動(dòng)第三步中構(gòu)造出的直線(xiàn)上的點(diǎn)G，觀(guān)察發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線(xiàn)繞著焦點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)圓恒過(guò)y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)且以焦點(diǎn)為中點(diǎn).如圖2所示.

圖2

五、試題變式

變式1橢圓過(guò)點(diǎn)且斜率為k的動(dòng)直線(xiàn)l交橢圓于A(yíng),B兩點(diǎn).是否存在定點(diǎn)M，使得以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M?若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在，說(shuō)明理由.

解析若直線(xiàn)l斜率不存在，則以AB為直徑的圓與y軸的交點(diǎn)為M1(0,1)，M2(0,-1).若直線(xiàn)l斜率為0，則以AB為直徑的圓與y軸的交點(diǎn)為所以符合條件的點(diǎn)是M(0,1).下證M(0,1)就是滿(mǎn)足條件的點(diǎn).

變式2橢圓的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，離心率過(guò)F1的直線(xiàn)交橢圓于A(yíng),B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長(zhǎng)為8.

(1)求橢圓E的方程;

(2)設(shè)動(dòng)直線(xiàn)l:y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線(xiàn)x=4相交于點(diǎn)Q.試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M?若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在，說(shuō)明理由.

解析根據(jù)題目條件易求得橢圓E的方程為1.由得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.令Δ=0，得4k2-m2+3=0.設(shè)P(x0,y0)，則x0=故由得Q(4,4k+m).取得以PQ為直徑的圓方程為(x-2)2+與x軸的交點(diǎn)為M1(1,0),M2(3,0).取得Q(4,0)，以PQ為直徑的圓方程為與x軸的交點(diǎn)為M3(1,0),M4(4,0).所以符合條件的點(diǎn)是M(1,0).下證M(1,0)就是滿(mǎn)足條件的點(diǎn).因?yàn)閺亩匆虼艘訮Q為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M.