矩陣跡最小問題的求解

譚 婕， 彭振赟

(桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林 541004)

不定最小二乘問題

(1)

其中J=diag(Iq,-Iq)，Ip和Iq為單位矩陣，在總體最小二乘問題、幾何近似和斜映射問題等的應(yīng)用中具有十分重要的作用[1]。

對于不定最小二乘問題(1)，文獻[2-4]利用QR分解、Cholesky分解方法給出了求解該問題的QR-Cholesky法和向后穩(wěn)定法。文獻[5-7]探討了矩陣方程AXB=C有解的情況，給出了該矩陣方程通解的表達式。文獻[8]利用雙曲QR分解方法求解不定最小二乘問題，并驗證了此方法比QR分解和Cholesky分解的運算量少，證明了雙曲QR分解在條件較弱的情況下是向后穩(wěn)定的，并對解的誤差進行了分析，同時發(fā)展了這個問題的微擾理論，并確定了一個條件數(shù)。文獻[9]介紹了廣義雙曲QR分解，并用該分解求解等式約束下的不定最小二乘問題，同時分析了有界誤差。

矩陣跡最小問題

(2)

是不定最小二乘問題(1)的直接推廣。2011年，歐陽君[10]首次提出問題(2)并給出了其有唯一解的充分必要條件，討論了解的擾動分析。鑒于此，討論矩陣跡最小問題(2)的更一般的矩陣跡最小問題，即矩陣跡最小問題

(3)

其中A∈Rm×n，B∈Rn×s,C∈Rm×s，m≥n，J=diag(Iq,-Iq),Ip和Iq為單位矩陣且p+q=m，得到矩陣跡最小問題(3)有唯一解的充分必要條件，給出解存在時解的計算方法與存在解時的算法，并通過數(shù)值例子驗證求解問題(3)計算算法的可行性。

1 問題(3)有解的條件

引理1[1]設(shè)A∈Rm×n，rank(A)=n，m≥n，則有

其中：R∈Rn×n為上三角非奇異矩陣；H∈Rm×m為J-正交矩陣，即HTJH=J。矩陣A的這種分解稱為矩陣A的雙曲QR分解。

引理2[11]設(shè)A∈Rm×n，rank(A)=r，m≥n>r，則有

(4)

其中：R∈Rn×n為行滿秩矩陣；Q為J-正交矩陣。

定理1問題(3)有解的充分必要條件是rank(A)=r≤p，有唯一解的充分必要條件是rank(A)=r=n≤p，且B滿秩。

證明若rank(A)=r，則由引理2知，矩陣A可分解為式(4)。因此，有

(AXB-C)TJ(AXB-C)=

其中

R∈Rr×n，J=diag(Iq,-Iq).

若rank(A)=r≤p，則有

(AXB-C)TJ(AXB-C)=

(RXB-C1)T(RXB-C1)+C2J1C2。

(5)

其中J1=diag(Ip-r,-Iq)。因此，問題(3)等價于

(6)

因此，問題(3)有解。

反之，若rank(A)=r>p，則有

(AXB-C)TJ(AXB-C)=

(R1XB-C11)T(R1XB-C11)-

其中

因此，問題(3)等價于

(7)

做行滿秩矩陣，對R1和R2的廣義奇異值分解

其中：W為n可逆矩陣；U、V分別為p階和r-p階正交矩陣；C=diag(c1,c2,…,ct)>0；S=diag(s1,s2,…,st)>0；I為適當(dāng)階數(shù)的單位矩陣。令

X1∈R(p-t)×n,X2∈Rt×n,X3∈R(n-p-2t)×n,

則問題(3)等價于

(8)

因為問題(3)有解時，其等價于問題(6)。而問題(6)有唯一解的充分必要條件為R、B為可逆矩陣。因此，問題(3)有唯一解的充分必要條件是rank(A)=r=n≤p，且B滿秩。

2 求解問題(3)的解

X=A+CB++W-A+AWBB+。

其中：‖A‖為矩陣A的Frobenius范數(shù)；W為任意矩陣。

X=R+C1B++W-R+RWBB+，

(9)

其中W為任意矩陣。

證明由定理1的證明可知，問題(3)與問題(6)同解。由引理3知，問題(3)的解可表示為式(9)。

引理4[5]矩陣方程AXB=C的通解為

X=A-CB-+(I-A-A)U+V(I-BB-)。

其中：A-為矩陣A的g-廣義逆；A+為矩陣A的Moore-Penrose廣義逆，通常取A-=A+；U為任意矩陣。

定理3若問題(3)有解，則其與矩陣方程ATJAXBBT=ATJCBT同解，且其解可以表示為

X=A+JAA+JCB++

(I-A+JAA+JA)U+V(I-BB+)。

(10)

證明若問題(3)有解，則問題(3)的解即為矩陣方程ATJAXBBT=ATJCBT的解。

令F(X)=tr[(AXB-C)TJ(AXB-C)]，則有

F(X)=tr[(AXB)TJ(AXB)-(AXB)TJC-

CTJ(AXB)+CTJC]=tr(BTXTATJAXB)-

tr(BTXTATJC)-tr(CTJAXB)+tr(CTJC)。

對F(X)求導(dǎo)，有

對F(X)二次求導(dǎo)，有

由于問題(3)有解，則有rank(A)=r≤p，從式(5)可知，ATJA>0。又因BBT>0，可得F″(X)>0，故F(X)為凸函數(shù)。因此，矩陣方程ATJAXBBT=ATJCBT的解即為問題(3)的解，則問題(3)的解等價于矩陣方程ATJAXBBT=ATJCBT的解。

由引理4可知，問題(3)的解為

X=(ATJA)-ATJCBT(BBT)-+

(I-(ATJA)-ATJA)U+V(I-BBT(BBT)-)=

A-J(A-)TATJCBT(B-)TB-+

(I-A-J(A-)TATJA)U+

V(I-BBT(B-)TB-)=

A+J(AA+)TJC(B+B)TB++

(I-A+J(AA+)TJA)U+

V(I-B(B+B)TB+)=

A+JAA+JCB++(I-A+JAA+JA)U+

V(I-BB+)。

3 數(shù)值算例

由定理2、3可得如下2種求解問題(3)的不同算法。

算法1(根據(jù)定理2求解問題(3)的算法)

2)由引理1將矩陣A1進行雙曲QR分解，得Q、R1；

3)從

可得R；

4)計算

其中C1∈Rr×n，C2∈R(m-r)×n；

5)求矩陣R、B的廣義逆R+、B+；

6)將R+、B+、B、R、C代入式(9)，求得問題(3)的解。

算法2(根據(jù)定理3求解問題(3)的算法)

1)A為降秩，將A分解成A=A1M，其中A1為列滿秩，M為行滿秩；

3)求矩陣B的廣義逆B+；

4)將A、B、A+、B+、C、J代入式(10)，求得問題(3)的解。

例取m=8，n=7，p=5，q=3，隨機給出矩陣：

其中J=diag(I5,-I3)，I5和I3為單位矩陣。

通過算法1的計算，可得

假設(shè)W為單位矩陣，將R+、B+、B、R、C代入式(9)，可求得問題(3)的解：

(11)

且當(dāng)X為式(11)時，tr[(AXB-C)TJ(AXB-C)]=-8.795 8。

將A、B、A+、B+、C、J代入式(10)中，假設(shè)U、V為單位矩陣，從而可得問題(3)的解：

(12)

且當(dāng)X為式(12)時，tr[(AXB-C)TJ(AXB-C)]=95.416 6。

4 結(jié)束語

利用雙曲QR分解方法分析了一類矩陣跡最小問題有解、有唯一解的充分必要條件，并通過該方法將矩陣跡最小問題轉(zhuǎn)化成最小二乘問題，同時結(jié)合矩陣?yán)碚摻o出一類矩陣跡最小問題的解存在時解的計算方法。數(shù)值實驗表明，該方法可行。