淺議初中數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題中的最佳方案選擇問(wèn)題

羅明建

摘 ?要：題型特點(diǎn)方案設(shè)計(jì)型問(wèn)題，是指根據(jù)問(wèn)題所提供的信息，運(yùn)用學(xué)過(guò)的知識(shí)和方法，進(jìn)行設(shè)計(jì)和操作，然后通過(guò)分析、計(jì)算、證明等，確定出最佳方案的一類數(shù)學(xué)問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);方程;不等式

解題思路解題時(shí)可以根據(jù)題中蘊(yùn)含的等量或不等關(guān)系，列出方程（組）或不等式（組），通過(guò)解方程（組）或不等式（組），并結(jié)合題意確定方案，通過(guò)計(jì)算不同的方案的盈利情況，確定最優(yōu)的方案。

例1 某商場(chǎng)計(jì)劃撥款9萬(wàn)元從廠家購(gòu)進(jìn)50臺(tái)電視機(jī)，已知該廠家生產(chǎn)三種不同型號(hào)的電視機(jī)，出廠價(jià)分別是：甲種電視機(jī)每臺(tái)1500元，乙種電視機(jī)每臺(tái)2100元，丙種電視機(jī)每臺(tái)2500元，若商場(chǎng)同時(shí)購(gòu)進(jìn)其中兩種不同型號(hào)的電視機(jī)共50臺(tái)，恰好用去9萬(wàn)元

（1）請(qǐng)你設(shè)計(jì)進(jìn)貨方案;

（2）若商場(chǎng)銷售一臺(tái)甲種電視機(jī)可獲利150元，銷售一臺(tái)乙種電視機(jī)可獲利200元，銷售一臺(tái)丙種電視機(jī)可獲利250元，在同時(shí)購(gòu)進(jìn)兩種不同型號(hào)的電視機(jī)的方案中，為使銷售獲利最多，則該選擇哪種進(jìn)貨方案

【分析】：抓住題中的數(shù)量關(guān)系：①兩種不同型號(hào)的電視機(jī)的臺(tái)數(shù)和=50;②買兩種不同型號(hào)的電視機(jī)花去的費(fèi)用=9萬(wàn)元，按購(gòu)進(jìn)的兩種電視機(jī)的型號(hào)分別是甲、乙;乙、丙;甲、兩三種情況進(jìn)行討論，設(shè)計(jì)出合理的方案后，分別計(jì)算出各方案的利潤(rùn)，然后判斷出獲利最多的方案.

解析 （1）分三種情況討論：① 當(dāng)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種型號(hào)的電視機(jī)時(shí)，設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種電視機(jī)x臺(tái)，則購(gòu)進(jìn)乙種電視機(jī)（50-x）臺(tái)，根據(jù)題意列方程，得1500+21000（50-x）=90000，解得 x=25 ∴ 50-x=25

②當(dāng)購(gòu)進(jìn)乙、丙兩種型號(hào)的電視機(jī)時(shí)，設(shè)購(gòu)進(jìn)乙種電視機(jī)y臺(tái)，則購(gòu)進(jìn)丙種電視機(jī)（50-y）臺(tái)，根題意列方程，得2100y+2500（50-y）=90000解得=87.5（不合題意，含去）③ 當(dāng)購(gòu)進(jìn)甲、丙兩種型號(hào)的電視機(jī)時(shí)，設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種電視機(jī)z臺(tái)，則購(gòu)進(jìn)丙種電視機(jī)（50-z）臺(tái)，據(jù)題意列方程，得1500z+2500（50-z）=9000解得：=35∴50-z=15 所以有以下兩種方案：

方案一：購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種型號(hào)的電視機(jī)各25臺(tái)。

方案二：購(gòu)進(jìn)甲種電視機(jī)35臺(tái)，丙種電視機(jī)15臺(tái)。

（2）因?yàn)樯虉?chǎng)銷售一臺(tái)甲種電視機(jī)可獲利150元，銷售一臺(tái)乙種電視機(jī)可獲利200元，銷售一臺(tái)丙種電視機(jī)可獲利250元。方案一的利潤(rùn)為150x25+200x25=8750（元）。方案二的利潤(rùn)為150×35+250×15=9000（元）因?yàn)?750<9000，所以選擇方案二獲利最多。答：為使銷售獲利最多，應(yīng)該選擇購(gòu)進(jìn)甲種電視機(jī)35臺(tái)，丙種電視機(jī)15臺(tái)的進(jìn)貨方案。

例2、某中學(xué)計(jì)劃從榮威公司購(gòu)買A、B兩種型號(hào)的小黑板，經(jīng)治談，購(gòu)買一塊A型小黑板比購(gòu)買一塊B型小黑板多用20元，且購(gòu)買5塊A型小黑板和4塊B型小黑板共需820元，求（1）購(gòu)買一塊A型小黑板，一塊B型小黑板各需多少元？（2）根據(jù)這所中學(xué)的實(shí)際情況，需從榮威公司購(gòu)買A、B兩種小黑板共60塊，要求購(gòu)買A、B兩種型號(hào)小黑板的總費(fèi)用不超過(guò)5240元，并且購(gòu)買A型小黑板的數(shù)量應(yīng)大于購(gòu)買A、B兩種型號(hào)黑板總數(shù)量的三分之一，請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算，求出該中學(xué)從榮威公司購(gòu)買A、B兩種型號(hào)的小黑板有哪幾種方案？

解析，設(shè)購(gòu)買一塊A型小黑板需x元，則購(gòu)買一塊B型小黑板（x-20）元，根據(jù)題意，得：5x+4（x-20）=820解得：x=100∴ x-20=100-20=80

答：購(gòu)買一塊A型小黑板需100元，一塊B型小黑板需80元。

（2）設(shè)購(gòu)買A型小黑板m塊，則B型小黑板購(gòu)買（60-m）塊，根據(jù)題意，得{100m+80（60-m）≤5240，m>2O解這個(gè)不等式組得：20<x≤22∴ x取正整數(shù)為21、22.所以有兩種方案：方案一：購(gòu)買A型小黑板21塊，購(gòu)買B型小黑板39塊;方案二：購(gòu)買A型小黑板22塊，購(gòu)買B型小黑板38塊。

【點(diǎn)評(píng)】本題是方程（組）和不等式的應(yīng)用，認(rèn)真審題，理清題目中的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合實(shí)際問(wèn)題來(lái)確定，一般通過(guò)函數(shù)的增減性或所有方案再做出決策.難度中等.

例3 ?為了抓住梵凈山文化藝術(shù)節(jié)的商機(jī)，某商店決定購(gòu)進(jìn)A、B兩種藝術(shù)節(jié)紀(jì)念品.若購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品8件，B種紀(jì)念品3件，需要950元;若購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品5件，B種紀(jì)念品6件，需要800元.

（1）求購(gòu)進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品每件各需多少元？（2）若該商店決定購(gòu)進(jìn)這兩種紀(jì)念品共100件，考慮市場(chǎng)需求和資金周轉(zhuǎn)，用于購(gòu)買這100件紀(jì)念品的資金不少于7500元，但不超過(guò)7650元，那么該商店共有幾種進(jìn)貨方案？（3）若銷售每件A種紀(jì)念品可獲利潤(rùn)20元，每件B種紀(jì)念品可獲利潤(rùn)30元，在第（2）問(wèn)的各種進(jìn)貨方案中，哪一種方案獲利最大？最大利潤(rùn)是多少元？

【解析】（1）設(shè)該商店購(gòu)進(jìn)一件A種紀(jì)念品需要a元，購(gòu)進(jìn)一件B種紀(jì)念品需要b元，根據(jù)題意得方程組

{8a+3b=950，5a+6b=800解方程組得{a=100，b=50 ∴購(gòu)進(jìn)一件A種紀(jì)念品需要100元，購(gòu)進(jìn)一件B種紀(jì)念品需要50元.

（2）設(shè)該商店購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品x個(gè)，則購(gòu)進(jìn)B種紀(jì)念品有（100—x）個(gè)，根據(jù)題意，得7500≤100x+50（100-x）≤7650解得50≤x≤53 ∵ x為正整數(shù)，

∴x的取值為50、51、52、53?！喙灿?種進(jìn)貨方案。（3）因?yàn)锽種紀(jì)念品利潤(rùn)較高，故B種數(shù)量越多總利潤(rùn)越高，因此選擇購(gòu)A種紀(jì)念品50件，B種紀(jì)念品50件?？偫麧?rùn)=50×20+50×30=2500（元）

∴當(dāng)購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品50件，B種紀(jì)念品50件時(shí)，可獲最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是2500元.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用和二元一次方程組的應(yīng)用，是一道綜合性試題，難度較大，此題找到相應(yīng)的關(guān)系式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，應(yīng)注意第二問(wèn)應(yīng)求得整數(shù)解。列二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是能正確分析出題目中的等量關(guān)系，題目?jī)?nèi)容往往與生活實(shí)際相貼近，與社會(huì)關(guān)系的熱點(diǎn)問(wèn)題相聯(lián)系。

參考文獻(xiàn)

[1] ?黃小霞.初中數(shù)學(xué)列方程或不等式解應(yīng)用題教學(xué)難點(diǎn)突破策略[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2016（12）：21.

[2] ?宋青. 初中方程內(nèi)容的教材比較研究[D].南京師范大學(xué)，2015.