對一道全國高中數學聯(lián)賽題的再探究

☉重慶市潼南中學校　賴雪洪

對一道全國高中數學聯(lián)賽題的再探究

☉重慶市潼南中學校賴雪洪

近日，筆者拜讀了焦宇老師的文章《一道全國高中數學聯(lián)賽題的探究》（下稱文1），讀后受益匪淺.同時，對文1也作了一些思考，算作是對焦老師文章的一個呼應，以及與焦老師的商榷.

一、賽題展示

題目（2014年全國高中數學聯(lián)賽B卷第11題）如圖1所示，橢圓Γ：是橢圓Γ上的兩點，直線l1：x=-2，l2：y=-1.P（x0，y0）（x0>0，y0>0）是橢圓Γ上的一個動點，l3是過點P且與橢圓Γ相切的直線，C、D、E分別是直線l1與l2、l2與l3、l1與l3的交點.求證：三條直線AD、BE、CP共點.

圖1

二、解法探究

焦老師在文1中給出了4種證明方法，下面筆者再給出一種簡單易懂的方法.

思路：利用橢圓參數方程及塞瓦定理的逆定理證明.

證明：設P（2cosα，sinα），則直線l3的方程為sinα·y=1.

則易得C、D、E三點的坐標分別為（-2，-1），

根據塞瓦定理的逆定理，知三條直線AD、BE、CP共點.

三、命題推廣

焦老師在文1的最后對原賽題進行了推廣，得到兩個結論.

結論2已知圓W：x2+y2=r2（r>0），直線l1：x=-r、l2：y= -r與圓W分別相切于點A、B，動直線l3與圓W相切于點P（不同于點A、B）.若直線l1與l2、l2與l3、l3與l1分別相交于點C、D、E，則三條直線AD、BE、CP共點.

文章最后焦老師又指出：“結論對于雙曲線、拋物線都不適用.”這種說法是不全面的，焦老師僅僅考慮了直線l1、l2與坐標軸垂直的情形，實質上該賽題可以看作是葛爾剛（Gergonne）點（連接三角形的頂點和內切圓與對邊切點的直線交于一點，此點稱為葛爾剛點）在圓錐曲線中的推廣.

在給出推廣結論和證明之前，我們先介紹一下圓錐曲線的阿基米德三角形及其性質，并證明這個性質.

圓錐曲線的阿基米德三角形：由圓錐曲線的弦及過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形稱為圓錐曲線的阿基米德三角形.

橢圓（雙曲線）的阿基米德三角形性質：若△PAB為橢圓（雙曲線）的阿基米德三角形，則OP平分線段AB（其中O為坐標原點）.

拋物線的阿基米德三角形性質：若△PAB為拋物線的阿基米德三角形，過P作拋物線對稱軸的平行線，則此平行線平分線段AB.

由于證明過程類似，筆者僅給出橢圓的阿基米德三角形性質的證明.

圖2

①當x0=0時，由橢圓對稱性易知結論成立；

②當x0≠0時，設A（x1，y1），B（x2， y2），則切點弦AB的方程為

綜合①、②知，OP平分線段AB.

定理1若△ABC的三邊AB、BC、CA（或其延長線）與橢圓分別相切于點D、E、F，則AE、BF、CD三線共點.

這里僅證△ABC的內切橢圓情形，外切橢圓情形類似可證.

證明：如圖3所示，連接OA、OB、OC、OD、OE、OF、 DE、EF、FD.

圖3

根據塞瓦定理的逆定理知，AE、BF、CD三線共點.

定理2若△ABC的三邊AB、BC、CA（或其延長線）與雙曲線分別相切于點D、E、F，則AE、BF、CD三線共點.

證明過程類似定理1，此處從略.

定理3若△ABC的三邊AB、BC、CA（或其延長線）與拋物線分別相切于點D、E、F，則AE、BF、CD三線共點.

圖4

證明：如圖4所示，過點A、B、C作x軸的平行線，分別交DF于點P、M、N.

由拋物線的阿基米德三角形性質知，AP平分線段DF，BM平分線段DE，CN平分線段EF.

由橢圓的阿基米德三角形性質知，直線OA平分線段FD，直線OB平分線段DE，直線OC平分線段EF.

根據塞瓦定理的逆定理知，AE、BF、CD三線共點.

1.焦宇.一道全國高中數學聯(lián)賽題的探究［J］.中學數學教學參考（上），2015（3）.

2.林國夫.圓錐曲線中的切點弦及其方程［J］.數學通訊（上），2011（1-2）.