非圓形截面直梁的自由振動

高珊珊 黃欣 郝穎

摘 要：本文以空間曲梁理論為基礎(chǔ)，推導(dǎo)出具有非圓形橫截面的直梁的運(yùn)動微分方程，對其自由振動特性進(jìn)行研究。方程中不僅考慮了轉(zhuǎn)動慣量、軸向變形和橫向剪切變形的效應(yīng)，而且考慮了與扭轉(zhuǎn)有關(guān)的翹曲變形對梁固有頻率的影響。結(jié)果表明：在考慮了翹曲效應(yīng)后，用本文方法得到的解和有限元結(jié)果吻合得很好，翹曲變形對梁的第5—8階固有頻率有較大影響。

關(guān)鍵詞：非圓形截面;廣義翹曲坐標(biāo);固有頻率

中圖分類號：O326;TU323 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-5168（2019）28-0110-02

Free Vibration Analysis of Straight Beam with Non-circular Cross Section

GAO Shanshan HUANG Xin HAO Ying

（School of Civil Engineering and Communication， North China University of Water Resources and Electric Power，Zhengzhou Henan 450045）

Abstract： Based on the spatial curved beam theory， the differential equations of motion for straight beam with non-circular cross section were derived， and its free vibration characteristics were studied. In the formulations， the warping effect upon natural frequencies was studied in addition to considering the rotary inertia， the shear and axial deformation effects. The numerical result shows that the results available in the literature are consistent with the finite element results by considering the warping effect， which has a great influence on the 5th-8th order natural frequencies of the beam.

Keywords： non-circular cross section;generalized warping coordinate;natural frequency

梁是大型空間結(jié)構(gòu)的重要組成構(gòu)件之一。在實際工程中，梁不可避免地會受到動荷載的作用，其在動荷載作用下振動時的受力情況和表現(xiàn)與靜荷載作用時有很大差別，是設(shè)計中必須要考慮的問題。

但目前，已有研究大多考慮了轉(zhuǎn)動慣量、軸向和橫向剪切變形中的一種或幾種[1-3]，很少見到在梁的運(yùn)動微分方程中計及橫截面翹曲變形的影響。本文推導(dǎo)出一組描述梁自由振動的方程，其由14個微分方程相互耦合而成，且加入了廣義翹曲坐標(biāo)和廣義翹曲力矩兩個自由度后，方程呈現(xiàn)出很強(qiáng)的剛性，求解較為困難。本文采用改進(jìn)的Riccati傳遞矩陣法來求解上述運(yùn)動微分方程。結(jié)果表明：直梁橫截面的翹曲變形，對前4階頻率影響較小，但對第5—8階頻率有較大影響，是動力學(xué)分析中應(yīng)該考慮的因素。

1 幾何關(guān)系和基本假設(shè)

取[ξ， η]軸為過梁橫截面的形心[ξ， η]的主軸，[s]為沿梁的軸線方向的弧坐標(biāo)，如圖1所示。其中[Qs]是軸向力;[Qξ]和[Qη]是剪力;[Ms]是扭矩;[Mξ]和[Mη]是彎矩;[us（s，t），][uξ（s，t）]和[uη（s，t）]分別是位移矢量在[s]、[iξ]和[iη]方向的三個移動分量;[φs（s，t）]、[φξ（s，t）]和[φη（s，t）]分別是轉(zhuǎn)角矢量在[s]、[iξ]和[iη]方向的三個轉(zhuǎn)動分量;[φ（ξ，η）]是圣維南扭轉(zhuǎn)翹曲函數(shù);[α（s，t）]則是廣義翹曲坐標(biāo)。

研究的基本假設(shè)為梁橫截面在自身所在的平面內(nèi)是無限剛性即是不變形的，但在平面外會發(fā)生翹曲。

2 運(yùn)動微分方程

假設(shè)梁的變形是由伸長、彎曲和扭轉(zhuǎn)共同引起的，則位移場可以表示為：

[u（s，ξ，η，t）=W（s，ξ，η，t）t+U（s，ξ，η，t）iξ+V（s，ξ，η，t）iη]（1）

在動載荷作用下，[u=u（s，ξ，η，t）]既是坐標(biāo)[ξ， ][η， ][s]的函數(shù)，也是時間[t]的函數(shù)。式中，[U]、[W]和[V]的計算公式為：

[U（s，ξ，η，t）=uξ（s，t）-ηφs（s，t），V（s，ξ，η，t）=uη（s，t）+ξφs（s，t）W（s，ξ，η，t）=us（s，t）+ηφξ（s，t）-ξφη（s，t）+α（s，t）φ（ξ，η）]（2）

假設(shè)[eξξ=eηη=eξη=0]，則橫截面上的應(yīng)變[ess]、[esξ]和[esη]的分布規(guī)律為：

[ess=εs+ηωξ-ξωη+φα′+ks?φ?ξη-?φ?ηξα2esξ=Gξεξ-φη-ηωs+?φ?ξ+kηφα2esη=Gηεη+φξ+ξωs+?φ?η+kξφα]（3）

其中

[εs=u′s-kηuξ+kξuη εξ=u′ξ-ksuη+kηusεη=u′η-kξus+ksuξωs=φ′s-kηφξ+kξφηωξ=φ′ξ-ksφη+kηφsωη=φ′η-kξφs+ksφξ]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）

引入應(yīng)力合力和合力矩為：

[Qs=σsdξdηQξ=τsξdξdηQη=τsηdξdηMs=τsηξ-τsξηdξdηMξ=σsηdξdηMη=-σsξdξdη]? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（5）

[u's=-1EA0Qsu'ξ=φη+1A0GGξQξu'η=-φξ+1A0GGηQηφ's=D5-D4Iηη+Iξξα+1G（Iηη+Iξξ）Msφ'ξ=1IξξMξφ'η=1IηηMηα'=1D8TQ's=-ρA0ω2usQ'ξ=-ρA0ω2uξQ'η=-ρA0ω2uηM'ξ=-ρIξξω2φξ+QηM'η=-ρIηηω2φη-QξT'=-G（D5+D4）ws+Gα（D9+D10）]?   ? ? ? ? ? ? ? （6）

把（3）式代入本構(gòu)方程[σs=Eess， τsξ=2Gesξ， τsη=2Gesη]中，然后把所得結(jié)果再代入（5）式，即可得到用廣義應(yīng)變和廣義翹曲坐標(biāo)表示的等效本構(gòu)方程。假設(shè)梁作頻率為[ω]的簡諧運(yùn)動[5]，則可以得到如式（6）所示的一組運(yùn)動微分方程。

本文采用改進(jìn)的Riccati傳遞矩陣法[6]來求解彈簧的運(yùn)動微分方程。

3 數(shù)值算例

矩形截面鋁質(zhì)兩端固支的直梁，[ρ=2 700kg/m3，][μ=0.33，][E=71.7GPa]，截面的邊長為[2a]和[2b]，梁的長度為[l]，扭轉(zhuǎn)翹曲函數(shù)為：

[φξ，η=ξ×η-32a2π3n=0∞（-1）nsinh（2n+1）πη2a（2n+1）3cosh（2n+1）πb2asin（2n+1）πξ2a]? ?（8）

令[2a=0.1m， 2b=0.08m， l=1m]，在ANSYS中將上述梁劃分為600個SOLID185單元。為了與有限元結(jié)果進(jìn)行比較，采用本文方程計算該梁前8階的固有頻率（見表1）。

由表1可知，在考慮了翹曲效應(yīng)后，用本文方法得到的解和有限元結(jié)果吻合得較好。翹曲變形對矩形截面梁的第5—8階固有頻率具有較大影響。

參考文獻(xiàn)：

[1]夏呈.修正鐵摩辛柯梁受迫振動響應(yīng)分析及其應(yīng)用[D].南京：東南大學(xué)，2017.

[2]李俊，金咸定.Timoshenko薄壁灣彎扭耦合振動的動態(tài)傳遞矩陣法[J].振動與擊，2001（4）：57-59.

[3]李靜斌，陳淮，葛素娟.考慮剪切變形及轉(zhuǎn)動慣量的H型鋼梁自由振動[J].鐵道科學(xué)與工程報，2012（2）：29-33.

[4]虞愛民，郝穎，楊榮強(qiáng).自然彎扭梁動力分析的精細(xì)積分法[J].同濟(jì)大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2009（10）：1323-1327.

[5]郝穎，虞愛民.考慮翹曲效應(yīng)的圓柱螺旋彈簧的振動分析[J].力學(xué)學(xué)報，2011（3）：561-569.

[6]劉保國.一維不定參數(shù)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的攝動Riccati傳遞矩陣方法及其應(yīng)用[D].重慶：重慶大學(xué)，2002.