基于遞推法的空中加油模型

彭?xiàng)顥?陰香陵 朱英豪

摘 要：文章基于多方案比較建立相對(duì)安全的空中加油模型，研究救援小島上飛機(jī)加油策略。為了讓任務(wù)飛機(jī)盡可能地飛的遠(yuǎn)，引入作戰(zhàn)半徑，根據(jù)伴隨加油和接應(yīng)加油的兩種方式建立加油方案。

關(guān)鍵詞：作戰(zhàn)半徑；數(shù)學(xué)歸納；遞推法；空中加油

中圖分類號(hào)：V323文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

1 空中加油方案

現(xiàn)有一架輕載飛機(jī)和眾多相同信號(hào)的加油飛機(jī)，為保證輕載飛機(jī)成功抵達(dá)小島并能夠返回基地，加油飛機(jī)需要在空中將自己的燃料分給任務(wù)飛機(jī)。為使任務(wù)飛機(jī)能夠飛行的最遠(yuǎn)，需要利用加油飛機(jī)不斷給任務(wù)飛機(jī)加油，使它盡可能地滿載，直到它能夠獨(dú)自完成剩下的所有航程。在這里，引入作戰(zhàn)半徑，即作戰(zhàn)飛機(jī)任務(wù)完成后返回出發(fā)地所能達(dá)到的最遠(yuǎn)單程距離。

1.1伴隨機(jī)模型

在這種情況下，所有的輔機(jī)與主機(jī)一起出發(fā)，在前往小島的過程中給主機(jī)加油。最終，主機(jī)能夠獨(dú)自返回基地，油量全部消耗完。當(dāng)n架伴隨機(jī)陪同主機(jī)飛行時(shí)，存在著n個(gè)最優(yōu)加油點(diǎn)，每一個(gè)加油點(diǎn)均有一架輔機(jī)給其它所有的飛機(jī)加油后返回[1]。具體如下：當(dāng)所有飛機(jī)到達(dá)第一個(gè)最優(yōu)加油點(diǎn)時(shí)，第一架輔機(jī)C1給主機(jī)和其它n-1架輔機(jī)加油，使每一架飛機(jī)的油量達(dá)到最大值，最后C1所剩下的油量恰好能使它飛回基地。以此類推，當(dāng)?shù)竭_(dá)最后一個(gè)加油點(diǎn)時(shí)，最后一架輔機(jī)Cn給主機(jī)加滿油后恰能利用剩余的油量飛回基地。

將小島用F表示，基地用E表示。設(shè)L為輔機(jī)能飛行的最遠(yuǎn)距離，經(jīng)改裝后的加油機(jī)能承載的最大油量為a，則主機(jī)能承載的最大油量為0.91a。當(dāng)伴隨機(jī)和主機(jī)出航時(shí)，最佳加油位置分別為b1，b2，…，bn；當(dāng)飛機(jī)們到達(dá)b1后，為使被輔機(jī)C1加油后的主機(jī)和其它輔機(jī)的油量都達(dá)到滿載，且輔機(jī)C1剩下的油量能夠支撐它順利返回基地，經(jīng)計(jì)算可以得知，b1為距離基地1/（n+2L）處。當(dāng)剩下的n架飛機(jī)飛行到第二個(gè)最佳加油位置時(shí)，第二架輔機(jī)開始為主機(jī)和其它n-2架輔機(jī)加油[3]，此時(shí)各飛機(jī)消耗油量均為ba/L。以此類推，當(dāng)飛機(jī)們抵達(dá)第3個(gè)最佳加油位置時(shí)，第3個(gè)輔機(jī)C3需要滿足的基本條件為：

[1-（n-1）b32/L]a≥ab32/L+ab21/L+a/x （1）

所以當(dāng)b32也等于L/（n+2）時(shí)，輔機(jī)C3恰好能返回基地。于是可以猜想最佳位置b1，b2，，bn之間，相鄰兩個(gè)位置的間距均相等，始終為L(zhǎng)/（n+2）。

假設(shè)b1，b2，，bn是等差數(shù)列，公差為L(zhǎng)/（n+2）。當(dāng)飛機(jī)們抵達(dá)第k個(gè)最佳加油位置時(shí)，第k個(gè)輔機(jī)Ck給主機(jī)和其它輔機(jī)加滿油后返回基地。而在bk+1處，輔機(jī)Ck+1給剩下的n-k架飛機(jī)都加油所消耗的油量為b（k+1）ka/L。

故為了讓輔機(jī)Ck+1能夠最大限度地加油所需要滿足條件為：

[1-（1+n-k）a/（n+2）]a=[b（k+1）k+kL/（n+2）]a/L （2）

解上面的方程可以得到b（k+1）k=L/（n+2），所以假設(shè)成立，相鄰兩個(gè)最佳加油位置之間的間距均為L(zhǎng)/（n+2），得知各輔機(jī)依次加油的位置以后，可以得到主機(jī)在n次加油后恰好能夠返回基地時(shí)的其它信息，如下：

1）主機(jī)加油總量：na/（n+2）

2）主機(jī)耗油總量：na/（n+2）+0.91a

3）主機(jī)最大作戰(zhàn)半徑：（1.91n+1.82）L/2（n+2）

4）主機(jī)作戰(zhàn)半徑的增加值△r：nL/2（n+2）

在這種輔機(jī)全部做伴隨機(jī)的情況下，主機(jī)在出航的過程中不斷被輔機(jī)補(bǔ)給油量以維持它能夠獨(dú)自返航回到基地。當(dāng)有n架輔機(jī)時(shí)，我們得到了主機(jī)的最大作戰(zhàn)半徑與輔機(jī)數(shù)量和輔機(jī)能承載的最大油量a之間的關(guān)系為：

r=n（1.91n+1.82）L/2（n+2） （3）

所以當(dāng)輔機(jī)的數(shù)量和輔機(jī)能飛行的最大航程已知后，主機(jī)在能夠安全返回基地的基礎(chǔ)上，可以飛出的最遠(yuǎn)距離就可以求解出來。

1.2接應(yīng)機(jī)模型

在這種情況下，m架輔機(jī)從基地出發(fā)去接應(yīng)返回的主機(jī)，在返回的路上給主機(jī)加油，使主機(jī)恰好抵達(dá)基地。具體為：當(dāng)?shù)谝慌_(tái)輔機(jī)Am與主機(jī)相遇時(shí)，主機(jī)的油量恰好用完。此時(shí)輔機(jī)Am將自己剩余油量的一半分給主機(jī)，再與主機(jī)一起返航。當(dāng)?shù)诙_(tái)輔機(jī)Am-1與主機(jī)相遇時(shí)，主機(jī)和Am的油量恰好用完。此時(shí)輔機(jī)Am-1將自己剩余油量分為相等的3份，給主機(jī)和Am加油后與它們一同返航，以此類推。

在這里采用逆推的思想，當(dāng)最后一架接應(yīng)機(jī)A1與主機(jī)和其它m1架接應(yīng)機(jī)在d1處相遇時(shí)距離基地為1/y，此時(shí)接應(yīng)機(jī)A1給其它飛機(jī)加油后，它和這些飛機(jī)的油量均為（1-y）a/y（m+1）。只有當(dāng)y =m+2時(shí)，飛機(jī)恰好都能飛回基地，故最后一個(gè)加油位置b1距離基地的距離為L(zhǎng)/（m+2）。當(dāng)輔機(jī)A2到達(dá)加油點(diǎn)d2時(shí)，主機(jī)和其它m2架輔機(jī)剩余油量均為0，所有飛機(jī)距離基地為1/（y+d），此時(shí)加完油后每架飛機(jī)油量均為（a-a/y-ad/L）/m，只有當(dāng)d=L/（m+2）時(shí)，主機(jī)和其余m-1架恰能到達(dá)最后一個(gè)加油位置。根據(jù)輔機(jī)全部做伴隨機(jī)的情況，同理可證明所有相鄰兩個(gè)最優(yōu)加油位置之間的間隔均為L(zhǎng)/（m+2），所以這m個(gè)加油位置的表達(dá)式如下：

dj=jL/（m+2） （j=1，2，3，...，m） （4）

得知各輔機(jī)依次加油的位置以后，可以得到主機(jī)在m次加油后恰好能夠返回基地時(shí)的其它信息，如下：

1）主機(jī)加油總量：ma/（m+2）；

2）主機(jī)耗油總量：（1.91m+1.82）a/（m+2）；

3）主機(jī)最大作戰(zhàn)半徑：（1.91m+1.82）L/2（n+2）；

4）主機(jī)作戰(zhàn)半徑的增加值△r：mL/2（m+2）；

在這種輔機(jī)全部做接應(yīng)機(jī)的情況下，主機(jī)在返航的過程中不斷被輔機(jī)補(bǔ)給油量以維持它能夠返回到基地。當(dāng)有m架輔機(jī)時(shí)，得到主機(jī)的最大作戰(zhàn)半徑與輔機(jī)數(shù)量之間的關(guān)系為：

r=（1.91m+1.82）L/2（n+2） （5）

所以當(dāng)已知作戰(zhàn)半徑的需求以及輔機(jī)能走的最遠(yuǎn)航程L后，就可以求解出需要安排多少架輔機(jī)接應(yīng)主機(jī)返航。

參考文獻(xiàn)

[1] 戚晨皓，翟建鋒，鄒建宇.飛機(jī)空中加油問題的研究[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2006，36（7）：88-100.

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