如何巧妙還原三視圖的立體圖

蘭長僑

摘要： 三視圖是高中數(shù)學(xué)“立體幾何”知識點(diǎn)的重要基礎(chǔ)之一，此文將三視圖的原理驗(yàn)證方法進(jìn)行解析。

關(guān)鍵詞：三視圖;立體圖;高中數(shù)學(xué)

三視圖是人教A版高二必修二第一章第二節(jié)《1.2.2空間幾何體的三視圖》的內(nèi)容，三視圖還原立體圖一直是學(xué)生甚至是老師的一個(gè)難題。我們知道，三視圖是幾何體在一束平行光線照射下形成的投影，光線從幾何體的前面向后面正投影得到正視圖，光線從幾何體的左向右面正投影得到側(cè)視圖，光線從幾何體的正上方向下面正投影得到俯視圖。根據(jù)三視圖的定義，俯視圖與正視圖長相等，俯視圖與側(cè)視圖寬相等，正視圖與側(cè)視圖高相等，因此，在具體的三視圖中總是有這樣的對應(yīng)關(guān)系：正視圖和俯視圖的長度相等，側(cè)視圖的長等于俯視圖的高，正視圖和側(cè)視圖的高相等（如圖1）。

一、課題的引入

某天一位同學(xué)來問了我這樣一道三視圖的題：

某四面體三視圖（如圖2），正方形網(wǎng)格邊長為1，則此四面體體積為（ ? ）

【分析】本題實(shí)質(zhì)是考察三視圖還原立體圖的能力，很多同學(xué)就是因?yàn)椴荒苓€原立體圖而不能做出正確的答案。

我根據(jù)三視圖的原理給同學(xué)講解了三視圖還原成立體圖的過程，算出了答案，但是同學(xué)卻聽得模模糊糊，尤其是不能想象出三視圖還原立體圖的過程。在無意中看到修高樓打的立柱在太陽下投影到對面墻的影子，那么我為什么不用簡單的點(diǎn)線投影的觀點(diǎn)還原立體圖呢？

二、例題講解

我們知道，一條線或點(diǎn)的不同放置時(shí)它們的三視圖，從而得到（1）有垂直于水平線的 （2）有與水平線斜向上的 （3）有懸空的點(diǎn) 這三種位置。

【例題1】：一個(gè)幾何體的三視圖（如圖3所示），請還原立體圖。

解答步驟（如圖4）：

第一步，把俯視圖放入長方體底部，標(biāo)出關(guān)鍵點(diǎn)。

第二步：從俯視圖正下方做豎直的平行線（正俯長相同原則），先觀察在第1條豎直線上只有一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)A（以后我們簡稱單點(diǎn)）對應(yīng)的正視圖相應(yīng)有一條與水平線段DG垂直的線段DE，因?yàn)橹挥袉蝹€(gè)的關(guān)鍵點(diǎn)A，所以只有在長方體點(diǎn)A立柱線段AE（簡稱單點(diǎn)有垂立柱）;再看B點(diǎn)，也是在第二條豎直線上的單點(diǎn)，對應(yīng)正視圖上沒有與水平線垂直或斜向上的線段，只有一個(gè)懸空的F點(diǎn)，所以關(guān)鍵點(diǎn)B在長方體中是懸空的點(diǎn)（簡稱單點(diǎn)無垂無斜懸空點(diǎn)）;再看C點(diǎn)，是在第三條豎直線上的單點(diǎn)，對應(yīng)正視圖上只有與水平線段DG斜向上的線段EG、FG，所以關(guān)鍵點(diǎn)C在長方體中只能在底部的一個(gè)點(diǎn)（簡稱單點(diǎn)有斜定點(diǎn)）。

第三步，確定所有點(diǎn)后，連接相對應(yīng)的點(diǎn)，即可確定立體圖。

我再給出了一個(gè)復(fù)雜一點(diǎn)的例題：

【例題2】一個(gè)幾何體的三視圖（如圖5所示），則它的體積為（ ）

正確答案是 B.

【分析】本題實(shí)質(zhì)是考察三視圖還原立體圖的能力。

解答步驟：（如圖6）

第一步：把俯視圖放入長方體底部，標(biāo)出關(guān)鍵點(diǎn)。

第二步：從俯視圖正下方做豎直的平行線（正俯長相同原則），先觀察第一條豎直的線，上面有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)A、B，對應(yīng)的正視圖相應(yīng)有一條與水平線垂直的線段DE和斜向上的線段DG，所以我們暫時(shí)不能確定具體情況;再看第二條豎直的線只有一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)C，對應(yīng)正視圖有一條與水平線垂直的線段FG，因?yàn)樵陂L方體中只有一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)C，所以可以確定在C點(diǎn)一定有一根立柱的線段（單點(diǎn)有垂立柱）。

第三步：從俯視圖左方做水平平行線在轉(zhuǎn)到豎直平行線（側(cè)俯寬相等原則），先觀察最下方的水平線只有A點(diǎn)，對應(yīng)側(cè)視圖有相應(yīng)的點(diǎn)N，并且有一條與水平線斜向上的線段MN，所以可以確定A點(diǎn)一定只能是在長方體底部的一個(gè)點(diǎn)（單點(diǎn)有斜定點(diǎn)）;我們再來看第二條水平線有B、C兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，對應(yīng)側(cè)視圖相應(yīng)的又有一條與水平線垂直的線段HM并且有4個(gè)單位長度，而C點(diǎn)在第二步已經(jīng)確定有一根立柱的線但是只有1個(gè)單位長度，所以只有在B點(diǎn)承擔(dān)立一根4個(gè)單位長度柱的任務(wù)，當(dāng)然也是因?yàn)檎晥D沒有EF這樣的斜線，才綜合確定了B點(diǎn)。（多點(diǎn)，有垂綜合正側(cè)是關(guān)鍵）

第四步，確定所有點(diǎn)后，連接相對應(yīng)的點(diǎn)，即可確定立體圖。（如圖7）

總結(jié)

三、驗(yàn)證方法

第一步：把俯視圖放入長方體底部，標(biāo)出關(guān)鍵點(diǎn)。

第二步：從俯視圖正下方做豎直平行線（正俯長相同原則），先觀察A、D點(diǎn)對應(yīng)的正視圖相應(yīng)沒有一條從水平線垂直的線段或斜向上的線段，說明在長方體中A、D點(diǎn)一定沒有在底部，可是不能確定具體位置（多點(diǎn)暫時(shí)不確定）;再看B點(diǎn)，對應(yīng)上去有一條與水平線斜向上的線段FG或GE，但是這里只有B一個(gè)點(diǎn) ，所以可以確定B點(diǎn)一定只能是在底部的一個(gè)點(diǎn)（單點(diǎn)有斜定點(diǎn)）;再看C點(diǎn)，對應(yīng)上去有一條與水平線斜向上的線段HF或HE，但是這里只有C一個(gè)點(diǎn) ，所以可以確定C點(diǎn)一定只能是在長方體底部的一個(gè)點(diǎn)（單點(diǎn)有斜定點(diǎn)）。

第三步：從俯視圖左方做水平平行線在轉(zhuǎn)到豎直平行線（側(cè)俯寬相等原則），先觀察D點(diǎn)，對應(yīng)側(cè)視圖沒有一條與水平線垂直的線段或斜向上的線段，而空中又有一個(gè)相對應(yīng)的點(diǎn)M，但是這里只有D一個(gè)點(diǎn) ，所以可以確定D點(diǎn)一定是懸在半空中的點(diǎn)（單點(diǎn)無垂無斜懸空點(diǎn)）;我們再來看在同一水平線上的A、B、C點(diǎn)，對應(yīng)側(cè)視圖相應(yīng)有一條從水平線垂直的線或斜向上的線，但是 B、C點(diǎn)在第二步已經(jīng)確定只能是在底部的點(diǎn) ，所以只有在A點(diǎn)承擔(dān)立一根柱或者有一條斜向上的線，但是在第二步可以確定A點(diǎn)不可以在底部，并且從正視圖來看有一個(gè)點(diǎn)一定要在D點(diǎn)的正上方1個(gè)單位的地方，所以A點(diǎn)只能懸空在頂部，并且和點(diǎn)B、C連線形成斜向上的線（多點(diǎn)，有垂綜合正側(cè)是關(guān)鍵）。

此方法更適用于解決棱錐的問題，畫出立體圖后需要驗(yàn)證一下是否符合。

參考文獻(xiàn)

[1]劉玲. 巧用三視圖 立體變平面[J]. 中學(xué)物理教學(xué)參考， 2016（19）：38-40.

[2]陳洙穎. 以三視圖還原幾何體困難的原因及對策[J]. 中學(xué)生數(shù)理化（學(xué)習(xí)研究）， 2017（5）：60-60.