基于蒙特卡洛排隊論的航空港出租汽車決策模型

李昊楠　朱天逸　單吉琪

摘要：隨著城市與城市之間的交流更加密切，每個城市的飛機場也迎來越來越多的人流量。出租車作為乘客下了飛機后的主要交通工具之一，圍繞它的一系列問題也越來越受人關注。若能對旅客需求進行精準預判，進而實現(xiàn)車輛調(diào)配管理，旅客與出租汽車雙方的利益就能達到最大化。本文圍繞研究背景中提出的四個實際問題，就對出租車司機接客決策，機場“乘車點”的設置，以及出租車司機收益均衡的數(shù)學建模。

關鍵詞：蒙特卡洛排隊模型;圖論;基尼系數(shù);Pyr.hon決策

一、研究背景

（一）研究背景

一般航空港會將送客到港的出租汽車引入載客返程通道，以便他們將乘客帶回市區(qū)，對出租汽車司機而言這不妨是一個賺取遠程車費的好方式，但面臨的問題就是出租汽車司機需要在蓄車池中等待一定的時間，這段時間會成為他們的機會成本。在航空港出租汽車管理實踐中，管理人員將分批定量讓出租車進入“乘車區(qū)”，同時安排一定數(shù)量的乘客登車。在面臨這樣的兩個選擇時，影響出租車司機決策的因素很多，例如在蓄車池排行的汽車數(shù)量、排行時進港的航班數(shù)量、主觀疲憊程度、邊際收益的效用等。

（二）要解決的問題

1.在出租汽車做決策時，影響出租車司機決策的因素很多，通過分析研究影響因素的作用機理，綜合考慮航空港進港航班數(shù)量、乘客數(shù)量的數(shù)量變化規(guī)律和出租汽車司機的收益，建立出租汽車司機做出選擇決策的模型，并給出司機最優(yōu)的選擇策略。

2.在某機場的乘車區(qū)域有兩條并行車道，航空港出租汽車管理部門應如何設置乘客上車點，并合理安排出租車和乘客，才能在保證車輛和乘客安全的前提下，使得乘客的乘車效率最高。

3.航空港出租汽車載客的收益與載客的行駛里程有關，將要返程的乘客目的地遠近不一，出租汽車自己不能選擇乘客或拒載乘客，所以選擇載客返程的出租汽車司機仍然面臨著收益高低的不確定風險，但機場允許出租車多次往返接客，這就為收益的均衡性提供了可能。

二、問題分析

（一）問題一分析

根據(jù)題目背景，司機能得知某時刻抵達的航班數(shù)量y和蓄車池里的車輛數(shù)x，而x和y決定了乘車區(qū)里人的等待時間和出租車司機的等待時間，進一步的決定了司機的收益。因此司機應通過觀察x和y的數(shù)值，來做出決策。

（二）問題二分析

本題模型以乘客為視角，通過計算不同的“上車點”數(shù)量對乘客的平均等待時長、客等車效率、車等客效率等參數(shù)的影響，來最終權衡出最佳的“上車點”數(shù)量。當“上車點”數(shù)量很大時，不僅車等客的效率會降低，也會產(chǎn)生難以管理的安全風險，因此模型還引入危險指數(shù)，將車輛和乘客安全考慮其中。

（三）問題三分析

延續(xù)問題二中的得出的最優(yōu)“上車點”設置，為了平衡出租車司機每一單客人的獲利，我們的方案是：將這n個“上車點”按照乘客乘坐距離的遠近劃分成四組指定“上車點”，這四組“上車點”P，P，P，P所代表的行駛距離（亦即乘客乘坐距離）由近及遠為S，S，S，S，且上一單在P的司機，本單只允許去P或P接客;上一單為P的司機，本單只允許去P接客;上一單為P的司機，本單只允許去P或P接客;上一單為P的司機，本單只允許去P接客。

三、模型假設

1.所有司機都是經(jīng)濟理性人，即所有決策以自身收益最大化為基礎。

2.不考慮乘客下機后在機場內(nèi)的逗留時間，乘客在上車時耗費的時間相等。

3.航班數(shù)服從泊松分布，不考慮航班數(shù)量隨季節(jié)的變化。

4.問題二模型中，乘客到達“乘車區(qū)”的時間服從泊松分布，出租汽車到達“蓄車池”的時間服從泊松分布。

四、變量說明

本文建立模型的過程中主要涉及以下變量，變量符號及含義說明如下：

t車的等待時間;t人的等待時間;S機場到市區(qū)距離;S出租車在市區(qū)內(nèi)平均每單的公里數(shù);r（市區(qū)）接單率;r每公里耗油所需的費用;r每公里收費;x蓄車池里的車輛數(shù);y單位時間內(nèi)抵達的航班數(shù)量;r每架航班上選擇打車的人數(shù);t每組乘客上車的用時;r每輛車平均載客人數(shù);ζ，實際候車數(shù)>理論需車數(shù)時，司機需要多等的時間（即兩批航班的時間間隔）;ζ實際候車數(shù)<理論需車數(shù)時，乘客需要多等的時間;n到達隊伍的人數(shù);n乘客組數(shù)， n上車點數(shù)量;t每組乘客到達隊伍時間;t每組乘客等待車的時間;t每組乘客進入上車點時間;t每組乘客排隊結(jié)束時間;t每組乘客在隊伍中的時間;t上車點空閑時間;t每組乘客的上車時間;r危險指數(shù)。

五、模型建立與求解

（一）問題一：出租車司機的決策模型

首先，分別建立司機選擇等待和返回的獲利函數(shù)式f（x），f（x），兩者都由各自情況下的載客收益減去油耗成本得出。

（其中，出租車的等待時間t=x t+ζ）

令f（x）=f（x）-f（x），那么當f（x）>0時，司機選擇排隊等候的利潤更大;當f（x）<0時，司機選擇放空返回市區(qū)拉客的利潤更大。

綜合乘客數(shù)量和 出租車數(shù)量來看，當排隊系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時，實際在“蓄車池”中排隊的車輛數(shù)x應等于載完該批乘客所需的理論車輛數(shù)（yr/r）。于是下面分“人多車少”和“人少車多”兩種情況分析出租車司機該如何選擇。

1.情況一：人多車少

時，人多車少，即實際候車數(shù)<理論需車數(shù)，此時司機不需要額外等待下一班航班的乘客就能接到單，因此ζ=0。出租車的等待時間

在這樣的情況下，令f（x）>0，可得

表示在出租車司機觀察到 的情況下，如果此時“蓄車池”里的車輛數(shù)小于（I）這一定值，則該司機應選擇排隊等待;反之則選擇放空返回。

2.情況二：人少車多 時，人少車多，即實際候車數(shù)>理論需車數(shù)，此時司機需要額外等待下一班航班的乘客的到來才能接到單。因為y代表單位時間里抵達的飛機數(shù)，ζ表示每兩架飛機間隔的時間，因此ζ=1/y;則出租車的等待時間

在這樣的情況下，令f（x）>0，可得x<（I）

表示在出租車司機觀察到x>yr/r的情況下，如果此時“蓄車池”里的車輛數(shù)x和抵達的航班數(shù)量y滿足如上關系式的話，則該司機應選擇排隊等待;反之則選擇放空返回。

綜上所述，根據(jù)以上模型的定量分析，可構建出出租車司機的決策模型，司機可根據(jù)觀察到的x和y來做出選擇。

（二）問題二：“上車點”最優(yōu)數(shù)量模型

首先，假定乘客到達“乘車區(qū)”的時間服從參數(shù)為λ的泊松分布，并按時間大小依次排列。假定出租車到達“蓄車池”的時間服從參數(shù)為λ的泊松分布，并按時間大小依次排列。

假定到達“乘車區(qū)”的乘客共有n人，將其分為若干組，保證每組有n人后，多余乘客歸為一組。每組乘客可同時上車。

然后，開始對模型的分析：

對于第i組乘客，如果第i組乘客在第i-1組乘客上車后到達，即 ），那么第i組乘客進入上車點的時間：

上車點的空閑時間：

如果第i組乘客在第i-1組乘客上車后到達，即

，那么第i組乘客進入上車點的時間：

第i組乘客結(jié)束排隊的時間：

第i組乘客在隊伍中排隊的時間：

第i組乘客排隊的全部時間：

每組乘客的平均等待時間：

客等車的效率：

車等客的效率：

當乘客到達“乘車區(qū)”的時間服從參數(shù)為λ的泊松分布，出租車到達“蓄車池”的時間服從參數(shù)為λ的泊松分布時，可以計算在不同的“上車點”數(shù)量情況下的每組乘客平均等待時間、客等車的效率、車等客的效率，進而做出最優(yōu)決策。

存在n，使得當n=n時，每組乘客平均等待時間t盡可能小，并使客等車的效率η，車等客的效率η：處于合理范圍。為直觀表述模型結(jié)論，現(xiàn)假定數(shù)據(jù)：

最后得出的“上車點”數(shù)量與每組乘客平均等待時間 客等車的效率η，車等客的效率η的關系。

基本可以得出結(jié)論，當“上車點”數(shù)量n為20時，客等車的效率η處于較大水平，而每組乘客平均等待時間

處于較小水平，機場就可以選擇這一點作為建立“上車點”的最優(yōu)配置。

（三）問題三：出租車的調(diào)度方案模型

首先將所有乘車點按距離由近及遠分為四組P、P、P、P，機場通過大數(shù)據(jù)調(diào)查，可以得知乘客們的乘坐距離，從而將其由近及遠平均地歸為四組。為了使出租車司機們的收益盡量均衡，我們的目標是以一天為單位，假定平均每個司機一天接7單，在一天里讓每個司機每單的公里數(shù)盡量相同。

根據(jù)圖論，我們可以將我們的方案圖轉(zhuǎn)換為矩陣D=

由此，D中的每個元素a，j表示出租車司機起始在P接客點，經(jīng)過K次接客后到達P接客點，且其中的接客方法有a，j條。

其中

，通過枚舉每一條路徑，我們可以得出矩陣中這8組司機平均每單走的公里數(shù)：

以P為起點P為終點

以P為起點P為終點（與以P為起點P為終點相同）

以P為起點P為終點

以P為起點P為終點（與以P為起點P為終點相同）

以P為起點P為終點

以P為起點P為終點

作為機場方面，為了統(tǒng)籌規(guī)劃的方便及有效，最簡潔的做法是只對每天的第一批接客司機進行規(guī)劃，于是我們將上面的ABCDE加權獲得等式：

在如上等式下，不論司機每天如何接單，一天的總收益是一致的。而得出的一組S，S，S，S的關系式，即為機場提供了劃分乘車點所代表的乘車距離的依據(jù)。

機場方面可以在如上模型下抽樣收集起始點和結(jié)束點不同的八組出租車司機的日收益，把收益從小到大排序，通過基尼系數(shù)的公式 驗證該方法的有效性。[G代表基尼系數(shù)，Y代表第i組司機總收入占全部司機總收入的比例，P代表第i組司機人數(shù)占全部司機人數(shù)的比重，（∑P）代表累積到第i組的司機人數(shù)占全體司機人數(shù)的比重]

作者簡介：

李昊楠，朱天逸，單吉琪，上海外國語大學國際金融貿(mào)易學院，上海。