定積分概念的教學(xué)探究

陳玉清

金肯職業(yè)技術(shù)學(xué)院 江蘇南京 211156

數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的重要基礎(chǔ)，應(yīng)用于現(xiàn)代社會的方方面面，運(yùn)用符號運(yùn)算、形式推理、模型構(gòu)建等方式，表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中事物的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律[1]。數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容，是數(shù)學(xué)判斷和推理的依據(jù)。如不理解概念，在解決數(shù)學(xué)問題時，往往會碰到很多困難。特別是對同一數(shù)學(xué)概念的不同表達(dá)形式、概念之間的相互關(guān)系等缺乏系統(tǒng)概括的理解[2]。微積分是高等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，正確理解導(dǎo)數(shù)、微分、定積分的概念，是理解、記憶微積分中涉及的公式、符號、定理及解題的核心。定積分是積分學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。如何在教授定積分的過程中，讓學(xué)生更好地理解、接受定積分，并激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、分析、歸納、總結(jié)的能力以及創(chuàng)新能力是教學(xué)中值得研究的課題。

一、定積分概念的教學(xué)探究

(一)教學(xué)背景

當(dāng)今社會，科技迅猛發(fā)展，“數(shù)學(xué)”課程的教學(xué)方法與教學(xué)手段必然隨之改變。傳統(tǒng)的“黑板+板書”的教學(xué)模式無法適應(yīng)于信息化時代下成長的學(xué)生，特別是“數(shù)學(xué)”課程中的數(shù)學(xué)概念抽象、難以理解、推導(dǎo)過程復(fù)雜，使高職學(xué)生心存畏懼。將合適的信息技術(shù)運(yùn)用到教學(xué)中，使教學(xué)內(nèi)容更清晰化，將有利于學(xué)生理解并接受，同時能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。數(shù)學(xué)是一門抽象的學(xué)科，特別是數(shù)學(xué)概念，如能借助合理的信息技術(shù)作為輔助，從而提高教學(xué)質(zhì)量、課堂容量、學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。授課前期，以微積分發(fā)展史及涉及相關(guān)數(shù)學(xué)家的故事作為引入，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的重要性和數(shù)學(xué)家們的偉大貢獻(xiàn)，以及他們孜孜不倦、一絲不茍、鍥而不舍、堅持不懈的精神品質(zhì)。

(二)教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)方法

1.教學(xué)目標(biāo)

知識目標(biāo)：理解并掌握定積分的概念、幾何意義；結(jié)合實(shí)例，簡單了解定積分知識的實(shí)際應(yīng)用；能力目標(biāo)：在定積分概念形成過程中，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力；素養(yǎng)目標(biāo)：讓學(xué)生了解定積分的概念形成背景，培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)的興趣。

2.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

定積分的概念與思想，定積分概念的理解及應(yīng)用[3]。

3.教學(xué)方法

多媒體運(yùn)用，啟發(fā)式引導(dǎo)，理論與實(shí)際相結(jié)合。

(三)教學(xué)過程

1.新課引入

有效的引入不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，更有助于學(xué)生對后續(xù)要學(xué)習(xí)的知識的理解與掌握[4]。

簡單介紹微積分發(fā)展簡史，突出微積分的重要性：微積分的誕生，帶來了工業(yè)革命，有了大工業(yè)生產(chǎn)，繼而有了現(xiàn)代化的社會：航天飛機(jī)宇宙飛船，及現(xiàn)代化的交通工具等[5]，很多自然科學(xué)、幾何學(xué)的概念中都需要定積分。促使學(xué)生重視數(shù)學(xué)，重視知識的力量。定積分是對連續(xù)變化過程總效果的度量，求曲邊梯形的面積是定積分概念最直接的起源[5]，引出第一個引例的教學(xué)。

2.介紹兩個典型例子

第一個典型例子：曲邊梯形的面積。

定積分是為了計算平面上封閉曲線圍成的平面圖形的面積而產(chǎn)生的，規(guī)則平面圖形面積在中學(xué)階段已經(jīng)解決，讓學(xué)生回顧已學(xué)習(xí)過的規(guī)則圖形及其面積公式，進(jìn)一步引出不規(guī)則平面圖形的面積如何解決的問題。為了引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，可以從實(shí)際生活中尋找這種不規(guī)則圖形，進(jìn)而提出問題。

對學(xué)生提出“如何求出這種不規(guī)則圖形的面積呢？”的問題，啟發(fā)學(xué)生思考，并給出一個不規(guī)則圖形，使用信息技術(shù)手段分割所給不規(guī)則圖形為規(guī)則圖形和不規(guī)則圖形1：

以不規(guī)則圖形中其中某部分為例進(jìn)行研究，曲邊梯形的概念及計算其面積的問題，給出曲邊梯形的概念。

曲邊梯形的概念：曲邊梯形是由連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)≥0)及三條直線x=a，x=b，y=0所圍成的平面圖形，如圖2：

設(shè)曲邊梯形的面積為A，利用信息技術(shù)手段向?qū)W生展示如何分割曲邊梯形，將分割出來的其中某一個窄曲邊梯形與和它同底的小矩形面積比較，如圖3和圖4所示：

分析：由于曲邊梯形在底邊上的各點(diǎn)處的高f(x)在區(qū)間[a，b]上是變動的，因此面積A不能直接用矩形或梯形的面積公式計算。但由于曲邊梯形底邊上的高f(x)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)變化的，如果曲邊梯形的底邊很短，則高f(x)變化不大，可近似地看作不變化，因此自然想到用小矩形的面積之和逼近曲邊梯形的面積A。

再進(jìn)一步展示圖5：

第二個典型例子：變速直線運(yùn)動的路程。

3.定積分的概念的具體內(nèi)容

讓學(xué)生結(jié)合上述兩個典型例子，自主閱讀概念內(nèi)容，對于定義中給出的函數(shù)f(x)，啟發(fā)學(xué)生說出在上述實(shí)例中f(x)是指曲邊梯形的面積中曲線y=f(x)，在變速直線運(yùn)動的路程中是指速度v=v(t)，定義中的f(ξi)△ti在曲邊梯形的面積問題中是指第i個小矩形的面積，在變速直線運(yùn)動的路程問題中是指第i個小時間段上路程的近似值，結(jié)合實(shí)際問題理解定義，抽象的問題顯得更加形象化，便于基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生加以理解。

4.用定積分解決實(shí)際問題問題，體現(xiàn)定積分的作用，啟發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

用定積分解決新課引入部分圖1面積問題。圖7～圖9為擬合出的污染面積及分布在各象限內(nèi)的邊界函數(shù)，

以第一象限為例，在第一象限內(nèi)，邊界函數(shù)為：

利用定積分的方法可得到第一象限的圖1的面積為：

其中S1為第一象限內(nèi)的圖1的面積。理論知識與實(shí)踐相結(jié)合的教學(xué)模式，既能調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用的重要性，從而激發(fā)學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)，進(jìn)而努力學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識。

5.定積分的幾何意義的介紹

利用多媒體手段，結(jié)合曲邊梯形的面積展示圖形，介紹定積分的幾何意義，學(xué)生可以直觀上體會并理解。幾何意義的介紹，對后續(xù)定積分的應(yīng)用起到鋪墊作用。

6.思政內(nèi)容的引入

二、結(jié)論

上述的教學(xué)方式及教學(xué)過程以學(xué)生為教學(xué)導(dǎo)向，針對高職層面的學(xué)生實(shí)際情況，合理安排教學(xué)內(nèi)容，選擇科學(xué)的教學(xué)方法與手段，使學(xué)生更加容易接受數(shù)學(xué)，更好地學(xué)好數(shù)學(xué)，為學(xué)習(xí)其他專業(yè)課打好基礎(chǔ)。運(yùn)用觀察、分析、比較、歸納等數(shù)學(xué)方法，不僅引導(dǎo)學(xué)生接受并吸收所學(xué)知識，更重要的是在傳授知識的過程中，訓(xùn)練了學(xué)生數(shù)學(xué)思維及數(shù)學(xué)邏輯，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新能力，使其思維的廣度、深度和創(chuàng)造性得到進(jìn)一步加強(qiáng)[6]。