高中數(shù)學(xué)基本不等式解題技巧

李浩

眾所周知，數(shù)學(xué)具有較強(qiáng)的復(fù)雜性、邏輯性，導(dǎo)致部分學(xué)生會(huì)產(chǎn)生畏難心理，難以感受到數(shù)學(xué)的趣味。在學(xué)習(xí)不等式的過程中，需要不斷積累經(jīng)驗(yàn)，并提高理論知識(shí)運(yùn)用的能力，從而可以逐漸形成解題技巧，避免出現(xiàn)解題失誤或者效率低等問題。

一、高中數(shù)學(xué)中不等式的反證解題技巧

在不等式的解題中，反證解題技巧的應(yīng)用相對(duì)廣泛。具體而言，此種技巧主要是在正難則反的前提下而形成的，可以在計(jì)算高中數(shù)學(xué)不等式的過程中，獲取十分理想的效果。采用此種解題技巧，能夠證明與不等式相關(guān)的問題，同時(shí)整個(gè)證明的過程具有便捷性、簡單性，從而在根本上提高解題效率。結(jié)合如下例題，對(duì)反證解題技巧的應(yīng)用方式進(jìn)行分析：

例1：已知a+b+c大于0，abc大于0，ad+bc+ac大于0。結(jié)合已知條件，求解：a大于0、b大于0、c大于0。

解析：在求解以上問題之前，需要對(duì)題目進(jìn)行詳細(xì)分析。由于abc大于0，所以其中的a、b、c數(shù)值均不等于0。如果a小于0，bc小于0，那么滿足條件a+b+c大于0，同時(shí)b+c大于-a，最終的結(jié)果則是a（b+c）小于0。需要注意的是，結(jié)合題目條件與上述分析發(fā)現(xiàn)，ad+bc+ac+a（b+c）+bc的和小于0，而此結(jié)果與題目條件相互沖突，因此上述假設(shè)并不成立。也就是說，a大于0、b大于0，同時(shí)c的數(shù)值也必須大于0，完成證明。

二、高中數(shù)學(xué)中不等式的性質(zhì)解題技巧

在對(duì)不等式進(jìn)行解析的過程中，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)不等式性質(zhì)的合理運(yùn)用。實(shí)際上，這一解題方式是最為基礎(chǔ)的，能夠在很多類型的題目中得到應(yīng)用。例如：不等式具有傳遞性，如果a大于b，b大于c，則意味著a大于c。另外，不等式還具備可加性的特點(diǎn)，加深a大于b，那么a+c必然大于b+c，同時(shí)ac也同樣大于bc。結(jié)合如下例題，實(shí)現(xiàn)對(duì)不等式性質(zhì)應(yīng)用方式的分析。

例2：已知有n個(gè)圓，每兩個(gè)圓會(huì)在兩點(diǎn)相交，每3個(gè)圓不會(huì)在同一點(diǎn)相交。請(qǐng)證明：這n個(gè)圓將平面分成的部分為f（n）=n2-n+2。

解析：在證明f（n）=n2-n+2公式成立的過程中，可以采用歸納法的方式。等n等于1時(shí)，f（1）等于2。因此，當(dāng)n等于1時(shí)，存在公式n2+n+2等于2成立，因此命題是成立的。另外，也可以假設(shè)n等于k，同時(shí)第k+1個(gè)圓的圓心用O表示，并結(jié)合題目的條件進(jìn)行后續(xù)的證明。通過以上兩種不同的方式，均可以證明f（n）=n2-n+2成立，其中實(shí)現(xiàn)了對(duì)不等式性質(zhì)的合理運(yùn)用，從而有效降低題目的難度，對(duì)于獲取正確的證明結(jié)果具有重要意義。

三、高中數(shù)學(xué)中不等式的換元解題技巧

在分析不等式的過程中，可以將其式子看作整體，然后使變量對(duì)其進(jìn)行替換，從而讓問題的解題更加簡便。此種解題方式，便可以稱之為換元法，實(shí)現(xiàn)對(duì)不等式的轉(zhuǎn)化。在這一過程中，需要重視置換元、構(gòu)建元兩個(gè)要素。具體而言，換元法是以等量代換為基礎(chǔ)的進(jìn)一步延伸，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)研究對(duì)象的變換，實(shí)現(xiàn)對(duì)問題的轉(zhuǎn)移。另外，換元法還可以叫做輔助元素法，即在不等式中引入全新的變量，實(shí)現(xiàn)對(duì)分散條件的綜合處理，并使其中的隱藏條件凸顯出來?；蛘呓忸}期間將結(jié)論、條件結(jié)合起來，使其成為最為熟悉的結(jié)構(gòu)，為解題提供便利。

例3：已知a大于b大于c，請(qǐng)證明：[1（a-b）+1（b-c）≥4（a-c）]。

解析：結(jié)合題目的條件與換元法的原則，可以令a-b等于x、b-c等于y。因此，a-c等于x+y，同時(shí)x、y的數(shù)值均大于0。在對(duì)原不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化以后，可以得出如下不等式：1/x+1/y大于等于4/（x+y）。因此，在證明不等式的過程中，只需要確保（x+y）/x+（x+y）/y大于等于4，1+y/x+1+x/y大于等于4即可。同時(shí)，還需要證明y/x+x/y大于等于2且恒成立。通過此種方式，便可以結(jié)合的題目條件與換元法的方式，完成對(duì)[1（a-b）+1（b-c）≥4（a-c）]的證明。

四、結(jié)語

綜上所述，不等式是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)在習(xí)題、考試中。為了避免此種問題的出現(xiàn)，需要結(jié)合題目的類型，實(shí)現(xiàn)對(duì)不同解題技巧的合理應(yīng)用，從而以最快、最準(zhǔn)確的方式得到最終結(jié)果。

（責(zé)編 ?唐琳娜）