談高中數(shù)學(xué)中恒成立問題的解題方法和技巧

楊奕華

摘 要：近些年來，隨著教育改革的緩步推進，在高中數(shù)學(xué)教育體系中，對于恒成立問題的教學(xué)與考核比重逐漸上升，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中恒成立問題的的分析與解決成為了其中重要的一環(huán)。在最近幾年的高考數(shù)學(xué)試卷中，我們也經(jīng)常發(fā)現(xiàn)恒成立問題在其中占據(jù)了較大的比重。因此，不論從學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)根基還是高考考核的角度出發(fā)，教師都應(yīng)該加大對于恒成立問題的重視，加大恒成立問題解題方法與技巧的教學(xué)比重。在本文中，筆者就恒成立問題的相關(guān)解題技巧談一談淺見。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);恒成立問題;解題策略

引言：恒成立問題一直都是高中教學(xué)中的一個難點問題，許多教師經(jīng)常面臨教難了學(xué)生聽不懂，教簡單了對于學(xué)生的解題水平?jīng)]有幫助的問題。不僅如此，在近年的高考試題中，屢次出現(xiàn)大分值的恒成立題目，學(xué)生遇到此類問題一下子就沒有了頭緒，往往只能選擇放棄。因此，教師如何科學(xué)有效的進行恒成立問題教學(xué)成為了高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一項難題。

一、何為恒成立問題

在高中教育階段中出現(xiàn)的一系列恒成立問題往往所涉及的知識非常廣，對于學(xué)生來講，如果不能具有較強的知識整合能力的話，面對這類問題就會面領(lǐng)著無處下手的困境。在此類問題當中往往會引入一定的參數(shù)，結(jié)合函數(shù)數(shù)列的集合進行綜合出題。這些題目中普遍的特點就是思維邏輯要求較高，需要學(xué)生有較為靈活地思考能力。目前，恒成立問題的題目設(shè)計大概分為兩種類型。一種類型即給定某不等式恒成立，求取相關(guān)參數(shù)的取值范圍或解決相關(guān)問題。其二，即證明不等式為恒成立不等式。在本文中，筆者就這兩種主要問題談一談具體的解題方法與技巧，試圖找出什么樣的解題思路更加能夠便于學(xué)生理解與接受。

二、試析解題方法與技巧

（1）構(gòu)造函數(shù)法

在高中階段的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生較為掌握的完全平方公式一般認為是解決恒成立問題的一項有效途徑。對于學(xué)生來講，面對一道恒成立問題首先需要思考的是是否能夠?qū)㈩}目通過構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的題目。學(xué)生面對二次函數(shù)的題目就遠比恒成立問題要來的趁手許多，大可運用畫圖公式求導(dǎo)等方式求出參數(shù)的取值范圍，這樣一來，一道恒成立問題就很輕松的轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生熟知的題目類型，對于恒成立問題就沒有那么多的懼怕感了。因此，教師在日常教學(xué)的過程中，應(yīng)該積極引導(dǎo)學(xué)生分析恒成立問題是否可以導(dǎo)向構(gòu)造函數(shù)法，平時多訓(xùn)練才能在高考中更加的得心應(yīng)手。例如，來看這樣的一道問題，已知當任意m∈[-3，3]時，不等式3x-2>m（x2-1）恒成立求不等式中x的取值范圍。對于這樣的一道題目，就是典型的構(gòu)造函數(shù)法的適用類型。將等式左側(cè)的內(nèi)容移至右側(cè)，就將整個式子轉(zhuǎn)化成了二次函數(shù)的形式，需注意的是，在這樣的轉(zhuǎn)化中，我們研究的是將m作為參數(shù)變量，而非學(xué)生以往認同的x作為變量，如果學(xué)生一直糾結(jié)于x作為變量就會將問題復(fù)雜化。就例中的問題來講，這是一個屬于f（m）的式子，是在變量取值范圍中求負值區(qū)間的問題[1]。

（2）變量分離法

并不是所有的問題應(yīng)用構(gòu)造分離法都簡便，在面對一些含參數(shù)的不等式求解問題時，可以對該不等式中的相應(yīng)變量與其他參數(shù)剝離，轉(zhuǎn)化為其中一邊的函數(shù)形式，最后進行求取最值或是取值范圍的解決思路。例如，f（x）=lg（1+2x+3x+…+n-1x+nxa）/n，面對這樣的問題，顯然運用第一種方法已經(jīng)很難解決，這個時候就要思考是否能夠?qū)⑵渲械暮诵淖兞刻崛〕鰜?，在本題中，我們考慮的就是提取出a放在等式左邊，其余在等式左邊。這么處理的好處就在于我們避免了較為復(fù)雜的lg混合函數(shù)的計算，這樣的計算難度對于高中學(xué)生來說是具備一定的困難性的，而我們提取變量之后的問題就轉(zhuǎn)變成只含分數(shù)與指數(shù)函數(shù)的問題，這樣就便于解題了。值得注意的是，在這個問題中，我們是將原本復(fù)雜的參數(shù)求解的問題主動轉(zhuǎn)化為了恒成立問題，運用恒成立的思維模式進行處理。這就帶給學(xué)生了一個啟示，恒成立問題絕對不僅僅是用來難倒學(xué)生的單程數(shù)學(xué)題目，恒成立的思考方式對于解決其他問題也有著很大的幫助，因此學(xué)好恒成立的思維模式至關(guān)重要[2]。

（3）數(shù)形結(jié)合的思想

對于高中學(xué)生來講，數(shù)形結(jié)合的思想絕對不再是一個陌生的概念，在很多的數(shù)學(xué)問題中都往往會使用到數(shù)形結(jié)合，在恒成立問題當中自然也是如此。在一些恒成立不等式中，其中包含的函數(shù)較為簡單，屬于學(xué)生掌握的范疇，就大可先將圖形化出，再根據(jù)圖形進行相關(guān)問題的求解。例如，若x2-logax<0，x∈（-2，2）恒成立，求a的取值范圍。在這樣的題型中，可以將其看作兩個函數(shù)取值高低的問題，其中x2的函數(shù)圖像學(xué)生熟練掌握，logax的圖像學(xué)生同樣也并不陌生，因此只要將兩類函數(shù)的圖形畫出來，利用數(shù)形結(jié)合輔助求解就能較為容易的得出答案了。值得注意的是，在運用數(shù)形結(jié)合思想的過程中，一定要注意畫圖的精確性，如果在一開始畫圖的過程中就出現(xiàn)了問題，導(dǎo)致圖形不夠精確，一些細節(jié)的交匯點無法顯現(xiàn)，那么后續(xù)的計算就都屬于無用功，不可能得出正確的結(jié)論了。

結(jié)束語

總之，現(xiàn)在的高考考查內(nèi)容越來越多元化，也越來越注重學(xué)生的綜合能力，這就預(yù)示著恒成立問題將在高考中持續(xù)占據(jù)較大的比重，對于這類問題，在一道大題中可以就學(xué)生的多個知識點以及邏輯思維能力進行考察，是近些年來必出的題型。對于學(xué)生來講，如果能夠熟練掌握恒成立問題的的解題思想，面對恒成立問題不會感到焦躁，甚至能夠?qū)⒑愠闪⒌乃枷脒\用到其他問題當中去，那么學(xué)生的數(shù)學(xué)成績以及數(shù)學(xué)能力都將得到巨大的提升。因此對于教師來說，如何盡可能搞笑的傳授高中數(shù)學(xué)恒成立問題的解題技巧就成為了最為重要的教學(xué)任務(wù)，在本文中，筆者簡要的羅列了幾項恒成立問題的基礎(chǔ)解決思路，以及對學(xué)生的指導(dǎo)方式，希望能夠起到一些作用。

參考文獻

[1]鄭桂芬.高中數(shù)學(xué)變形技巧在函數(shù)恒成立問題中的應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)理化（教與學(xué)），2017（6）.

[2]李華清.關(guān)于高中數(shù)學(xué)恒成立的解題方法和思路的探索[J].考試周刊，2017（19）.