基于學(xué)生深度體驗(yàn)的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)變革

馮小輝 陳其東

摘 要：由于數(shù)學(xué)是一門基于基本概念的學(xué)科，理解數(shù)學(xué)概念的性質(zhì)不僅會(huì)促進(jìn)學(xué)生對(duì)于教學(xué)科目的深入領(lǐng)會(huì)，還將增加他們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)方法的理解。在本文中，通過“函數(shù)的單調(diào)性”的概念教育實(shí)例，學(xué)生實(shí)際體驗(yàn)了函數(shù)單調(diào)性的概念化過程，分析了學(xué)生有效的深度體驗(yàn)，給出了學(xué)科深藏的知識(shí)，方法，態(tài)度，價(jià)值觀，并創(chuàng)造了情感和意義，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成果。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念;核心問題;深度體驗(yàn);反思

引用一位高中數(shù)學(xué)教材編寫老師的話說： “數(shù)學(xué)概念，數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的起源和發(fā)展都是自然的。如果有人認(rèn)為某個(gè)特定的概念是不自然的，并且是強(qiáng)加于別人的，那就考慮一下背景，它其實(shí)是通過塑造，應(yīng)用和與其他概念相關(guān)的合成過程，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)它實(shí)際上是自然的產(chǎn)品?！边@其實(shí)就是概念教育的基本意識(shí)形態(tài)，數(shù)學(xué)課程的第一步必須促進(jìn)概念的順暢學(xué)習(xí)與掌握，否則，它是不會(huì)被稱為“教學(xué)數(shù)學(xué)”和“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)”。在課堂教學(xué)中，概念教學(xué)的水到渠成必須包括兩個(gè)方面：首先是知識(shí)的邏輯順序自然：其次是學(xué)生心理思考順序的自然，這主要是一個(gè)思維的過程?！白匀桓拍钫n程”是上面兩個(gè)方面的結(jié)合，重點(diǎn)是在“引導(dǎo)學(xué)生參加概念定義活動(dòng)”與此同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生開始與數(shù)學(xué)相關(guān)的學(xué)習(xí)過程的思維引導(dǎo)學(xué)生開始與數(shù)學(xué)相關(guān)的學(xué)習(xí)過程的思維。老師要離開在及時(shí)的過程中加深對(duì)概念的理解， “用問題引導(dǎo)活動(dòng)”和“一對(duì)一反思（問題）”。使“概念的理解”成為學(xué)生自己主動(dòng)思維的結(jié)果[1]。筆者所在的川大附中實(shí)施核心問題概念教學(xué)時(shí)更是提出：概念教學(xué)研究的著眼點(diǎn)，不只在于對(duì)文本數(shù)學(xué)知識(shí)意義的理解與掌握，而是在獲得對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)理解和掌握的同時(shí)，形成學(xué)生在活動(dòng)體驗(yàn)基礎(chǔ)上的學(xué)習(xí)。筆者在課堂教學(xué)實(shí)踐中采用了核心問題教學(xué)“提出問題——解決問題——反思提升——運(yùn)用反饋四個(gè)環(huán)節(jié)”[2]進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)，效果比較顯著。

一、立足學(xué)生深度體驗(yàn)變革數(shù)學(xué)概念教學(xué)的案例分析

下面筆者就以執(zhí)教的《函數(shù)的單調(diào)性》一課為例，探討高中數(shù)學(xué)課堂如何立足學(xué)生深度體驗(yàn)，讓數(shù)學(xué)概念的形成水到渠成。

（一）貼近生活的核心問題是促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的基石

在本節(jié)的課程中，學(xué)生將必須要使用溫度變化圖表和股價(jià)圖表，假設(shè)存在許多有關(guān)實(shí)際的數(shù)據(jù)來看出如何變化的示例。根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生就可以從函數(shù)角度快速進(jìn)入對(duì)于“圖像”的描述，溫度變化圖、股票價(jià)格走勢圖等例子反映的就是函數(shù)值隨自變量的變化在變大還是變小，學(xué)生對(duì)中學(xué)此功能的性質(zhì)有所了解，但沒有嚴(yán)格意義上的定義?，F(xiàn)在需要一個(gè)關(guān)鍵問題來動(dòng)員和激發(fā)學(xué)生進(jìn)行更多的自我探索的熱情。老師在這個(gè)理解的前提下應(yīng)該給出關(guān)鍵性問題：畫一幅函數(shù)的圖并用符號(hào)語言簡述自變量以解釋函數(shù)值的增減規(guī)律。針對(duì)核心問題的前半節(jié)：請任畫一個(gè)函數(shù)圖象，學(xué)生都自主探究，學(xué)生能夠親身經(jīng)歷就有了體臆，就會(huì)引起感覺，就達(dá)到了體臆的最低層次：經(jīng)歷。

針對(duì)核心問題的后半節(jié)：使用符號(hào)語言來描述函數(shù)的增減規(guī)律，以及自變量的變化。如何將圖形特征轉(zhuǎn)換為自然語言并將自然語言轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)符號(hào)語言是學(xué)生要首要解決的客觀性問題，在教學(xué)過程中，學(xué)生可以充分體驗(yàn)從特殊到一般，從具體到抽象的過程。在這種學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上摘要增（減）函數(shù)的本義，讓學(xué)生真正體會(huì)到三種語言在轉(zhuǎn)化中的關(guān)聯(lián)并進(jìn)行深層次體臆，從而為學(xué)生形成知識(shí)方法的表象特征打下了堅(jiān)實(shí)的基石。

這種情況下的關(guān)鍵問題是“筆者將通過編寫函數(shù)圖像并使用符號(hào)語言表現(xiàn)出值由著自變量變化來說明函數(shù)值的增加和減少”。爭取讓學(xué)生知道函數(shù)單調(diào)性的這個(gè)概念，從此處去了解其該如何進(jìn)行定義，如何開始研究新的課題，學(xué)生對(duì)概念的深度體臆就是靠學(xué)生親身在情境中感受、踐行的過程，那么，就要一個(gè)主線引領(lǐng)學(xué)生去踐行，從上面核心問題的定義與表達(dá)要求，完成核心問題的過程就是學(xué)生體臆的過程，同時(shí)，更為重要的是，本節(jié)課的核心問題前后兩節(jié)是相互關(guān)聯(lián)的，學(xué)生完成核心問題的過程就是進(jìn)行關(guān)聯(lián)體臆的過程，親身體臆知識(shí)發(fā)展軌跡的過程。

（二）真實(shí)豐富的深度體驗(yàn)是促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的催化劑

在理解了核心問題之后，大多數(shù)學(xué)生都能作圖一次、二次、反比例、分段函數(shù)，能作出這些類型的函數(shù)：

在繪圖過程中，學(xué)生可以了解圖形趨勢中的單調(diào)特征以形成視覺效果和視覺模擬，并且教師可以通過向?qū)W生展示圖片并及時(shí)提供豐富的感官材料來使圖形語言體現(xiàn)函數(shù)單調(diào)性概念。函數(shù)組成的概念是一種間接的方式，可以直觀地通過識(shí)別圖像中函數(shù)的組成，然后也可以以自然語言（文本語言）表達(dá)對(duì)函數(shù)組成的概念的理解，與此同時(shí)也從側(cè)面提供了確定函數(shù)單調(diào)性的方式

圖像法。

在這個(gè)過程中，大多數(shù)學(xué)生能夠用最直接淺顯的語言：“從左向右看，如果函數(shù)f（x）在某個(gè)區(qū)間上圖象上升，則稱函數(shù)f（x）在該區(qū)間上為增函數(shù);如果函數(shù)f（x）在某個(gè)區(qū)間上圖象下降，則稱函數(shù)f（x）在該區(qū)間上為減函數(shù)”，或者“從左向右，若圖象成上升趨勢，則稱函數(shù)為增函數(shù);如果圖像從左到右顯示下降趨勢，則此函數(shù)稱為“遞減函數(shù)”，用這個(gè)來說明對(duì)該函數(shù)的增加和減少的理解。

數(shù)學(xué)概念的形成來自解決實(shí)際問題和數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要。在課堂中筆者再結(jié)合具體函數(shù)比如f（x）

x，x≥O= 1/x，x<0及其圖象，嘗試用數(shù)學(xué)的圖形語言、文字語言、符號(hào)語言逐一描述函數(shù)在哪個(gè)區(qū)間為增函數(shù)或減函數(shù)？對(duì)于學(xué)生錯(cuò)誤的回答，引導(dǎo)學(xué)生分別用圖形語言和文字語言進(jìn)行辨析，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到“從左向右看”的本質(zhì)是自變量增大，圖象“上升”或“下降”的本質(zhì)是函數(shù)值變大或者變小，從而函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)在于函數(shù)值和自變量之間保持相同或者相反的大小變化關(guān)系。學(xué)生用數(shù)學(xué)符號(hào)語言描述圖形語言、文字語言，形成對(duì)具體函數(shù)單調(diào)性的符號(hào)語言上的認(rèn)識(shí)，邁出了對(duì)函數(shù)單調(diào)性本質(zhì)認(rèn)識(shí)的關(guān)鍵一步。

在指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有關(guān)單調(diào)函數(shù)概念理解的活動(dòng)時(shí)，作者主要抱著“使學(xué)生積極參與概念活動(dòng)中”和“不輕易干擾學(xué)生的思想和活動(dòng)”以及及時(shí)性和課程性的概念。對(duì)此，在“問題（質(zhì)疑）一對(duì)一反思”課程中，逐步進(jìn)行的“問題指導(dǎo)活動(dòng)”加深了學(xué)生對(duì)“單調(diào)函數(shù)”概念的理解。使“概念理解”成為學(xué)生自己主動(dòng)。

經(jīng)過這個(gè)過程，學(xué)生不僅對(duì)所探究的函數(shù)單調(diào)性的來源、成長過程與成長方法、本質(zhì)與結(jié)構(gòu)等有著透徹的認(rèn)識(shí)，飽含情感的深度體驗(yàn)更是成為促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念化的催化劑。課堂上思維的碰撞，不僅是師生之間、生生之間智慧的交鋒，更是師生、生生之間情感的溝通，達(dá)成了課堂“產(chǎn)生情感而生成意義”的教學(xué)目標(biāo)，進(jìn)一步促進(jìn)了學(xué)生心靈的深度體驗(yàn)。

（三）層層深入的反思提升是促進(jìn)學(xué)生概括概念本質(zhì)的升華

在反思和改進(jìn)的過程中，學(xué)生探索了函數(shù)特定功能的基本特征，作者指導(dǎo)他們回顧學(xué)習(xí)過程，要求學(xué)生從性質(zhì)的定義轉(zhuǎn)換為含義，并提供對(duì)遞增功能的準(zhǔn)確定義（符號(hào)語言）。然后抽象得出一個(gè)類比也就是減函數(shù)的含義。由于了解特定功能的定義，學(xué)生可以輕松達(dá)到單調(diào)的一般定義。

對(duì)于屬于定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1f（x2），稱f（x）為該區(qū)間上的減函數(shù)。至此，學(xué)生經(jīng)歷了由特殊到一般、由具體到抽象，最后歸納出單調(diào)性函數(shù)的定義的過程，并生成了對(duì)抽象函數(shù)單調(diào)性的符號(hào)語言上的認(rèn)識(shí)。

同時(shí)，教師還要適時(shí)適切地引導(dǎo)學(xué)生概括出知識(shí)中蘊(yùn)含的思想方法和探究知識(shí)的思維方法：①函數(shù)的圖形語言、文字語言、符號(hào)語言的等價(jià)轉(zhuǎn)化;②特殊到一般的思想方;③直觀到抽象;④數(shù)形結(jié)合;⑤類比等。筆者根據(jù)學(xué)生具體情況，通過符號(hào)語言的轉(zhuǎn)化，促進(jìn)學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性的深度體驗(yàn)（差商理解）。用差商y2-y1/x2-x1 >0描述“x1

商差結(jié)果不但能夠用來判別函數(shù)的增加或減少，還可以反映丁對(duì)與百分比的變化率。這種處理辦法還具有著一目了然的幾何意義，為早期了解導(dǎo)數(shù)開辟了道路。

這樣讓學(xué)生既形成了數(shù)學(xué)概念的知識(shí)，又形成了數(shù)學(xué)概念的思想方法，將核心問題解決問題中涉及的關(guān)聯(lián)體驗(yàn)進(jìn)一步提升，這樣本節(jié)課又上升了一個(gè)層次，上升到形——數(shù)——形的關(guān)聯(lián)，體驗(yàn)三種語言間的關(guān)聯(lián)，層層深入的反思提升促進(jìn)了學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的理解與升華，這就形成了數(shù)學(xué)概念教學(xué)的核心：以常見和豐富的例子為載體，打開數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)概念的關(guān)注，觀察和分析每種情況的性質(zhì)，整理和總結(jié)共同的基本性質(zhì)，并指導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立總結(jié)出數(shù)學(xué)的概念。

（四）高效精準(zhǔn)的運(yùn)用反饋是促進(jìn)學(xué)生體驗(yàn)概念關(guān)聯(lián)的內(nèi)化

在運(yùn)用反饋環(huán)節(jié)，學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)概念的生成過程，還需要對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解進(jìn)行內(nèi)化，筆者在運(yùn)用反饋環(huán)節(jié)中側(cè)重檢測學(xué)生深度體驗(yàn)圖形語言、自然語言及符號(hào)語言在相互轉(zhuǎn)化中的關(guān)聯(lián)情況。筆者選取了生活中的應(yīng)用案例進(jìn)行課堂檢測：

某汽車租賃公司的月收益y元與每輛車的月租金x元間的關(guān)系為y=x/50 +162x- 21000，請畫出圖象觀察，并描述月收益隨月租金的增加的變化情況？并用定義證明之。學(xué)生將自己探究出的數(shù)學(xué)知識(shí)與方法解決來實(shí)例，讓學(xué)生將三種語言在轉(zhuǎn)化中的關(guān)聯(lián)應(yīng)用，反思解題思路，再次深度體驗(yàn)到定義證明函數(shù)性單調(diào)性的步驟。高效精準(zhǔn)的運(yùn)用反饋促進(jìn)學(xué)生體驗(yàn)概念關(guān)聯(lián)的內(nèi)化，學(xué)生不僅實(shí)現(xiàn)了目標(biāo)的達(dá)成，最終內(nèi)化成自己的數(shù)學(xué)知識(shí)方法，逐漸形成了學(xué)生內(nèi)在的緘默知識(shí)，也為以后探究函數(shù)的其他性質(zhì)做好了鋪墊。

這一環(huán)節(jié)實(shí)際上是辨析、運(yùn)用、“精致”函數(shù)單調(diào)性的概念：一種是分析概念 就是使用示例作為參數(shù)來研究關(guān)鍵字的含義，另一種是整合和應(yīng)用概念集成到概念系統(tǒng)中并與相關(guān)概念連接。

二、立足學(xué)生深度體驗(yàn)變革數(shù)學(xué)概念教學(xué)的

案例反思

李邦河院士指出：“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧。技巧不足道也！”課堂結(jié)束后，筆者認(rèn)真反思了課堂教學(xué)，并認(rèn)為數(shù)學(xué)概念解決了實(shí)際問題，并且還認(rèn)為有必要發(fā)展數(shù)學(xué)本身。但是，這個(gè)概念非常難以理解，導(dǎo)致了學(xué)生應(yīng)該進(jìn)行實(shí)際的學(xué)習(xí)活動(dòng)去了解概念，從自己經(jīng)驗(yàn)和已有的知識(shí)基礎(chǔ)出發(fā)，經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”、“再創(chuàng)造”活動(dòng)過程[1]。結(jié)合本節(jié)課的核心問題數(shù)學(xué)，筆者還認(rèn)識(shí)到：數(shù)學(xué)概念教學(xué)促進(jìn)學(xué)生深度體驗(yàn)的實(shí)質(zhì)就是理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)，它是一個(gè)多側(cè)面、多層次、無止境過程。

首先，了解數(shù)學(xué)意味著對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的來源、成長的過程以及所教數(shù)學(xué)的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)有透徹的了解。換句話說，要理解數(shù)學(xué)知識(shí)，得使用“核心問題教育”來提高數(shù)學(xué)精髓，例如“怎么來和去哪里”，知道本質(zhì)，結(jié)構(gòu)和教育價(jià)值和自身對(duì)于數(shù)學(xué)的理解。將靜態(tài)的，成熟的和不利的學(xué)生轉(zhuǎn)變?yōu)槟芙邮芎腿菀紫臄?shù)學(xué)學(xué)術(shù)形式，將其轉(zhuǎn)變?yōu)閯?dòng)態(tài)的，發(fā)展的，更有營養(yǎng)的，營養(yǎng)豐富的數(shù)學(xué)教育形式。

其次，理解學(xué)生是指教師清楚學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn);清楚學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新知識(shí)之間的潛在距離;清楚學(xué)生的認(rèn)知障礙;清楚學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律;清楚不同學(xué)生間的認(rèn)知差異。以核心問題教學(xué)促進(jìn)理解學(xué)生的實(shí)質(zhì)是教師準(zhǔn)確地把握學(xué)生學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)、潛能、需求、困難與差異，為以學(xué)定教、以導(dǎo)促研提供準(zhǔn)確的信息與依據(jù)。

最后，了解教育將使教師了解數(shù)學(xué)的性質(zhì)和功能，掌握特定的教學(xué)方法和教育藝術(shù)，了解學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和基本教學(xué)原理，并將教育和學(xué)習(xí)視為一個(gè)有機(jī)的，相互加強(qiáng)的整體。這意味著數(shù)學(xué)教育的價(jià)值可以為不同的學(xué)生提供不同的數(shù)學(xué)。清楚將不同類型的知識(shí)用不同的方式呈現(xiàn)給不同學(xué)生的策略與方法。以核心問題教學(xué)促進(jìn)理解教學(xué)的實(shí)質(zhì)是以研定導(dǎo)，以導(dǎo)促研，實(shí)現(xiàn)教育價(jià)值與效益的最大化。

參考文獻(xiàn)

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