一道課本習(xí)題引發(fā)的探究教學(xué)及反思

上官光毅

浙教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)——數(shù)學(xué)》九上第118頁(yè)習(xí)題：

如圖1，有一塊三角形余料，它的邊mm，高mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在上.問(wèn)加工成的正方形零件的邊長(zhǎng)為多少mm？

這是一道傳統(tǒng)的課本習(xí)題，各種版本的教材都有與它背景

相同的習(xí)題或例題，甚至許多中考題就是由它改編拓展而來(lái)。

它之所以典型，是因?yàn)樵擃}的背景貼近學(xué)生生活實(shí)際，其求解過(guò)程又能考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，同時(shí)該題的探索空間很大?；诖?，我在教學(xué)中以此題為切入口，設(shè)計(jì)了一堂富有變式、梯度遞進(jìn)的探究課。下面就本節(jié)課的探究過(guò)程作一簡(jiǎn)述和淺析。

問(wèn)題：求加工成的正方形零件的邊長(zhǎng)？

生1：我是利用相似三角形的性質(zhì)得出比例式求解的.

如圖1，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為（mm），由∥，得∽，

∴，即，∴.

在大多數(shù)學(xué)生看來(lái)，這是一個(gè)“很不起眼”的問(wèn)題.他們沒(méi)花多少時(shí)間，都求出了正方形的邊長(zhǎng).于是我順?biāo)浦?，?duì)題目的條件稍作改變，給出如下的變式問(wèn)題。

探究一：將原題中的“正方形”改成“矩形”，使矩形的長(zhǎng)、寬之比為，其余條件不變，求矩形的長(zhǎng)與寬.

生2：要分兩種情況進(jìn)行討論.

⑴圖2是矩形的短邊落在上的情形，

設(shè)矩形的寬為cm，則長(zhǎng)為cm.

∥? ∽? ?∴，即，

解得 ，此時(shí)這個(gè)矩形的長(zhǎng)為60cm，寬為30cm.

⑵圖3是矩形的長(zhǎng)邊落在上的情形，

設(shè)矩形的寬為cm，則長(zhǎng)為cm. 則，

解得 ，此時(shí)這個(gè)矩形的長(zhǎng)為cm，寬為cm.

思考：這樣的改編設(shè)計(jì)，使問(wèn)題有了“動(dòng)態(tài)”的色彩，分類討論的思想自然蘊(yùn)于其中.這樣的兩種分類情形也比較顯然，對(duì)大多數(shù)學(xué)生而言是可接受的，所以課堂教學(xué)中學(xué)生能廣泛參與.另外，“動(dòng)態(tài)”矩形的形狀隨點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而變化，這就可以引導(dǎo)學(xué)生探索變化過(guò)程中矩形面積的最大值，將二次函數(shù)的知識(shí)融入其中，考查學(xué)生建立模型，綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.

探究二：分別是上的動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)剿骶匦蔚拿娣e是否存在最大值？若存在，求出矩形的最大面積;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

生3：需要建立二次函數(shù)模型.

師：如何建立？以什么為自變量？

生3：設(shè)長(zhǎng)為cm，利用相似可以將矩形的另一邊（即的長(zhǎng)）表示成關(guān)于的代數(shù)式.這樣矩形的面積就是關(guān)于的二次函數(shù)關(guān)系.

師：思路很清晰！

我讓學(xué)生根據(jù)生3的思路完成解答，并且自己作了板書(shū)示范。

解：設(shè)矩形的邊長(zhǎng)為cm，邊的長(zhǎng)為cm，矩形零件的面積為.

由∽得，即，

解得.

∴

∴當(dāng)時(shí)，（cm2）.

寫完該題，只見(jiàn)學(xué)生4揮手向我示意，興奮地說(shuō)道：“當(dāng)時(shí)，恰為的中位線.”“這難道是巧合嗎？”，他同時(shí)又有些不解.我覺(jué)得這是個(gè)良好的教學(xué)契機(jī)，一方面“最大值出現(xiàn)在恰為中位線時(shí)”這一細(xì)節(jié)很容易被學(xué)生忽略，另一方面學(xué)生的疑問(wèn)“是否巧合”可以把他們引向更本質(zhì)的探究.

探究三：將原題中的邊長(zhǎng)改為cm，探究矩形何時(shí)能達(dá)到最大面積？

我放手讓學(xué)生們討論、思考.教室里頓時(shí)議論紛紛，氣氛熱烈！

生4：我取代入，計(jì)算得到，當(dāng)時(shí)，面積取到最大值.這個(gè)時(shí)候也是的中位線.

他說(shuō)完很興奮，毫不掩飾自己的得意之情.此時(shí)生5有點(diǎn)不屑地插了一句：“不能用特殊情形來(lái)說(shuō)明一般結(jié)論吧！”.看他胸有成竹的樣子，我立即請(qǐng)他來(lái)講述推理過(guò)程.

生5：將比例式中的120換成，即有，則

∴

可知當(dāng)時(shí)，也即當(dāng)為的中位線時(shí)，達(dá)到最大值.

幾乎是一氣呵成，我?guī)ь^把掌聲送給了他，并及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納小結(jié).在分析、解答、小結(jié)之后，探究三似乎又給學(xué)生新的啟示.

生6提出質(zhì)疑：老師，當(dāng)矩形的一邊落在或上時(shí)，矩形的最大面積是否存在？

面對(duì)這突如其來(lái)的問(wèn)題，我有點(diǎn)束手無(wú)策.我回頭看了一下黑板，巧然發(fā)現(xiàn)在經(jīng)過(guò)配方的二次函數(shù)解析式中，不管邊長(zhǎng)怎樣變化，矩形的最大面積都等于的一半.于是，我堅(jiān)信當(dāng)矩形的一邊落在或上時(shí)，它的最大面積不僅存在，而且就等于的一半.學(xué)生的疑問(wèn)打亂了預(yù)先的教學(xué)步驟，但這個(gè)意外的問(wèn)題也把探究引向更深一層，將課堂推向高潮.