“旋轉(zhuǎn)圓”動態(tài)圖的一種替代方法

張奉平

摘要：“旋轉(zhuǎn)圓”法是高中物理中處理帶電粒子在有界磁場中運動時常用的方法，由于需要畫出一系列軌跡圓的動態(tài)圖，因而該方法對作圖要求高、容易導(dǎo)致卷面不清，比較繁雜，此文介紹了一種替代方法，讓粒子在磁場中運動的軌跡圓不動，將粒子的不同入射方向畫在該軌跡圓上的不同點，再將磁場邊界移動到入射點處，在同一圓周上來比較粒子的運動情況，更加清楚明了，對磁場邊界較簡單的問題處理起來更加方便簡潔。

關(guān)鍵詞：“旋轉(zhuǎn)圓”動態(tài)圖;替代法;移動磁場邊界

“旋轉(zhuǎn)圓”法是帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運動時，由于速度大小不變，即粒子做勻速圓周運動的半徑不變，但射入速度方向不同或方向變化而導(dǎo)致在磁場中運動情況各不相同時，通過畫出一系列動態(tài)圓，從而找出臨界狀態(tài)或變化范圍的方法。這是中學(xué)物理中常用的一種經(jīng)典的處理問題的方法，然而，該方法對作圖要求高，由于要畫很多個不同位置的圓，有時不便于比較，費時費力，還容易導(dǎo)致卷面不清，比較繁雜。下面介紹一種簡潔的方法替代旋轉(zhuǎn)圓法：

由于圓周運動的半徑不變，我們先以該半徑作出一個帶電粒子運動的軌跡圓，保持該圓固定不動，不同的入射方向變成從該圓周上不同的點入射。如圖一所示：豎直方向進(jìn)入相當(dāng)于從A點進(jìn)入;斜向右上方偏30°進(jìn)入，相當(dāng)于從B點射入;斜向左上方與豎直方向偏60°進(jìn)入，相當(dāng)于從C點射入……。然后將磁場邊界畫在相應(yīng)入射點處，這樣讓軌跡圓固定不動而移動邊界，在同一個圓周上就能很清楚地看出其在磁場中的運動情況，從而確定臨界

狀態(tài)或變化范圍，下面舉例加以說明：

例一：如圖二甲所示，在屏MN的上方有方向垂直紙面向里磁感應(yīng)強(qiáng)度為B 的勻強(qiáng)磁場，P為MN上一小孔，PC與MN垂直。一群質(zhì)量為m，帶電量為-q的粒子（不計重力）以相同的速率v，從P沿垂直于磁場方向射入磁場，粒子入射方向在與磁場垂直的平面內(nèi)，且散開在與PC夾角為θ的范圍內(nèi)，則屏MN被粒子擊中的區(qū)域長為（）

解析：由題意可知，所有粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑相同，設(shè)為R，則 。

在如圖二甲中沿PQ?、PC、PQ2三個方向射入的情況相當(dāng)于在圖乙的軌跡圓中從如圖所示的位置開始做圓周運動，再將磁場的邊界PN畫在相應(yīng)的入射點處，很容易看出，沿PQ?方向射入的粒子出磁場時打在邊界上的B1點，離入射點距離為PB1;沿PC方向射入的粒子出磁場時打在邊界上的B2點，離入射點距離為PB2;沿 PQ2方向射入的粒子出磁場時打在邊界上的B3點，離入射點的距離為PB3;其他方向入射的情況依此類推。由乙圖很容易看出PB1=PB2且為最短的距離，

PB3為最遠(yuǎn)的距離，易得到在邊界上被擊的區(qū)域長為PB?-PB?=2R-2Rcosθ=? ?答案為：D

例二：如圖三甲所示，豎直線MN∥PQ，距離為a，其間存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，其磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。O為MN上一點，某時刻放出大量速率為v（方向垂直磁場方向）且比荷一定的帶正電粒子，不計重力與粒子間相互作用力。已知沿圖中與MN成角θ=60°射入的粒子恰垂直于PQ射出，請描述θ從0°到180°方向射入的粒子在磁場中運動時間的變化情況并求出運動時間的取值范圍。

解析：由題意可知，所有粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑相同，設(shè)為R，當(dāng)θ=60°方向射入時，相當(dāng)于該入射點在如圖三乙所示軌跡圓上的A點射入，將磁場邊界畫到該處，即MN過A點，PQ過圓心O點，由幾何關(guān)系

得

其他不同方向入射，也相當(dāng)于在軌跡圓上不同點射入磁場開始運動，仍把磁場邊界MN、PQ移動畫到相應(yīng)的位置，兩邊界之間的圓弧即為該方向射入時粒子在磁場中的運動情況，容易看出，當(dāng)粒子從B點射入時，在磁場中圓弧BC較短，用時也較短，當(dāng)粒子從D點射入時，其軌跡恰好與磁場右邊界PQ相切，弧長DE最長，用時也最長，然后隨著θ角增大，在磁場邊界內(nèi)粒子運動的圓弧越來越小，用時也越來越短，當(dāng)沿θ=180°方向射入時，相當(dāng)于從軌跡圓上的F點射入，用時最短為零。故時間的變化情況是先減小后增大到最大再減小到零。

當(dāng)從D點射入時，有? 可知

弧

時間的取值范圍為：

由上可知，該方法是將原來的磁場邊界不動、旋轉(zhuǎn)軌跡圓變成軌跡圓不動，移動磁場邊界，只不過是將不同的入射方向畫在軌跡圓上的相應(yīng)的點處，在同一圓周上來確定粒子在磁場中運動的圓弧段，對于比較簡單的磁場邊界這種方法便于比較、更易看出動態(tài)過程及臨界情況，可以化繁為簡，但是對比較復(fù)雜的磁場邊界，如圓形磁場邊界，此時移動邊界就是移動磁場邊界圓，與旋轉(zhuǎn)圓法類似，不能簡化，仍較繁雜。

（作者單位：南充高級中學(xué)）