索伯列夫空間的性質(zhì)

周建鋒　王宇

摘要：介紹了廣義函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，引入了索伯列夫空間的有關(guān)概念，討論了索伯列夫空間的一些性質(zhì)，應(yīng)用泛函分析方法，給出了這些性質(zhì)的證明。

關(guān)鍵詞：廣義函數(shù);弱導(dǎo)數(shù);索伯列夫空間;完備性;可分性;自反性

中圖分類號：O175.2;文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

1 引言

前蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)家索伯列夫在研究偏微分方程理論中系統(tǒng)地應(yīng)用了泛函分析方法，引進(jìn)的一類泛函空間被稱為索伯列夫空間，已成為研究非線性偏微分方程的有力工具，在微分方程、理學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)、物理學(xué)等近代理論研究中被廣泛的應(yīng)用。本文我們將介紹索伯列夫空間的有關(guān)概念，討論索伯列夫空間的一些性質(zhì)，并給出這些性質(zhì)的證明.

設(shè) 是 中的開集， 是一非負(fù)整數(shù)，向量 如果它的每一個分量都是非負(fù)整數(shù)，就稱 是一 重指數(shù)（指標(biāo)），并記 稱為 重指數(shù) 的長度.記 用 ，表示 階微分算子， .于是 . 表示由定義在 上所有連續(xù)且具有 階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 的函數(shù) 組成的集合， 簡記為 ，令 = ， 中的函數(shù)本身或某些階的偏導(dǎo)數(shù)可以

在 上無界. 表示由 且它和它的偏導(dǎo)數(shù) 在 上有界的全體函數(shù)組成的集合，若 是 中的有界區(qū)域，則空間 是Banach空間.

為了使泛函分析方法能夠應(yīng)用于偏微分方程，就必須擴(kuò)充導(dǎo)數(shù)的概念，索伯列夫建立的廣義函數(shù)理論把每個函數(shù)都看成廣義函數(shù)，每個廣義函數(shù)都是無窮次可導(dǎo)的，廣義函數(shù)實(shí)質(zhì)上是定義在一類性質(zhì)很好的函數(shù)組成單位基本空間上的線性泛函。在 ）中定義收斂性就能以它為定義域定義線性泛函，而且可以使它成為完備的空間。

2 廣義函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

定義1.1? Ω）（或? 稱 在 （或 ）中收斂于 ，如果滿足下列條件：

（1）存在K? Ω（或 ），使得 與 都包含在 中，即? ? ?， …

對于任意 重指數(shù) ，函數(shù)序列 在K上一致收斂 ，對于任意 重指數(shù) ，有?.

在給定上述收斂后，就稱 （或（ ）為基本函數(shù)空間（或簡稱為基本空間） .上述收斂記為

（在 （或在 ）中）.

由此可見，基本空間 （或（ ）與 （或 ）所含有元素相同，并且定義有上述收斂性. （或 ）中的元素成為基本函數(shù)或試驗(yàn)函數(shù).

設(shè) （或 ）， （ ，由 公式可知，成立等式

如果 是一 重指數(shù)， （或 ），重復(fù)使用 次 公式推出

因此把廣義函數(shù) 的 階廣義導(dǎo)數(shù) 用以下方式來定義

定義1.2 廣義函數(shù) 的 階廣義導(dǎo)數(shù)

（或 ）.

易證泛函 具有可加性和連續(xù)性且具有一致收斂性，故 是 （或D（R ）上的線性泛函。所以不難看出，廣義函數(shù) 的 階廣義導(dǎo)數(shù) 仍是一廣義函數(shù)，由于 可取任一 重指數(shù)，所以每一廣義函數(shù)有任意階的廣義導(dǎo)數(shù);求廣義函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)的次序無關(guān)。

Ω（或 ）上所有局部可積函數(shù)全體記為 （或 ）. （或 ）中每一個函數(shù) 對應(yīng)著一個廣義函數(shù) ，但不是每一個局部可積函數(shù)的廣義導(dǎo)數(shù)都是局部可積的.

設(shè) 于是 和 都是廣義函數(shù)，其中 是任意 重指數(shù).如果存在某一函數(shù) 且 ，就稱 是 的 階弱導(dǎo)數(shù)，即設(shè) 如果存在 滿足

就稱 是 在區(qū)域 上的 階弱導(dǎo)數(shù).若函數(shù) 的 階弱導(dǎo)數(shù)存在，則除去一個零測集外是唯一的，即弱導(dǎo)數(shù)具有唯一性.且具有下列性質(zhì)

設(shè) 則

（1）對于任意滿足 的 重指數(shù) 和 有

（2）對于每一 有?和

（3）若 是 的一開子集，則 .

3索伯列夫空間

定義3.1 空間

設(shè)任意開集? 是 重指數(shù)， 是非負(fù)整數(shù)，集合 的元素 的范數(shù)定義為

由于 顯然是線性空間，于是 是一線性賦范空間，稱 為 上的整數(shù)階索伯列夫空間。

特別的 ， 是 的子空間。如果 ，常常把 寫成 （ 1，2，…）. 是Hilbert空間. .

4索伯列夫空間的性質(zhì)

性質(zhì)4.1 空間是Banach空間.

證明 設(shè)? 中任一基本列，即

設(shè) 是定義在Ω上所有滿足 的可測函數(shù) 構(gòu)成的函數(shù)類，對任一 重指數(shù) ，序列 是 中的基本序列。因?yàn)?是一Banach空間，所以序列 在 中收斂于 .下面去證明 ，

由于 ，所以每一個 分別對應(yīng)一個廣義函數(shù)，分別記為 和 .

不妨設(shè) ，當(dāng) 時，利用Holder不等式可知

其中 是 的共軛指數(shù)。當(dāng) 時，有

而當(dāng) 時，直接得

因?yàn)?有界， 有界，所以可推得

.

同理可證當(dāng) 上式也成立.

所以 和 有

有弱導(dǎo)數(shù)的定義知

所以 ，其中 故性質(zhì)得證.

性質(zhì)4.2? 是集合 關(guān)于空間 范數(shù)的完備化空間.

因?yàn)?是Banach空間。于是 的充要條件是存在函數(shù)列 ，使得當(dāng) 時

性質(zhì)4.3設(shè) ，則 是可分空間.

性質(zhì)4.4? 設(shè) ，則 是可分的.

性質(zhì)4.5 設(shè) ，則乘積空間 是可一致凸的.

性質(zhì)4.6? ，則 是一致凸的.

證明 為了證明 的一致凸性和可分性，我們先建立 與乘積空間之間的關(guān)系.設(shè) 是一 重指數(shù)，用 或 表示滿足條件 的N重指數(shù) 的個數(shù)。顯然次數(shù)依賴 和 .把Q個N重指數(shù)依次序排列為 做乘積空間

乘積 中的元素 的范數(shù)定義如下：

則乘積空間 是Banach空間.可以在 和 的一個子空間 之間建立一個等距同構(gòu).

令 ，則算子 一對一地把 映射到 的一個子空間 內(nèi)，且 因此是一個等距同構(gòu)。因?yàn)?是Banach空間，所以 是乘積空間 中的一個閉集.

因?yàn)?，?dāng) 時， 是可分空間.設(shè)

其中 表示系數(shù)為有理數(shù)的多項(xiàng)式全體，

由于 是可列集，所以 也是可列集， 在 中稠密.因而 在 中稠密.故 是可分空間.

當(dāng) 時，由于 與 的子空間 等距同構(gòu)，所以也是可分的.類似地，通過證明 空間一致凸和自反可得 也是一致凸和自反的.

性質(zhì)4.7設(shè) ，則乘積空間 是自反的.

證明 設(shè)? 有唯一? 與之對應(yīng).

，令 而且

于是 因?yàn)?所以 故有

性質(zhì)4.8設(shè) ，則空間 是自反的.

參考文獻(xiàn)：

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基金項(xiàng)目：

陜西省教育廳科研計(jì)劃項(xiàng)目（15JK2157）;國家自然科學(xué)基金（10571114）

作者簡介：

周建鋒（1965-），男，陜西藍(lán)田人，副教授，主要從事算子理論和小波分析的研究.

（作者單位：西安文理學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院）