高中數(shù)學(xué)數(shù)列問題高考題型及解題方法探析

紀(jì)峰宇

[摘 要：本文從高考數(shù)學(xué)數(shù)列考點(diǎn)分類出發(fā)，并分析高考中數(shù)列通項(xiàng)公式類問題解析、高考中數(shù)列前n項(xiàng)和題型分析以及等差數(shù)列與等比數(shù)列性質(zhì)題型分析，借助高中數(shù)學(xué)數(shù)列問題高考題型及解題方法探析，以期為提升高考成績(jī)提供幫助。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；數(shù)列題型；通項(xiàng)公式；等差數(shù)列；等比數(shù)列]

一、高考數(shù)學(xué)數(shù)列考點(diǎn)分類

經(jīng)過對(duì)歷年來高考題型分析，其中數(shù)列題型占據(jù)著高考成績(jī)中較大部分的分值，而從歷年來高考題型分析顯示，在數(shù)列題型中主要以等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式以及在實(shí)際問題中的應(yīng)用等問題比較常見；在等比數(shù)列題型中，主要考查的部分為等比數(shù)列概念、前n項(xiàng)和以及在實(shí)際問題中的應(yīng)用為主。并且多數(shù)省份在考試過程中會(huì)采用一個(gè)大題和一個(gè)小題相結(jié)合，只有部分省份僅考一個(gè)小題，并且其考查的范圍也比較全面。通過對(duì)2018年全國(guó)高考數(shù)學(xué)卷中的數(shù)列部分進(jìn)行分析，其中共出現(xiàn)11種類型的題目，考查的難度偏中等，其中文科題型相對(duì)較為簡(jiǎn)單。其中主要涉及到填空題、選擇題和解答題等，考查的內(nèi)容包括了等差數(shù)列的性質(zhì)、等比數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì)以及數(shù)列的周期性等。

二、高考數(shù)列問題高考題型的分析及解決方案

（一）數(shù)列通項(xiàng)公式類問題解析

高考中數(shù)列的通項(xiàng)公式屬于其中最為重要的核心部分，其主要考查數(shù)列的基礎(chǔ)性質(zhì)，并對(duì)通向公式部分內(nèi)容的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行綜合考查。通項(xiàng)公式的考查主要涉及到已知遞推關(guān)系，題型為已知前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)之間的關(guān)系，從而求通項(xiàng)公式。

例1（2016山東理）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n2+8n，{bn}是等差數(shù)列，且an=bn+bn+1。

（1）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；

（2）令，求數(shù)列{Cn}的前n項(xiàng)和Tn。

在解此類題目時(shí)學(xué)生需要對(duì)題目進(jìn)行綜合分析和歸納，從而求出其通項(xiàng)公式。

分析：

（1）因?yàn)閿?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n2+8n，所以能夠求得a1=11，當(dāng)n大于等于2時(shí)，就會(huì)得到an=Sn-Sn-1=3n2+8n-3（n-1）2-8（n-1）=6n+5，同時(shí)對(duì)n=1時(shí)進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果顯示n=1時(shí)an=6n+5成立，因此通項(xiàng)公式為an=6n+5。

同時(shí)又因?yàn)閧bn}是一個(gè)等差數(shù)列，那么此時(shí)可以設(shè)公差為m，則可以得到an=bn+bn+1=2bn+m，當(dāng)n為1時(shí)，2b1=11-m；當(dāng)n值為2時(shí)，2b2=17-m，由此可得m值為3，因此能夠得到{bn}的通項(xiàng)公式：

（二）高考中數(shù)列前n項(xiàng)和題型分析

數(shù)列求n項(xiàng)和在高考中也比較常見，在解析此類問題時(shí)一定要找出其中的解題技巧，因此在解題時(shí)需要熟練掌握公式，借助給出的條件設(shè)立公式，對(duì)于一些特征不是很明顯的問題則需要借助其他方法完成。具體的規(guī)律可以歸納為倒敘相加法進(jìn)行解題，在解答此類題時(shí)需要先看一下公式中的開始和末位以及等距數(shù)值相加是不是常數(shù)，如果是就可以采用倒敘相加法進(jìn)行解題。

例2：已知函數(shù)f（X）=X2/（1+X2）。

（1）求其中f（2）與f（1/2），f（3）與f（1/3）。

（2）由（1）中求得的結(jié)構(gòu)，你回發(fā)現(xiàn)f（X）與f（1/X）有什么關(guān)系？同時(shí)證明你的結(jié)論。

（3）求f（1）+f（2）+f（3）+f（2013）+……+f（1/2）+f（1/3）+……+f（1/2013）。

解：

（1）解決起來非常簡(jiǎn)單，只需要將數(shù)據(jù)帶入公式中即可：f（2）=4/5；f（1/2）=1/5；f（3）=9/10，而f（1/3）=1/10；

（2）經(jīng)過（1）分析可得f（x）+f（1/x）=1；證得：；

（3）f（1）+f（2）+f（3）+……+f（2013）+f（1/2）+f（1/3）+……+f（1/2013）（在解答公式過程中可以采用倒敘相加法）可得：f（1）+[f（2）+f（1/2）]+[f（3）+f（1/3）]+……+[f（2013）+f（1/2013）]=1/2+2012最后計(jì)算可得2015/2。在此過程中需要注意總結(jié)其中的規(guī)律。

（三）等差數(shù)列與等比數(shù)列性質(zhì)題型分析

在解答等差數(shù)列與等比數(shù)列性質(zhì)題型過程中需要重視數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，但需要注意的是，在解題時(shí)一定不要采用生搬硬套的方式，避免題型不一樣造成解題錯(cuò)誤。同時(shí)在解題時(shí)學(xué)生還需要具備一定的逆向思維能力，在解答完問題后，根據(jù)問題答案驗(yàn)證結(jié)果是否正確，逆向思維的鍛煉需要學(xué)生平時(shí)多做一些高考真題，并注意發(fā)散思維的培養(yǎng)，在解題時(shí)靈活應(yīng)用、突破思維，在解一些選擇題、填空題時(shí)，實(shí)際上很簡(jiǎn)單只是學(xué)生容易把問題理解的太難，很多問題只需采用逆向思維就可找出答案，完全不需要采用公式解題，因此在解題過程中需要根據(jù)實(shí)際情況選擇適當(dāng)?shù)慕忸}思路，從而有效提高數(shù)列問題解答的準(zhǔn)確率。

三、結(jié)語

高考數(shù)列題目具有較強(qiáng)的邏輯性，因此在教學(xué)過程中教師需要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生進(jìn)行發(fā)散思維能力培養(yǎng)，根據(jù)不同題型選擇適當(dāng)?shù)慕忸}方法，從而縮短數(shù)列解題過程中所使用的時(shí)間，因此高中數(shù)學(xué)數(shù)列問題高考題型分析能夠充分應(yīng)用到高中數(shù)學(xué)考試中來。