關(guān)于圓中角平分線問題的一點思考

何懌熹

【摘 要】初三對圓的教學(xué)而言，是一個難點，又是一個重點。它往往會綜合初中階段所有的幾何知識。學(xué)生往往在解題時碰到與圓相關(guān)的問題時，特別是做到成都市中考題的第2、3問總有一種苦不堪言的感覺，中下水平的學(xué)生更是無從下手，看到此題便各種畏懼，老師教學(xué)時學(xué)生聽不懂也往往總是一聲嘆息。但是每每看到學(xué)生把圓問題的3問解出來后臉上的那種喜悅與亢奮愈發(fā)激發(fā)了我要與學(xué)生共同探究共同攻克難關(guān)的決心。當然，首先從我做起，分享下與學(xué)生共同探究，一題多解的過程，也談?wù)勗趫A教學(xué)中碰到的最多的角平分線問題給我的一些思考。

【關(guān)鍵詞】角平分線;模型;圓

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2019）28-0041-03

1? ?圓中角平分線模型圖的建立

圓中的性質(zhì)定理特別多，但是分類下來無外乎就涉及角、弧、線段三方面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，研究其本身圖形特點及與其三角形、四邊形的綜合問題時實際也是從這三方面出發(fā)，只是探究其彼此之間更深層次的關(guān)系而已[1]。于是我把初三階段用得比較多的圓中角平分線問題做了一個關(guān)系梳理，引導(dǎo)學(xué)生從基本圖形中挖掘出常見的結(jié)論以及已學(xué)的性質(zhì)定理、基礎(chǔ)模型圖等綜合形成圓中角平分線模型圖，并將其遷移至實際解題中去。

1.1? 有直徑，圓中角平分線平分銳角

基本模型及基本結(jié)論：

此模型的結(jié)論也是看圖分析的過程，從角的關(guān)系到線的位置和數(shù)量關(guān)系以及線段的組合關(guān)系都給了各種知識的交互使用，可以在后面很多圓的題型中剝離出此模型圖的分支來，學(xué)生在解題時可運用模型圖的思考迅速地識圖并找到對應(yīng)關(guān)系，快速解題。

1.2? 有直徑，圓中角平分線平分直角

基本模型及基本結(jié)論：

此模型在上一模型的基礎(chǔ)上拓展延伸，從角的關(guān)系到線的位置數(shù)量關(guān)系，以及特殊三角形，全等圖形的構(gòu)造，旋轉(zhuǎn)的運用，可以關(guān)聯(lián)到圖形中面積恒等即定值的問題。融合了多種圖形的分析思路，當把此圖作為模型圖給學(xué)生分析透后，學(xué)生自然會感受在復(fù)雜圖形中抽絲剝繭還原到我們最原始的基本圖形中來。

2? ?圓中角平分線模型的運用

例題：圖2，半圓⊙O的直徑AC=6 cm，弦AB=10 cm，將半圓沿著過點A的直線折疊，折疊后使得弦AC恰好落在直徑AB上，則折痕AD的長為____cm.

此題看似屬于翻折問題，但是不同于之前三角形和四邊形的翻折過程會出現(xiàn)線段相等，實質(zhì)上AD就是圓中∠CAB的角平分線，即∠CAD=∠DAB，如何對這個題給學(xué)生做分析，我做了如下引導(dǎo)：

（1）從角的關(guān)系出發(fā)：兩角相等，由圓中角的性質(zhì)來看，兩角均屬于圓周角，因此可利用轉(zhuǎn)換思想考慮弧等對應(yīng)的圓心角與圓周角的關(guān)系。

法一：①首先在等弧條件下，2倍弧所對的圓周角=1倍弧所對的圓心角，這個其實也是基本模型圖1中第（1）（2）條的結(jié)合。

具體做法：連接BC、OD交于點M，過點D做DH⊥AB于點H，由∠CAD=∠DAB推其圓周角所對的弧等，再充分利用等弧條件下：2倍弧所對的圓周角=1倍弧所對的圓心角，得到等角關(guān)系，最后在RT⊿ACB=90o利用勾股定理以及三角函數(shù)的關(guān)系求得DH、OH的長。

法二：②由上述的角等可推線平行，再用平行線分線段成比例也就回歸到我們圓中角平分線基本模型圖1中的第5條，中位線的原型即顯露出來，再利用勾股定理來解決就顯得非常順暢了。

具體做法：連接DB，可由∠CAB=∠DOB推得OM∥AC，再由平行線分線段成比例推得OM為⊿ABC的中位線，求得OM、BM和DM的長度，此時在Rt⊿DMB中，運用勾股定理可求DB長度，最后在Rt⊿ADB中，求得AD長度。

法三：③沿著法二中平行線的思路可聯(lián)想到利用平行線構(gòu)造相似圖形，而過圓上的點同時向直徑作垂線構(gòu)相似的同時還會出現(xiàn)我們的射影模型圖。

具體作法：過點D作DM⊥AB，過點C作CH⊥AB于點H，可發(fā)現(xiàn)⊿ACH∽⊿ODM，運用相似比或者借助三角函數(shù)均可求出DM的長度，此時再由CH⊥AB，“雙垂型”的模型便顯而易見了，射影定理AC2=AH·AB可輕松的求得AH的長度，這樣一來OM的長度自然迎刃而解，最后回歸法一的Rt⊿ADH中，勾股定理求得AD。

（2）從線段的角度來看：線段AD的本質(zhì)即角平分線，在初中階段，涉及角平分線的知識無外乎兩點：一是角平分線性質(zhì)定理的運用，二是其三線合一的知識的

運用。

法四：①由角平分線性質(zhì)定理：角平分線上一點到角兩邊的距離相等，可構(gòu)造出全等三角形，回歸基本模型圖1的第（6）（8）條。

具體做法：連接BC后與AD交于點Q，過點Q做QH⊥AB于點H，此時角平分線產(chǎn)生的全等圖形⊿ACQ≌⊿AHQ，AH=AC=6，BH=4，可設(shè)CQ=QH=a，則BQ=8-a，在Rt⊿BHQ中，可得勾股方程求得a的值，在Rt⊿ACQ中AQ的長度勾股定理也可求，再連接BD，利用同弧所對圓周角相等關(guān)系結(jié)合三角函數(shù)求得DQ。

法五：②利用等弧和等腰三角形性質(zhì)構(gòu)造全等三角形，再利用三線合一構(gòu)造射影模型。

具體做法：連接CD，在AB上截取AM=AC，連接DM，此時的全等三角形⊿ACD和⊿AMD便構(gòu)造出來，AM=AC=6，DM=CD，再連接BD，由∠CAD和∠DAB兩圓周角等對弧等，再對弦CD=BD，可知⊿MDB為等腰三角形，此時考慮三線合一的知識過點D做DH⊥AB于點H就顯得非常順暢了，MH=BH=2及AH=8也能輕松求解。同時“雙垂型”的模型又再次凸顯出來，利用射影定理AD2=AH·AB求AD便不再是難事。

法六：③在構(gòu)造全等和射影定理的運用中我們又可以發(fā)現(xiàn)對∠ADB=90o的運用，簡而言之，AD在做角平分線的同時還出現(xiàn)垂直關(guān)系，我們不妨把AD看成BD的高線，那三線合一構(gòu)造等腰三角形的思路便逐漸清晰起來，也就是回歸到我們基本模型圖1的第（7）（8）條。這樣一來全等圖形，射影模型就都一一呈現(xiàn)出來。

具體作法：在法五的基礎(chǔ)上延長BD、AC交于點P，此時的⊿ABP即為等腰三角形，可得AP=AB=10，CP=4，PD=DB，由法五的CD=DB，又會發(fā)現(xiàn)⊿CDP為等腰三角形，再過點D做DM⊥AP于點M，三線合一得CM=MP=2，結(jié)合角平分線性質(zhì)定理易得DM=DH，從而找到全等三角形⊿MPD≌⊿HBD，推得BH=MP=2，AH=8，最后回歸⊿ADB中利用射影定理求AD。

法七：④用基本模型圖1的第（7）條，由A、B、C、D為圓上四點，結(jié)合AD既做角平分線又做高線的特點，會發(fā)現(xiàn)圓內(nèi)接四邊形，這樣借助圓內(nèi)接四邊形外角等于內(nèi)對角的性質(zhì)找相似三角形，可將求解過程大大簡化。

具體做法：延長BD、AC交于點P后，連接CD，由圓內(nèi)接

四邊形性質(zhì)，易證⊿PCD∽⊿PBA，得，再求出BD的長度，AD長也自然易求了。

法八：⑤用基本模型圖1的第（7）條，由直徑所對圓周角為90o，圓上兩點分別與直徑端點相連時均會構(gòu)造出直角三角形，結(jié)合之前三線合一出現(xiàn)的等腰三角形⊿ABP來考慮。

具體做法：將法七中的連接CD換成連接BC，放在Rt⊿PCB中，AP=AB=10，AC=6，CP=4，BC=8，勾股定理可求PB的長，再由PD=DB，求得DB長，繼續(xù)放在Rt⊿ABD中，勾股定理求AD。

（3）由線段AD放在圓的本質(zhì)即為弦，而AB為直徑的特點，還可考慮作弦心距利用垂徑定理只要求得AD的一半即可求解，而在角平分線的前提條件下結(jié)合弦心距產(chǎn)生的直角，自然也就出現(xiàn)三線合一的情況，從而判定出等腰三角形。

具體做法：過O做ON⊥AC于N，過O做OM⊥AD于M并延長與AC交于點Q.在Rt⊿ANO中，由垂徑定理、勾股定理可求AN、ON，由三線合一可得AQ=OA，再運用勾股定理求得OQ、AM的長，AD也就輕松得之了。

在圓中角平分線問題的基本模型圖1的指引下，整個多方法分享過程給學(xué)生帶來了一場思維盛宴，每出一種新方法學(xué)生都不由自主的歡呼雀躍、鼓掌，我能看到他們臉上流露的發(fā)自肺腑的喜悅。此題經(jīng)過我們師生多維度的分析與探究，已經(jīng)將初中所學(xué)幾何知識的極大部分進行了充分運用，并能遷移至各種多變題型中，用實踐來檢驗?zāi)Ｐ蛨D的強大之處。而對此題還沒有使用到模型圖1和模型圖2的結(jié)論，在實際解題的過程中，還和學(xué)生共同發(fā)現(xiàn)了其影子，原來談“圓”色變的學(xué)生現(xiàn)在對圓竟饒有興致了。

3? ?結(jié)語

在這個探究過程中我也切實領(lǐng)悟到我們的教學(xué)需要更多的研究與思考，我們的題在于精而不在多，我們的講解在于透而不在繁。在探究的過程中我們師生也在相互促進，在探究的過程中我們也發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的各種趣味性、巧妙性以及延展性，不但與學(xué)生共同感受知識的博大精深，也激發(fā)我們勇于思考，彼此分享與交流的情感。這種情懷不僅受益于我，更受益于我們的學(xué)生。

【參考文獻】

[1]蓉城學(xué)堂編委會.蓉城學(xué)堂 中考總復(fù)習(xí)點擊與突破（作業(yè)手冊[M].成都：四川大學(xué)出版社，2019.