淺談格林公式在計算曲線積分中的應(yīng)用

李玉榮

摘要：本文通過舉例展示了格林公式及由格林公式推導(dǎo)出的四個等價命題在計算第二型曲線積分中發(fā)揮著非常重要的作用。

關(guān)鍵詞：格林公式;曲線積分

格林公式將平面閉區(qū)域上的二重積分與沿閉區(qū)域的邊界曲線上的第二型曲線積分聯(lián)系了起來。

一、下面先給出格林公式及由格林公式推導(dǎo)出的四個等價命題

定理（格林公式）：設(shè)閉區(qū)域由分段光滑的曲線圍成，若函數(shù)（，）及（，）在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有

其中是的取正向的邊界曲線。

由格林公式可以推出以下四個等價命題，即在前提條件成立的情況下，以下四個命題是等價的。這四個命題在曲線積分的計算中發(fā)揮著非常重要的作用。

條件：j區(qū)域是單連通區(qū)域（若對于平面區(qū)域上任一封閉曲線，皆可不經(jīng)過以外的點而連續(xù)收縮于屬于的某一點，則稱此平面區(qū)域為單連通區(qū)域，通俗地說，單連通區(qū)域是沒有“洞”的區(qū)域）;

k（，）及（，）在內(nèi)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。

四個等價命題：

1、在內(nèi)，與路徑無關(guān)，只與起點、終點有關(guān)。

2、

3、在內(nèi)存在，使

4、在

注意：以上四個命題等價的兩個條件缺一不可。

二、舉例

1、當給定曲線較復(fù)雜時，可以利用積分與路徑無關(guān)，選取簡單路線。

例1 計算，其中為由點到點的曲線弧。

解：由于曲線較復(fù)雜，所以先檢驗積分是否與路徑無關(guān)。

滿足第4個命題，從而由命題1，原積分與路徑無關(guān)。

所以選取為的折線，

2、當給定曲線較復(fù)雜，但積分與路徑有關(guān)時，可以補充曲線使其封閉，然后利用格林公式來計算。

例2 計算，其中為由點（a，0）到點（0，0）的上半圓周+=，。

解

即，積分與路徑有關(guān)。

補充曲線為（0，0）到（a，0）的線段，

所以原式

3、若是某個函數(shù)的全微分，則可利用曲線積分求出該函數(shù)，即

例3 驗證在整個平面內(nèi)是某一函數(shù)的全微分，并求這樣的一個。

解：由于

所以是某一函數(shù)的全微分，且

參考文獻：

[1]高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社.2014

[2]數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社.2010