高三解題教學中的“說數(shù)學”實踐研究

鄭花青

摘要：“說數(shù)學”，即學生用自己掌握的數(shù)學語言來闡述對所學數(shù)學知識、問題和方法的認識、理解與選擇，表達自己對數(shù)學學習、認知和解題等的體驗、感悟和情緒，進而與老師對話、與同學交流。在梳理高三解題教學中“說數(shù)學”的可行性與必要性的基礎上，提出實踐路徑：重點在理解題意、尋找思路、總結(jié)反思環(huán)節(jié)，通過一些提示語，讓學生明確需要做什么，并且把做的過程和結(jié)果說出來。

關鍵詞：說數(shù)學解題教學理解題意尋找思路總結(jié)反思

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》把“提升學生的數(shù)學素養(yǎng)，引導學生會用數(shù)學眼光觀察世界，會用數(shù)學思維思考世界，會用數(shù)學語言表達世界”作為“課程性質(zhì)”之一，在“學科核心素養(yǎng)”的解讀中也多次提到數(shù)學語言表達與交流能力的重要性。那如何落實這些理念呢？

結(jié)合多年的教學經(jīng)驗，筆者認為，可以采取“說數(shù)學”的方式，即讓學生用自己掌握的數(shù)學語言來闡述對所學數(shù)學知識、問題和方法的認識、理解與選擇，表達自己對數(shù)學學習、認知和解題等的體驗、感悟和情緒，進而與老師對話、與同學交流。“說數(shù)學”活動，能夠引導學生會用數(shù)學眼光觀察世界，會用數(shù)學思維思考世界;促進學生克服表達障礙，會用數(shù)學語言表達世界;進而讓學生從更加寬闊的視角審視數(shù)學學習，有效提高數(shù)學解題能力。

一、高三解題教學中“說數(shù)學”的可行性與必要性

（一）可行性

首先，經(jīng)過高一、高二的數(shù)學學習，學生已經(jīng)對高中數(shù)學知識有了豐富的儲備，對高中數(shù)學課程體系有了基本的了解，熟悉一些處理數(shù)學問題的基本思想方法，具備了一定的數(shù)學素養(yǎng)和思維水平。這為高三解題教學中“說數(shù)學”活動的開展提供了前提條件。

其次，在種類繁多的數(shù)學問題的解決過程中我們可以發(fā)現(xiàn)，許多問題的解決實質(zhì)上包含了一個程序、一系列的動作和一套運算系統(tǒng)。這讓高三解題教學中“說數(shù)學”活動的開展具備了有效的操作范式。

（二）必要性

1.讓學生真正參與思維過程，“知其所以然”，提升解題能力。

長期以來，高三解題教學自覺或不自覺地遵從了教師權威、解法本位和精英主義的教育價值取向，于是“滿堂灌”“飛來解”“快速過”成為普遍存在的現(xiàn)象。在這樣的教學模式下，學生只能被動接受解題的結(jié)果，無法真正參與思維的過程;只能“知其然”，無法“知其所以然”;只能機械模仿，無法靈活應用。學生缺少體驗和理解，解題能力停留在較低的層次——表現(xiàn)為“聽得懂、說不出、寫不全、算不對”，即“似會”。

語言是思維的載體，數(shù)學思維是數(shù)學語言的內(nèi)在表達。“想清楚”才（就）能“說明白”。解題教學中的“說數(shù)學”活動可突出學生的主體地位，讓學生在說的過程中關注自己的思維過程，發(fā)現(xiàn)解法中的一些實質(zhì)性步驟、關鍵性環(huán)節(jié)及其動機和來源（波利亞所謂的“病歷”），進一步理清自己解決問題的模式和思路，積累屬于自己的解題經(jīng)驗與方法，進而真正提高解題能力，實現(xiàn)“真會”。

2.讓學生充分優(yōu)化思維表達，發(fā)展理性思維，改善學習態(tài)度。

“說數(shù)學”不僅是一個表達自己想法的過程，而且是一個使別人理解、信服的過程。在解題教學中，要讓別人理解、信服自己的話，就必須在意識原生的基礎上經(jīng)過辨別、選擇、分析、綜合、聯(lián)系、比較、概括、提煉、組織、整理等一系列思維優(yōu)化的過程，進而簡明流暢、有理有據(jù)地表達出來。

在這個“能說—會說—說好”的過程中，學生能夠充分發(fā)展理性思維，改善學習態(tài)度——這些也是學習金字塔理論認為“講出來”、做“小老師”，才能“學進去”、才是最好的學習方式的原因。

二、高三解題教學中“說數(shù)學”的實踐路徑

波利亞解題模型將數(shù)學解題分為理解題目、擬訂方案、執(zhí)行方案、回顧四個步驟，也就是我們解題教學中常說的理解題意、尋找思路、書寫解答、總結(jié)反思四個環(huán)節(jié)。因為在教學中，解題活動最終呈現(xiàn)的往往只有書寫解答環(huán)節(jié)，所以，筆者重點在理解題意、尋找思路、總結(jié)反思環(huán)節(jié)，通過一些提示語，讓學生明確需要做些什么，并且把做的過程和結(jié)果說出來。通過這樣的“說數(shù)學”活動，提高學生的思維能力、表達能力以及解題能力。

（一）在理解題意環(huán)節(jié)“說數(shù)學”

理解題意是解題活動的開始，也是最重要的一步。波利亞指出：在理解題目時，首先要理解題目的語言陳述——弄清楚未知量是什么，已知數(shù)據(jù)是什么，條件是什么;其次要深入理解題目——將題目的主要部分分離出來，弄清楚那些后續(xù)很可能會起作用的細節(jié)。

為此，筆者嘗試使用如下提示語，引導學生在理解題意環(huán)節(jié)“說數(shù)學”：（1）這是一個什么問題？要求（證）的是什么？（考查什么知識點？越具體越好）（2）已知條件有哪些？（弄清楚每個已知條件的含義）（3）主要條件和關鍵細節(jié)是什么？（明確可能需要深究或轉(zhuǎn)換的已知條件）（4）解決這個問題有哪些工具？（聯(lián)想相關概念、命題、公式、方法）當然，這些提示語不是讓學生做簡單的形式上的思考和回答，還需要學生深究與題目相關的每一個對象、性質(zhì)及相互關系與轉(zhuǎn)化。只有這樣，題意理解才能發(fā)揮解題功效。

例1在平面直角坐標系xOy中，已知A（-12，0）、B（0，6），點P在圓O：x2+y2=50上，若PA·PB≤20，則點P的橫坐標的取值范圍是。

對于此題，學生在上述提示語的引導下，說出了如下一些理解題意相關的內(nèi)容：

（1）這是一個求變量范圍的問題，要求點P的橫坐標的取值范圍。

（2）已知A（-12，0）、B（0，6），即兩個定點;點P在圓O：x2+y2=50上，表示點P的坐標滿足圓O的方程x2+y2=50;PA·PB≤20，表示向量PA與PB的數(shù)量積小于或等于20。

（3）與點P的橫坐標直接有關的主要條件有兩個：一是點P在圓O：x2+y2=50上;二是PA·PB≤20。對兩者可以進行幾何轉(zhuǎn)化。對后者可以深究，從而得到：點P在另一個定圓內(nèi)。

（4）范圍問題的代數(shù)方法是解變量滿足的不等式或建立變量的函數(shù)后求其值域，幾何方法為轉(zhuǎn)換為圖形位置關系研究。

……

學生“說題意”后，教師點評：深入理解題意就是盯住結(jié)論點P的橫坐標的取值范圍，追問關鍵條件PA·PB≤20是什么，深究主要條件“點P在圓O：x2+y2=50上”與“PA·PB≤20”之間，以及它們與結(jié)論“點P的橫坐標的取值范圍”之間有什么聯(lián)系及轉(zhuǎn)換。

（二）在尋找思路環(huán)節(jié)“說數(shù)學”

尋找思路就是把理解題意中捕捉到的信息與從自己的經(jīng)驗中提取出的信息結(jié)合起來，進行加工、重組與再生的過程。因為理解題意角度的不同，自己經(jīng)驗的不同，加工、重組與再生方式的不同，所以產(chǎn)生的解題思路也可能不同。在解題教學中，學生往往能聽懂或看懂別人的解題過程，但是對其中的“奇思妙想”很難接受，因為自己很難想到。所以，了解解題過程是怎樣產(chǎn)生的、背后的思路（想法）是什么，是提高解題能力的關鍵。

波利亞指出，一種解題的方法，如果是經(jīng)過自己的努力得到的，或者是從別人那里學來的，但經(jīng)過了自己的體驗，那么對于自己來講，就可以成為一個范式：再碰見其他類似問題時，就成為可以仿照的模型。所以，“說解題思路”的關鍵在于說清楚思路（想法）的來源，讓聽者更容易理解和接受，最好能激發(fā)共同體驗，產(chǎn)生共鳴。

為此，筆者嘗試使用如下提示語，引導學生在尋找思路環(huán)節(jié)“說數(shù)學”：（1）思路來源是什么？（由什么條件或結(jié)構(gòu)想到的？越具體越好）（2）使用的知識與方法是什么？（知識越具體越好，方法可以有不同的層次）（3）具體的思路是什么？（給出解題的主要步驟或關鍵環(huán)節(jié)）

例2已知實數(shù)x>0，y>0，且滿足8x+2y=1，求x+y的最小值。

對于此題，學生在上述提示語的引導下，說出了如下一些解題思路相關的內(nèi)容：

（1）我的思路來源于本題的條件和結(jié)論符合利用基本不等式求最值的一個常見模型：當x>0，y>0，且ax+by=c（a、b、c為正常數(shù)），求x+y的最值。使用的知識是基本不等式。方法是常數(shù)代換法，本題是“1”的代換。具體過程為：x+y=（x+y）8x+2y=10+8yx+2xy≥10+216=18，當且僅當8yx=2xy且8x+2y=1，即x=12，y=6時，等號成立。

（2）我的思路來源于多元變量求最值的消元法：對于二元變量的最值問題，可以利用已知條件消去一個變量，然后看成一元變量的函數(shù)最值或不等式問題。使用的知識是等式的性質(zhì)和基本不等式。方法是代換消元、恒等變形和整體思想。具體過程為：由條件得2x+8y=xy，得y=2xx-8（x>8），所以x+y=x+2xx-8=x-8+16x-8+10≥216+10=18，當且僅當x-8=16x-8，即x=12，y=6時，等號成立。

（3）我的思路來源也是多元變量求最值的消元法，但是在消元后用導數(shù)求最值。使用的知識是等式的性質(zhì)和導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系。方法是代換消元和恒等變形。具體過程為：由條件得2x+8y=xy，得y=2xx-8（x>8），所以x+y=x+2xx-8。令f（x）=x+2xx-8，則f′（x）=1-16（x-8）2。令f′（x）=0，得x=12。當x∈（8，12）時， f′（x）<0，故f（x）單調(diào)減;當x∈（12，+∞）時， f′（x）>0，故f（x）單調(diào)增。所以當x=12時，f（x）取得極小值也是最小值，即fmin（x）=f（12）=18。

（4）我的思路來源于數(shù)形結(jié)合：將代數(shù)方程（式子）看成幾何曲線（圖形）。使用的知識是函數(shù)的圖像和方程的曲線。方法是數(shù)形結(jié)合。具體過程為：令x+y=t，則y=-x+t。由2x+8y=xy，得y=2+16x-8（x>8）。于是，問題轉(zhuǎn)化為研究動直線y=-x+t與定曲線y=2+16x-8（x>8）的位置關系。畫出草圖可知，當它們相切時，直線在y軸上的截距t取到最小值。由f（x）=2+16x-8，得f′（x）=-16（x-8）2。令f′（x）=-1，解得x=12，y=6。

……

學生“說解題思路”后，教師點評：本題同學們的想法都很好！探究想法背后的“靈感”，可以發(fā)現(xiàn)，它們都是因“源”而起的妙招！這個“源”就是多元變量與函數(shù)最值問題的常見處理策略。代數(shù)方法首先需要消元，無論利用基本不等式直接消元（思路1），還是利用已知等式代入消元（思路2、3），都是可行的，只是方法優(yōu)劣的差異。幾何轉(zhuǎn)化意識也非常重要，數(shù)形結(jié)合是解題的常用利器。此外，值得一提的是，二次型函數(shù)（曲線）求最值（切點）時，還可以采用判別式法。

（三）在總結(jié)反思環(huán)節(jié)“說數(shù)學”

總結(jié)反思，簡單地說，就是解題完成以后回過頭來檢驗自己的解答過程以及得到的答案，更重要的是概括與提煉解決此類問題的規(guī)律和模式。波利亞指出，假如想從解題中得到最大的收獲，就應當從所做題目中找出它的特征，因為這些特征在以后求解其他問題時，能夠起到指引作用。所以，“說總結(jié)反思”的關鍵在于說清楚題目類型、解題所用知識與方法，獲得本質(zhì)上的認識和感悟，形成一類問題的特征和處理方法。

為此，筆者嘗試使用如下提示語，引導學生在總結(jié)反思環(huán)節(jié)“說數(shù)學”：（1）這個問題的圖1

類型是什么？（問題的本質(zhì)是什么？越具體越好）（2）這個問題的解決對你有什么啟發(fā)？（獲得可以推廣的規(guī)律或方法）（3）你能否嘗試提煉、概括解決該類問題的規(guī)律與模式？（嘗試利用算法思想表達解決此類問題的流程）

例3已知函數(shù)f（x）=x（ex-2），g（x）=x-ln x+k，k∈R。記函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）。 若F（x）>0的解集為（0，+∞），求k的取值范圍。

對于此題，學生在上述提示語的引導下，說出了如下一些總結(jié)反思相關的內(nèi)容：

（1）從理解題意上說，含參函數(shù)F（x）>0的解集為定義域，等價于含參函數(shù)F（x）在定義域上恒大于0，等價于含參函數(shù)F（x）在定義域上的最小值大于0。因此，問題的本質(zhì)是求函數(shù)的最值。

（2）利用導數(shù)研究函數(shù)F（x）在定義域上的最值（或極值、單調(diào)性），需要確定導函數(shù)F′（x）在定義域上的符號（正、負或0），可以對導函數(shù)F′（x）因式分解，然后舍棄其中符號確定的部分，研究余下符號不確定的部分（本題中為h（x）=ex-1x（x>0）。

（3）研究導函數(shù)符號不能確定的部分h（x）的符號（正、負或0），發(fā)現(xiàn)零點存在但是難以求出時，可以設為x0，利用零點x0滿足的方程（本題中為ex0=1x0）化簡原函數(shù)的最值F（x0）（本題中最終化為1+k），達到最值不等式可解的目的。

（4）解決利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、極值、最值有關問題的一般模式如圖1所示。

學生“說總結(jié)反思”后，教師點評：前三位同學對解題過程中的一些關鍵步驟（方法）做了一般化總結(jié)，而最后一位同學則在他們的基礎上總結(jié)出了解決此類問題的一般模式。非常好！

*本文系江蘇省教育科學“十二五”規(guī)劃立項課題“‘說數(shù)學’在高中數(shù)學學習中的探索與研究”（編號：D/2015/02/12）和江蘇省教育科學“十三五”規(guī)劃立項課題“回歸本質(zhì)：高中數(shù)學解題教學模式創(chuàng)新實踐研究”（編號：D/2016/02/69）的階段性研究成果。

參考文獻：

[1] ﹝美﹞G.波利亞.數(shù)學的發(fā)現(xiàn)：對解題的理解、研究和講授[M].劉景麟，曹之江，鄒清蓮，譯.北京：科學出版社，2006.

[2] ﹝美﹞G.波利亞.怎樣解題：數(shù)學思維的新方法[M].涂泓，馮承天，譯.上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2007.