非線性高維擾動Klein-Gordon方程的孤子波攝動解

徐建中　莫嘉琪

摘要：利用廣義變分迭代方法討論了一類非線性強迫擾動Klein-Gordon方程.首先，用雙曲函數待定系數法求得了無擾動方程孤子波.其次，利用泛函變分迭代原理得到了強迫擾動Klein-Gordon方程的一個攝動近似解.最后，論述了解的一致有效性.得到的近似解是解析式，它可對近似解進行解析運算，這對用簡單的模擬方法得到的近似解是達不到的.

關鍵詞：攝動解;孤子波;變分迭代

中圖分類號：0157.29

文獻標志碼：A

DOI： 10.3969/j.issn.1000-5641. 2019.06.003

0 引言

非線性孤子波理論在地球物理、光學、力學、理論物理學等學科中有很重要的應用.例如在地理科學、海洋物理、散射波、燃燒理論等方面，許多學者作了多方面的研究，如Salathiel等利用Riccati方程映射方法研究了電晶格孤子行波[1]，Yu等研究了Bose-Einstein冷凝體的孤子波[2]、 Chow等研究了K-折疊松散的Ricci孤子波[3]，等等[4-9].非線性孤子波理論的定量和定性方法已有很多的改進，非線性孤子波解的一種研究方法是擾動理論的近似方法，主要是用擾動理論的近似展開式將非線性孤子波方程轉化為易求解的方程來求解，這樣就擺脫了對于模擬數值方法的依賴.此方法的優(yōu)點在于思路直接明了，計算簡單，可得到解的較高近似度.且求得的近似解具有解析性態(tài)，故不但能進行定量方面的分析，而且還能進行定性方面的分析.此方法使用面廣，具有較廣的研究前景，

作者等人利用廣義變分迭代、同倫映射、微分不等式和不動點理論等方法也研究了一些孤立波理論及有關的非線性問題[10-15].本文就是研究一類非線性高維擾動KG（Klein-Gordon）方程.對于一般較典型的KG方程已有許多研究，它代表的是許多自然現象的簡化情形.但此類方程已經不完全能滿足當前科學發(fā)展的要求，所以需要研究更能反映自然現象的廣義非線性高維強迫擾動KG方程.

1 非線性高維擾動KG方程

考慮如下廣義非線性擾動KG方程：其中a，m，k為正的常數，f為非線性強迫擾動項，它是關于其變量為足夠光滑的函數.

近年來，關于非線性KG方程解的研究大體集中在兩個方面.一方面是利用分析方法求出各種方程的精確解，如He等[16]利用推廣的F展開方法求得了某類發(fā)展方程的精確解，Zhang等[17]利用變形映射方法給出了方程的精確解;另一方面是定性地研究解的性態(tài)，如Zhang等[18]對KG方程給出波函數和能量方程.Teman[19]證明了一類KG方程整體吸引子的存在性.近來，典型的非線性KG方程還有許多研究，例如文獻[20-22]等，但一般的典型KG方程代表的是各種自然現象的精簡和濃縮，它不能滿足當前科學發(fā)展的需要，故有必要來研究更能表示真實自然現象的廣義擾動KG方程.顯然，復雜的非線性方程一般不能求出其精確解.本文提出了一類更一般的帶有非線性高維擾動KG方程（1）的求近似解方法，得到的這種近似解又可以繼續(xù)進行解析分析，進而能得到更深入的物理性態(tài)。

首先作行波變換：

不失一般性.上述所列出的孤子波行波解（II）、（12），在泛函變分迭代方法下，都可作為擾動KG方程的泛函迭代式的初始近似，本文是利用式（9）作為初始近似.即u0（z）=v1（z），并以此來求出對應的各次近似解.

2 強迫擾動KG方程解的變分迭代

為了求得非線性強迫擾動KG方程（3）具有較好精度的近似解，現采用泛函分析變分迭代方法[16].作泛函F：

取ε= 0.5，由式（23）、（24）得到非線性擾動KG方程（21）的孤子波解的一次微擾方程近似解ulapp （w）與模擬精確解的曲線比較，如圖2所示.

4 強迫擾動KG方程近似行波解的意義

本文選取的初始近似u0。是采用典型KG方程的孤子波解.它能較快求出對應于有擾動項情形下的KG方程在所要求精度范圍內的近似解.

由泛函變分迭代方法得到的非線性強迫擾動KG方程的孤子波近似解uapp（t，x，y，z）是近似的解析關系式，還可通過解析運算，譬如進行微分、積分等運算，繼續(xù)對非線性強迫擾動KG方程的孤子波解作進一步研究而得到其他相關的物理性態(tài).例如，可以通過解析式uapp（t，x，y，z）用微分運算計算出非線性擾動KG方程的孤子波解uapp（t，x，y，z）的關于x，y，z或t的變化率的分布情況，以此了解對應孤子波的相關特性.再如，由近似函數u app算出強迫擾動KG方程的孤子波解的波峰值、波谷值、拐點等.還可得到有關非線性強迫擾動KG方程在大氣、海洋物理、散射波、量子力學、燃燒理論等等的其他物理量的預測.而且還可采取適當措施，改變強迫擾動KG方程的非線性擾動項，以得到所要求的大氣、物理、地理等方面的性狀。

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（責任編輯：林磊）

收稿日期：2018-08-14

基金項目：國家自然科學基金（41275062）;安徽省高校自然科學研究重點項目（KJ2017A704，KJ2019A1303）;安徽省高校優(yōu)秀青年人才支持計劃項目（gxyq2018116）;安徽省優(yōu)秀教學團隊基金（2016jytd080）;毫州學院自然科學研究重點項目（BY22018803）

第一作者：徐建中，男，副教授，研究方向為應用數學、生態(tài)數學.E-mail： xujianzhongok@163.com.

通信作者：莫嘉琪，男，教授，研究方向為應用數學、生態(tài)數學、數學物理、工程數學.E-mail： mojiaqi@mail.ahnu.edu.cn.