知識(shí)結(jié)構(gòu)再生長(zhǎng)，問題變式在聯(lián)想

諸士金

摘要：以“生長(zhǎng)數(shù)學(xué)”理念為指導(dǎo)，設(shè)計(jì)和實(shí)施了蘇科版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第2章《對(duì)稱圖形——圓》復(fù)習(xí)課第一課時(shí)的教學(xué)。其教學(xué)價(jià)值有：彰顯圓的元素及元素關(guān)系的知識(shí)結(jié)構(gòu);聚焦圓及其他圖形之間關(guān)系的問題變式。其教學(xué)過程主要分為兩個(gè)環(huán)節(jié)：借助圓的基本圖形，重建知識(shí)結(jié)構(gòu);基于圓的典型圖形，進(jìn)行問題變式。由此得到對(duì)復(fù)習(xí)課的教學(xué)反思：關(guān)注元素及元素關(guān)系的知識(shí)結(jié)構(gòu)生長(zhǎng);突出“強(qiáng)化、弱化、互逆化”的問題變式聯(lián)想;通過“適時(shí)分步介入”調(diào)整教學(xué)節(jié)奏。

關(guān)鍵詞：《對(duì)稱圖形——圓》復(fù)習(xí)課知識(shí)結(jié)構(gòu)問題變式

蘇科版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第2章《對(duì)稱圖形——圓》內(nèi)容較多，常常分為多個(gè)課時(shí)來復(fù)習(xí)。其中，第1—4節(jié)《圓》《圓的對(duì)稱性》《確定圓的條件》《圓周角》的主要內(nèi)容是與圓有關(guān)的概念及其基本性質(zhì)，可以放在一個(gè)課時(shí)中復(fù)習(xí)。為了更好地“讓復(fù)習(xí)課成為講述數(shù)學(xué)思維的故事，引導(dǎo)學(xué)生從不同的視角認(rèn)識(shí)所學(xué)的知識(shí)，使學(xué)生產(chǎn)生別有洞天的感覺”，筆者以卜以樓老師提出的“生長(zhǎng)數(shù)學(xué)”理念為指導(dǎo)，設(shè)計(jì)和實(shí)施了這節(jié)課的教學(xué)。

一、教學(xué)價(jià)值

（一）彰顯圓的元素及元素關(guān)系的知識(shí)結(jié)構(gòu)

從圖形元素及元素關(guān)系的角度來看圖形的形狀、大小、位置，是數(shù)學(xué)研究的重要途徑。這是一種從宏觀到微觀的認(rèn)識(shí)，是一種看待世界的觀點(diǎn)。較為系統(tǒng)地建立這樣的認(rèn)識(shí)和觀點(diǎn)的最佳時(shí)機(jī)就是復(fù)習(xí)課。因此，在新授課了解了圓的圓心、半徑、弧、弦、圓心角、圓周角等元素的定義與有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，復(fù)習(xí)課重要的教學(xué)價(jià)值之一便是厘清它們之間的關(guān)系，形成結(jié)構(gòu)化認(rèn)識(shí)。具體可以以圓的軸對(duì)稱性與旋轉(zhuǎn)不變性為基礎(chǔ)，梳理這些性質(zhì)與“基本圖形”對(duì)應(yīng)的關(guān)系——對(duì)圖形的分解能力是應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解決幾何問題的重要能力。

（二）聚焦圓及其他圖形之間關(guān)系的問題變式

復(fù)習(xí)課承載了對(duì)某一階段知識(shí)的綜合應(yīng)用需求，需要由單一的解決問題能力的培養(yǎng)轉(zhuǎn)變?yōu)槎嗑S的問題解決素養(yǎng)的培養(yǎng)，促使學(xué)生“解一題，會(huì)一類”。圓的眾多元素和元素關(guān)系往往體現(xiàn)在包含圓及其他圖形的綜合性問題中。因此，聚焦圓及其他圖形之間關(guān)系的問題，以此為基礎(chǔ)引導(dǎo)學(xué)生變式聯(lián)想，發(fā)現(xiàn)結(jié)論并證明，提出問題并解決，可以有效幫助學(xué)生體會(huì)幾何學(xué)習(xí)的方法，感悟圖形研究的途徑，是本節(jié)課另一個(gè)重要的教學(xué)價(jià)值。

二、教學(xué)過程

（一）借助圓的基本圖形，重建知識(shí)結(jié)構(gòu)

師（在黑板上寫好課題，畫6個(gè)一樣大的圓）同學(xué)們，今天我們一起來復(fù)習(xí)《對(duì)稱圖形——圓》這一章前4節(jié)的內(nèi)容。通過這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，我們知道確定一個(gè)圓需要兩個(gè)基本元素，分別是圓心和半徑。（板書圓的基本元素）那你知道圓還有哪些相關(guān)元素嗎？

生圓的相關(guān)元素有弦、弧、圓心角、圓周角。

生還有直徑、半圓、扇形。

師通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道直徑是過原點(diǎn)的弦，而半圓則是直徑所對(duì)的弧，扇形是由半徑和弧圍成的圖形。

（板書圓的相關(guān)元素，形成如圖1所示的板書。）

[設(shè)計(jì)意圖：首先，呈現(xiàn)新穎的板書設(shè)計(jì)，引發(fā)學(xué)生的好奇和關(guān)注，為后續(xù)將這部分復(fù)習(xí)內(nèi)容的“形結(jié)構(gòu)”顯化提供有效的操作平臺(tái)。然后，直接點(diǎn)明這節(jié)課需要復(fù)習(xí)的內(nèi)容和需要研究的對(duì)象，問題直指圓的基本元素和相關(guān)元素，使學(xué)生心中有數(shù)且不感到困難。這樣的板書設(shè)計(jì)，旨在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)還沒有顯化的知識(shí)結(jié)構(gòu)建立聯(lián)想的基礎(chǔ)。]

師同學(xué)們對(duì)這些相關(guān)元素的認(rèn)識(shí)很清晰。在前面的學(xué)習(xí)中，我們還發(fā)現(xiàn)圓具有軸對(duì)稱性和旋轉(zhuǎn)不變性。這就決定了圓中的這些元素不是孤立的，而是有聯(lián)系的，從而形成了圓的一些基本性質(zhì)。下面，請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合這部分學(xué)過的圓的基本性質(zhì)，畫出與之相關(guān)的一些基本圖形。

（學(xué)生畫圖。教師巡視，發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生只畫出一兩個(gè)基本圖形，就不再畫下去了。）

師你能借助目前畫出的圖形復(fù)習(xí)哪些性質(zhì)？還有哪些性質(zhì)沒有通過圖形體現(xiàn)出來？

（學(xué)生繼續(xù)畫圖。教師巡視，請(qǐng)學(xué)生逐一上黑板在之前6個(gè)圓的基礎(chǔ)上畫出圓的基本圖形。）圖1

圖2

師請(qǐng)大家想一想：你能從這些基本圖形里想到哪些性質(zhì)？

（教師就每個(gè)圖形提問，學(xué)生逐一回答對(duì)應(yīng)的性質(zhì)，教師在板書上進(jìn)行結(jié)構(gòu)化連線，形成如圖2所示的板書。）

師對(duì)于這些性質(zhì)，我們不能單純從文字上記憶，而要結(jié)合這些基本圖形進(jìn)行理解記憶。

[設(shè)計(jì)意圖：以“形結(jié)構(gòu)”形式進(jìn)行知識(shí)結(jié)構(gòu)的重建，幫助學(xué)生回顧基于圓的軸對(duì)稱性與旋轉(zhuǎn)不變性的相關(guān)性質(zhì)。這樣的回顧方式不同于較為傳統(tǒng)的以文字和符號(hào)語言為主的平鋪直敘式，而是以“形”的顯化方式喚醒學(xué)生腦海里的如貝似星的知識(shí)。以“形”助“文”，以“文”構(gòu)“形”，將幾何學(xué)習(xí)中的主要性質(zhì)結(jié)合基本圖形予以體現(xiàn)。]

（二）基于圓的典型圖形，進(jìn)行問題變式

1.由基礎(chǔ)習(xí)題展開初步聯(lián)想，滲透數(shù)學(xué)思想。

師在幾何問題中，很多復(fù)雜的圖形都是由這樣的基本圖形組合而成的?；睘楹?jiǎn)、“化新為故”，是我們解題的基本方向和策略。（出示習(xí)題）下面，讓我們結(jié)合習(xí)題來進(jìn)一步鞏固圓的這部分相關(guān)性質(zhì)與基本圖形。

習(xí)題如圖3，AB、AC分別是⊙O的直徑和弦，D是劣弧AC的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)G，交⊙O于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F。你有何發(fā)現(xiàn)？怎么得到的？

圖3

（學(xué)生獨(dú)立思考約3分鐘。）

師你能發(fā)現(xiàn)哪些線段和角的數(shù)量關(guān)系？你能發(fā)現(xiàn)哪些線段之間的位置關(guān)系？有沒有特殊的圖形？請(qǐng)將你所有的發(fā)現(xiàn)寫下來，然后同桌、前后交流一下你的發(fā)現(xiàn)。

（學(xué)生書寫、交流。教師巡視。）

師（投影出示一些學(xué)生的發(fā)現(xiàn)）這里有很多結(jié)論都是我們之前新課學(xué)習(xí)中證明過的，但也有幾個(gè)新的結(jié)論。（投影出示一個(gè)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)）請(qǐng)大家看一下這位同學(xué)的發(fā)現(xiàn)：AC=DE。這個(gè)發(fā)現(xiàn)你能證明嗎？

（教師組織學(xué)生思考如何證明，寫出證明過程，然后投影展示。）

師解決這樣的問題，我們一般要經(jīng)歷四個(gè)環(huán)節(jié)。首先，要明確做什么。（板書“做什么：求證AC=DE”）其次，要思考怎么做。（板書“怎么做”）剛才這位同學(xué)的思路很清晰。怎么做？我們先看一看要證明的兩條線段有什么屬性，或者說有什么“身份”。這里，它們可以是圓O的兩條弦，也可以是兩個(gè)三角形的各一條邊。這樣就至少有兩個(gè)方案。我們可以先考慮第一個(gè)方案，從弦的屬性出發(fā)來思考。要證明弦相等，結(jié)合前面梳理的基本定理，我們要證明它們所對(duì)的弧或圓心角相等，即要證AC=DE。由已知條件可得AD=DC，由垂徑定理可得AD=AE。這樣，三段弧相等，證明AC=DE就水到渠成了。（在“怎么做”后板書“AC=DE←AC=DE←AD=DC，AD=AE”）這樣的思考就是“怎么做”的過程。然后，要“做做看”，就是要從條件出發(fā)，將證明過程寫出來。（板書“做做看：AD=DC，AD=AE→AC=DE→AC=DE”）如果思路正確，那么“做做看”的過程就要注意細(xì)節(jié)和規(guī)范的問題。最后，要在問題解決后反思有什么收獲。（板書“有什么收獲”）數(shù)學(xué)題目是做不完的，而反思可以幫助我們對(duì)類似的問題一以貫之地進(jìn)行思考，也就是形成“通法”。那么，大家想一想：通過這個(gè)問題的解決，我們的收獲是什么呢？

（學(xué)生敘述收獲。）

師（投影出示另一個(gè)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)）你能證明∠DFC=2∠DCF這個(gè)發(fā)現(xiàn)嗎？請(qǐng)說一下思路。

（教師組織學(xué)生說出證明思路，并做點(diǎn)評(píng)。）

[設(shè)計(jì)意圖：給出開放設(shè)問的習(xí)題后，給學(xué)生足夠的時(shí)間獨(dú)立思考，將自己的發(fā)現(xiàn)先寫下來、互相交流。在這一過程中，學(xué)生基于前面基本圖形下的主要性質(zhì)進(jìn)行聯(lián)想，獲得比較多的發(fā)現(xiàn);在交流碰撞中，提高聯(lián)想的廣度和深度。在此基礎(chǔ)上，教師選擇“AC=DE”這一發(fā)現(xiàn)，組織學(xué)生證明，是為了讓學(xué)生能夠?qū)ψ约旱陌l(fā)現(xiàn)進(jìn)行有條理、有依據(jù)的表達(dá)。教師的總結(jié)還體現(xiàn)了波利亞的解題四步驟思想，滲透了上位的數(shù)學(xué)思想方法。在教師小結(jié)四步驟的基礎(chǔ)上，學(xué)生已經(jīng)初步明白了自己所經(jīng)歷的過程。教師繼續(xù)讓學(xué)生證明一個(gè)新的發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固這個(gè)完整的過程。]

2.由變式習(xí)題展開進(jìn)一步聯(lián)想，培養(yǎng)提問能力。

師我們?nèi)绻J(rèn)真觀察，便可發(fā)現(xiàn)上述習(xí)題中的這個(gè)圖形其實(shí)是借助了圓的軸對(duì)稱性和旋轉(zhuǎn)不變性來研究的，雖然略為復(fù)雜，但只要分析清楚研究對(duì)象的“身份”，尋求與其“身份”關(guān)聯(lián)的元素，借助對(duì)基本圖形的分解和由條件得到的“最近聯(lián)想”的重組，就可以解決。（出示變式）下面，我們繼續(xù)在這個(gè)圖形上變化，請(qǐng)看變式。

變式如圖4，AB、AC分別是⊙O的直徑和弦，D是劣弧AC的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)G，交⊙O于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，連接BD，交AC于點(diǎn)H。之前，多數(shù)同學(xué)發(fā)現(xiàn)了線段和角的數(shù)量關(guān)系，一些同學(xué)還發(fā)現(xiàn)了一些特殊的三角形，那么在連接BD的基礎(chǔ)上，你能找到哪些特殊的三角形？你能證明嗎？

圖4

（學(xué)生獨(dú)立思考約2分鐘。）

生從直觀上看，△ADC、△ADE和△ADF是等腰三角形。

師對(duì)比原問題，這里連接了BD，你還有哪些新的發(fā)現(xiàn)？

生△DFH也是等腰三角形。

師△DFH是等腰三角形，你能證明嗎？大家寫寫看。

（學(xué)生寫出證明過程，然后進(jìn)行展示。）

師△DFH是等腰三角形的發(fā)現(xiàn)源于“連接BD”的變化，這實(shí)際上是顯化了圓的一條弦。因此通過添加元素強(qiáng)化條件，可為我們對(duì)圖形進(jìn)行變式提供方向。

[設(shè)計(jì)意圖：在原來習(xí)題的基礎(chǔ)上通過增加“連接BD”的條件，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)可能得到的新結(jié)論。這是對(duì)基本圖形深層次的挖掘，是對(duì)學(xué)生“化繁為簡(jiǎn)”的能力深層次的考驗(yàn)。這里，期待學(xué)生能夠“化新為故”，使其得到的新結(jié)論基于前面研究中的獲得。這種“獲得”體現(xiàn)在三個(gè)層面：首先，習(xí)題中聯(lián)想得到的結(jié)論是變式中進(jìn)一步聯(lián)想的基礎(chǔ);其次，習(xí)題中進(jìn)行聯(lián)想的方向（線段、角的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系及圖形的形狀特殊性）為變式中的“再發(fā)現(xiàn)”提供了研究途徑;最后，變式添加條件的方式相當(dāng)于顯化了圓的一個(gè)相關(guān)元素（弦），這樣通過添加相關(guān)元素來添加條件的方式也為學(xué)生在自主學(xué)習(xí)中進(jìn)行圖形變式提供了方向。]

師你還能提出什么問題供大家思考？

生△DFH是等邊三角形嗎？

師這個(gè)問題很好！誰來回答？

生我覺得不是的。

師那你覺得有沒有可能是？

生有可能。

師什么情況下可能？

生AC是∠DAB的平分線時(shí)。

師AC是∠DAB的平分線，那從點(diǎn)C的角度來說，在圓上什么特殊的位置呢？

生點(diǎn)D、C是AB的三等分點(diǎn)。

師很好！怎么來證明呢？我相信在座的一些同學(xué)會(huì)有思路。我們留在課后交流。（稍停）今天這節(jié)課，老師和大家一起，從基本元素出發(fā)，借助“形結(jié)構(gòu)”，回顧整理了圓及相關(guān)的概念和性質(zhì)，形成了知識(shí)結(jié)構(gòu)。在解決問題時(shí)，我們結(jié)合波利亞的解題四步驟，將復(fù)雜的圖形結(jié)構(gòu)進(jìn)行了分解重組。對(duì)于一些最近聯(lián)想的問題，要根據(jù)縮小已知和目標(biāo)的差距進(jìn)行演繹，從而提高我們的推理能力。（稍停）當(dāng)然，圓的學(xué)習(xí)并無止境，圓又常和其他圖形存在一些內(nèi)在的聯(lián)系。（出示圖5）大家可以連接變式圖形中的BE、BC，再把圓隱去，從而得到這樣一個(gè)由三角形和四邊形組成的復(fù)雜圖形。在后面的學(xué)習(xí)中，我們?nèi)绻茏龅健把壑袩o圓，而心中有圓”，那么解決問題的途徑就又多了一條。

圖5

[設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生猜想結(jié)論（發(fā)現(xiàn)）的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生提出問題，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生強(qiáng)化條件進(jìn)行聯(lián)想，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)，拓展學(xué)生學(xué)習(xí)的可能空間。之后，教師沒有提出“你有什么收獲”這樣的問題來進(jìn)行小結(jié)，而是基于學(xué)情，概括性地“點(diǎn)睛”“收湯”，從而升華學(xué)生本節(jié)課的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。最后，留下一個(gè)數(shù)學(xué)味道更濃、思維含量更高的變式圖形，把學(xué)生的思考延伸到課后。]

三、教學(xué)反思

（一）關(guān)注元素及元素關(guān)系的知識(shí)結(jié)構(gòu)生長(zhǎng)

“結(jié)構(gòu)化是能力發(fā)展的前提之一?！睆?fù)習(xí)課要關(guān)注知識(shí)結(jié)構(gòu)的重建及“再生長(zhǎng)”。本節(jié)課的復(fù)習(xí)，不只是讓學(xué)生體會(huì)到圓的主要性質(zhì)其實(shí)就是基于圓的整體性質(zhì)（軸對(duì)稱性與旋轉(zhuǎn)不變性）的元素及元素關(guān)系的特征，還應(yīng)該啟發(fā)學(xué)生借助這樣的理解，認(rèn)識(shí)幾何圖形性質(zhì)的研究與學(xué)習(xí)主要可以通過三個(gè)觀點(diǎn)來看：一是整體與整體、整體與局部、局部與局部的聯(lián)系;二是變中不變、不變有變;三是分解重組、轉(zhuǎn)化為一。這三個(gè)觀點(diǎn)從本質(zhì)上理解則是知識(shí)的結(jié)構(gòu)觀、系統(tǒng)觀和模型觀，是數(shù)學(xué)知識(shí)“再生長(zhǎng)”的體現(xiàn)。

（二）突出“強(qiáng)化、弱化、互逆化”的問題變式聯(lián)想

復(fù)習(xí)課相對(duì)于新授課而言，學(xué)生已經(jīng)有了較為全面的知識(shí)和技能基礎(chǔ)。選擇好的習(xí)題作為載體，進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的滲透和問題解決能力的培養(yǎng)是復(fù)習(xí)課的主要特征之一。本節(jié)課以一道題為“母題”，進(jìn)行不斷“強(qiáng)化”條件下的發(fā)現(xiàn)探究，是對(duì)這個(gè)載體進(jìn)一步變式的一種類型。在教學(xué)中，我們不僅需要關(guān)注這樣的設(shè)計(jì)，還應(yīng)該啟發(fā)學(xué)生自主進(jìn)行這樣的演繹。我們需要提供變式的方法，即“強(qiáng)化、弱化、互逆化”以及“強(qiáng)化”下的“特殊化”和“弱化”下的“一般化”;還要指導(dǎo)學(xué)生明確對(duì)條件進(jìn)行“三化”或“五化”的出發(fā)點(diǎn)和方向。本節(jié)課聚焦“強(qiáng)化，即添加元素來發(fā)現(xiàn)可能出現(xiàn)的新的線段、角的數(shù)量關(guān)系，以及圖形的位置關(guān)系、特殊性”。在這樣的研究過程中，學(xué)生會(huì)逐漸形成自己的變式聯(lián)想。

（三）通過“適時(shí)分步介入”調(diào)整教學(xué)節(jié)奏

好的復(fù)習(xí)課既要有數(shù)學(xué)本質(zhì)及思想的“學(xué)術(shù)味”，也要有學(xué)生學(xué)習(xí)的“人情味”。有了“學(xué)術(shù)味”的復(fù)習(xí)課能夠凸顯數(shù)學(xué)的本質(zhì)，將數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系顯化;有了“人情味”的復(fù)習(xí)課才能讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，自然而然地建立數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。如何結(jié)合學(xué)情，將教師的數(shù)學(xué)理解變成學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，途徑不一，方法很多。復(fù)習(xí)課雖然有系統(tǒng)性的特征要求，但是，對(duì)于學(xué)生自主形成數(shù)學(xué)理解，可以通過“適時(shí)分步介入”來調(diào)整節(jié)奏?！斑m時(shí)”是對(duì)學(xué)生在數(shù)學(xué)問題拋出后的學(xué)習(xí)狀態(tài)加強(qiáng)關(guān)注，以學(xué)生學(xué)習(xí)投入程度的表征為參考，選擇適合的時(shí)機(jī)進(jìn)行教學(xué)干預(yù)?！胺植健笔菍?duì)大問題在預(yù)設(shè)之后根據(jù)“適時(shí)”情況進(jìn)行當(dāng)機(jī)立斷的分解，因此多數(shù)情況下預(yù)設(shè)性和生成性追問必不可少?！敖槿搿辈皇呛?jiǎn)單的代替和講解，也不是個(gè)別優(yōu)秀的學(xué)生代表與教師之間的“眉來眼去”，更多的是以小問題進(jìn)行的“再啟發(fā)”和進(jìn)一步借助輔助元素、輔助技術(shù)或輔助活動(dòng)的“再引導(dǎo)”。這樣，我們的復(fù)習(xí)課才可以避免“老路復(fù)走無新調(diào)”的困境，才能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的“再生長(zhǎng)”性，才利于學(xué)生自然地走進(jìn)“一覽眾山小”的境地。

本文系江蘇省南京市中小學(xué)教學(xué)研究2017年度第十二期課題“初中數(shù)學(xué)生長(zhǎng)型教學(xué)研究”（編號(hào)：2017NJJK12Z18）的階段性研究成果。

參考文獻(xiàn)：

[1]卜以樓.用生長(zhǎng)型構(gòu)架進(jìn)行中考復(fù)習(xí)——“增長(zhǎng)率問題”復(fù)習(xí)案例[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2010（3）.備課貼士