一道壓軸題兩種解法的教學過程剖析

蘇代輝

摘?要：核心素養(yǎng)的提出為新高考改革指明了方向.本文通過一道湖北八校聯(lián)考壓軸題的教學過程，全面展示實際教學中真實問題驅(qū)動、任務(wù)設(shè)計、合作解決問題、討論總結(jié)表達成果等關(guān)鍵環(huán)節(jié)的細節(jié).希望在促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)發(fā)展方面，為一線教學提供一定參考.

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);解三角形;教學展示

題目呈現(xiàn)：已知△ABC的面積為2+1，且滿足

4tan A+3tan B=1，則邊AC的最小值為.

方法一

題感：這道題求解最值，題目條件言簡意賅，如何尋找突破口？

策略分析：高中階段求解最值問題，主要兩個方向：一是借助不等式;二是借助函數(shù).具體選擇哪一個因題而異，有時也交并使用.一般是先將題目條件化成一個包含所求量的等式，然后根據(jù)等式的結(jié)構(gòu)用不等式先進行嘗試，要注意恒等變形、系數(shù)配湊、目標逐步調(diào)整及取等條件等技巧問題;不等式使用有限制，操作有困難時，也可以將題目所求的量轉(zhuǎn)成關(guān)于某個變量的角或者是邊的函數(shù)，注意分式齊次型化多元為單元，分離變量求導，根式有理化、方程對偶構(gòu)造等技巧，最終通過研究函數(shù)的單調(diào)性求解最值，得到問題的解.

三角形有九個元素，三個頂點、三條邊、三個角.解三角形的主要出發(fā)點是依托三角形使用正弦定理與余弦定理.邊化角、角化邊或者邊角互化的靈活處理是關(guān)鍵.一般先使用正弦定理邊化角，根據(jù)條件再借助余弦定理角化邊.探究過程中，要善于借助平面向量刻畫平面上的點、線位置關(guān)系及邊長、角度大小關(guān)系.

任務(wù)分配：學生先自己嘗試，再交流討論.

首先想到的是高中階段的重要題型：“切的和，切的積就尋找和的切”的思路.由題目條件

4tan A+3tan B=1

得到

4tan A+3tan B=

4tan B+3tan Atan Atan B=1

，但正切前面的系數(shù)不一樣，發(fā)現(xiàn)化簡不下去.

再次嘗試利用正弦定理、余弦定理邊角互化.設(shè)△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，根據(jù)題目條件由切化弦，即將

4tan A+3tan B=1

轉(zhuǎn)化得到4cos Asin B+3cos Bsin A=sin Asin B.

如何根據(jù)得到的條件化簡，在這里遇到到一個分歧.不同側(cè)重的思路，嘗試方式不同，最終結(jié)果當然各異.

方向一：側(cè)重直接計算的嘗試，一般會用正弦定理、余弦定理化角為邊.展示如下：

4cos Asin B+3cos Bsin A=sin Asin B4bcos A+3acos B=asin B

4bb2+c2-a22bc+3aa2+c2-b22ac=asin B

7c2+b2-a22c=asin B

7c2+b2-a2=2acsin B=4S=4+42.

這個嘗試雖然操作快捷，同時得到一個三邊長的關(guān)系，但是由于問題是求b的最小值，這種處理沒有達到化歸，消元的目的，繼續(xù)下去還是有不小的困難.

方向二：側(cè)重先簡化等式，一邊化簡，一邊突破的嘗試.

一般先觀察條件，配湊系數(shù)3，三角恒等變形合成A，B兩角和的正弦，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和為π，化?A+?B為C.展示過程如下：

4cos Asin B+3cos Bsin A=sin Asin B

3cos Asin B+3cos Bsin A=sin Asin B-cos Asin B

3sin（A+B）=sin Asin B-cos Asin B.

因為A+B+C=π，所以sin（A+B）=sin（π-?C）=??sin C?，所以3sin C=sin B（sin A-cos A）.

再由正弦定理可知：

bsin B=csin C，所以有

3c=??b（sin A?-cos A）.

這個嘗試雖然也沒有直接解決問題，但表達式得到了一定程度的簡化.直覺上方向應(yīng)該是正確的，依然需要結(jié)合題目另一個條件，尋找突破口.

問題進階驅(qū)動：如何利用△ABC的面積S=2+1這個條件？函數(shù)的思路相對更為明顯，為什么？

根據(jù)三角形面積公式S=12acsin B，得c=2Sa·sin B，代入

3c=b（sin A-cos A）中，于是得到

6Sa·sin B=b（sin A-cos A）.再根據(jù)正弦定理

asin B=bsin B

化asin B為bsin A，于是得到等式

6S=b2sin A·（sin A-cos A），進而分離變量得到?b2=?6Ssin A·（sin A-cos A）.

到這里應(yīng)該說實現(xiàn)了將目標b2化成了一個關(guān)于角A的函數(shù).此刻確實有種“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”的感覺.

合作解決問題，總結(jié)形成過程：下面就是利用函數(shù)求最值，是大家相對比較熟悉的，不過依然要注意謹慎計算，避免出錯.計算細節(jié)展示如下：

由等式

b2=6Ssin A·（sin A-cos A），得

sin A-?cos A>?0π4

再根據(jù)π4

3π4，9π4

sin2A+π4?∈-1，22，所以

m∈0，2+12

.因為b2=6Sm，令b2=t，所以t=6Sm，當m∈0，2+12時，函數(shù)是減函數(shù)，故當

m=2+12時，t有最小值，

t?min?=6S2+12=12S2+1=12，即AC邊的最小值為23.

解題感悟：到這里這道壓軸題應(yīng)該說經(jīng)過了嚴謹?shù)耐茖В玫搅送昝赖慕鉀Q.仔細回味，三角恒等變換的功底要求較高，計算依然有煩瑣之感，實際考試中不一定能穩(wěn)定發(fā)揮得出來.同學們意猶未盡，繼續(xù)討論，尋找新的突破口.

方法二

問題驅(qū)動：三角函數(shù)與其他函數(shù)的最大區(qū)別是：每一個函數(shù)值都有幾何意義，那么就要考慮是否可以借助圖形來實施條件轉(zhuǎn)化，尋找突破口.

解題策略：正切在高中階段的知識點比較模塊化，第一：切的和切的積，人教A版必修4第三章的復習題第四題對這類問題有體現(xiàn);第二：在三角形中，三個內(nèi)角的正切值之和等于它們?nèi)咧e，在人教B版必修4第三章的復習題第七題有體現(xiàn);第三：最大仰角問題，即米勒問題中的直角三角求最值，人教A版必修5第三章第四節(jié)課后習題有體現(xiàn).三角函數(shù)的本質(zhì)載體還是三角形，三角正切值在直角三角形中表達，更直觀明確.

任務(wù)分配：學生先自己嘗試，再交流討論.

分析：由正切1tan A，1tan B聯(lián)想到三角形中的射影定理及理解圖形.下面分銳角三角形與非銳角三角形兩種情況，當然這兩種情況不是一下子就能想到的，其實是在銳角三角形中，計算出線段的長是一個負數(shù)，不等式的取等條件取不到，激發(fā)了大家對三角形非銳角的猜測與理解.其實這也是解三角形中一個比較典型的問題.展示如下：

情況一的探究過程：

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.

假設(shè)A，B均為銳角，則△ABC的高CD在三角形內(nèi)部.設(shè)AD=x，BD=y，CD=h，則AC2=b2=x2+h2，1tan A=xh，

1tan B=yh.由△ABC的面積可得

（x+y）h=?2S=??22?+2;再由

4tan A+3tan B=1

得

4x+3yh=1.于是得三元二次方程組

（x+y）h=2S=22+2，

4x+3yh=1，

b2=x2+h2.

解多元方程組的核心思想是消元

由4x+3yh=1，得y=h-4x3，

將y=h-4x3代入方程

（x+y）h=22+2

得

x+h-4x3

h=（h-x）h3=22+2

，即h2-hx=62+6.于是

x=h2-6（2+1）h=h-6（2+1）h

.此時應(yīng)注意得到

x=h-6（2+1）h>0

（求解不等式取等條件時要用到） 即?h2>?6（2+1）.

展開化簡應(yīng)用基本不等式可以得到：b2=h2+x2=h2+6（2+1）h-h2

=2h2+[6（2+1）]2h2-12（2+1）≥22h2·[6（2+1）]2h2-12（2+1）

=22·6（2+1）-?12（2+1）?=12（2+1）·（2-1）=12

，當僅當?2h4=??（62+?6）2即2h2=62+6時，等號成立.

特別提醒：計算到這里應(yīng)該是比較激動的.因為很快就計算出了結(jié)果，而且與正確答案一樣，此時最容易忽略基本不等式的“一正、二定、三相等”的使用原則.而事實上取等條件不能成立.因為此時

x=h-6（2+1）h=h-2h<0，即b的最小值取不到.

問題進階驅(qū)動：不等條件取不到，是不是前面的嘗試就沒有用？當然不是.那么如果不是，x的值為負說明了什么？（這里是本題的一個難點，同時也是重點所在，課堂上應(yīng)該在這里多花時間，讓學生充分?探究）

學生討論，教師點播，本質(zhì)突破：x為負值說明線段AD的方向反向，即對稱過去才滿足題意，頂點A，B應(yīng)該在高線的同側(cè)，即角A應(yīng)該為鈍角，于是得到正確最值的取等情況.

情況二的探究過程：

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.

不妨設(shè)A為鈍角，即此時△ABC的AB邊上的高CD在三角形外.設(shè)AD=x，BD=y，CD=h，則

AC2=b2=x2+h2，

1tan A=-xh，

1tan B=yh.

由△ABC的面積可得

（y-x）h=

2S=?22+2

，再由

4tan A+3tan B=1

得

3y-4xh=1.于是得三元二次方程組

（y-x）h=2S=22+2，

3y-4xh=1，

AC2=b2=x2+h2.

由3y-4xh=1，得y=h+4x3.將

y=h+4x3

代入方程（y-x）h=22+2，

得（y-x）h=h+4x3-x

h=（h+x）h3=22+2，

即?h2+?hx=62+6.于是x=6（2+1）-h2h=6（2+1）h-h，則b2=h2+x2=h2+6（2+1）h-h2

=2h2+[6（2+1）]2h2-12（2+1）≥22h2·[6（2+1）]2h2-12（2+1）

=22·6（2+1）-12（2+1）=12（2+1）·（2-1）=12，

當僅當2h4=（62+6）2即2h2=62+6時等號成立.

經(jīng)驗證此時等號成立條件可以取得.

綜上，邊AC的最小值為23.

解題感悟：上述過程中方法二相對方法一，借助了三角形的圖形，直觀轉(zhuǎn)化題目條件，最終應(yīng)用不等式得到問題的解.計算量大大減小，而且解題過程中方向更加明確.更重要的是結(jié)果是由學生自己探究總結(jié)得出.

教學設(shè)計解讀：核心素養(yǎng)的提出為當前教育課程改革很好地指明了努力方向，既兼顧了過去教學中三維目標的要求，又豐富了現(xiàn)在課堂教學目標的內(nèi)涵，同時還注重這些素養(yǎng)在學生身上的綜合完整體現(xiàn).落實核心素養(yǎng)就是讓學生學會用數(shù)學的眼光觀察世界，用數(shù)學的思維思考世界，用數(shù)學的語言表達世界.

當前在學生核心素養(yǎng)培育過程中面臨的最直接的問題是：一方面，教師的自然想法讓學生屢屢想不到、想不通、學不會，加重其自卑感.比如說本文中的方法一.另一方面，當學生給出異質(zhì)性答案的時候，教師往往會通過“強制性說服”“誘導式啟發(fā)”或“篩選式提取”等方法，歸結(jié)到預設(shè)的答案上來.問題解決的過程花樣百出，問題解決的結(jié)果高度一致，學生解決問題的能力沒有得到真正的提高，揣摩教師心意的本領(lǐng)卻在強化.為了避免這種問題，且舍得在促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)發(fā)展上下功夫、花時間才有了文中的方法二.也是本文最希望給大家展示的.

本節(jié)課在精心設(shè)計的任務(wù)與活動中，引導學生主動參與到教學活動中來，積極討論，大膽聯(lián)想，細心嘗試提高能力，反思總結(jié)促進核心素養(yǎng)發(fā)展.課堂上教師啟發(fā)引導，學生主動探究，問題驅(qū)動型教學旨在幫助學生習得可遷移得知識，促進學生的心智在不同的情境中進行靈活轉(zhuǎn)移，形成頓悟，真正做到在學習的過程中，不僅要學會而且要會學.